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文檔簡介
1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上軌跡方程的五種求法一、直接法:直接根據(jù)等量關(guān)系式建立方程.例1:已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡是()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線解析:由題知,由,得,即,點(diǎn)軌跡為拋物線故選D二、定義法:運(yùn)用有關(guān)曲線的定義求軌跡方程例2:在中,上的兩條中線長度之和為39,求的重心的軌跡方程解:以線段所在直線為軸,線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系,如圖1,為重心,則有點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,其中所求的重心的軌跡方程為三、轉(zhuǎn)代法:此方法適用于動(dòng)點(diǎn)隨已知曲線上點(diǎn)的變化而變化的軌跡問題. 例3:已知ABC的頂點(diǎn),頂點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng),求的重心的軌跡方程解:設(shè),由重心公式,得又在拋物線上,將,代
2、入,得,即所求曲線方程是四、參數(shù)法:如果不易直接找出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,可考慮借助中間變量(參數(shù)),把,聯(lián)系起來例4:已知線段,直線垂直平分于,在上取兩點(diǎn),使其滿足,求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程解:如圖2,以線段所在直線為軸,以線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn),則由題意,得由點(diǎn)斜式得直線的方程分別為兩式相乘,消去,得這就是所求點(diǎn)M的軌跡方程評(píng)析:參數(shù)法求軌跡方程,關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是選參,容易表示出動(dòng)點(diǎn);二是消參,消參的途徑靈活多變.五、待定系數(shù)法:當(dāng)曲線的形狀已知時(shí),一般可用待定系數(shù)法解決.例5:已知A,B,D三點(diǎn)不在一條直線上,且,(1)求點(diǎn)軌跡方程;(2)過作直線交以為焦點(diǎn)的橢圓于兩點(diǎn),線段的
3、中點(diǎn)到軸的距離為,且直線與點(diǎn)的軌跡相切,求橢圓方程解:(1)設(shè),由知為中點(diǎn),易知又,則即點(diǎn)軌跡方程為;(2)設(shè),中點(diǎn)由題意設(shè)橢圓方程為,直線方程為直線與點(diǎn)的軌跡相切,解得將代入橢圓方程并整理,得,又由題意知,即,解得故所求的橢圓方程為配套訓(xùn)練一、選擇題1. 已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2,P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果延長F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是( )A.圓 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.拋物線2. 設(shè)A1、A2是橢圓=1的長軸兩個(gè)端點(diǎn),P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn),則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為( )A.B. C. D.二、填空題3. ABC中,A
4、為動(dòng)點(diǎn),B、C為定點(diǎn),B(,0),C(,0),且滿足條件sinCsinB=sinA,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為_.4. 高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上,且相距10 m,如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(5,0)、B(5,0),則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_.三、解答題5. 已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn),且|AB|=|BC|=6,O切直線l于點(diǎn)A,又過B、C作O異于l的兩切線,設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的軌跡方程.6. 雙曲線=1的實(shí)軸為A1A2,點(diǎn)P是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),引A1QA1P,A2QA2P,A1Q與A2Q的交點(diǎn)為Q,求Q點(diǎn)的軌跡方程.7. 已知雙曲線=1(m
5、0,n0)的頂點(diǎn)為A1、A2,與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)P、Q.(1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程;(2)當(dāng)mn時(shí),求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率.8.已知橢圓=1(ab0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn),F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn),F(xiàn)1PF2的外角平分線為l,點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q,F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R.(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求R形成的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C,直線l:y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)AOB的面積取得最大值時(shí),求k的值.參考答案配套訓(xùn)練一、1.解析:|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ
6、|=2a,即|F1Q|=2a,動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F1的距離等于定長2a,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓.答案:A2.解析:設(shè)交點(diǎn)P(x,y),A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共線,A2、P2、P共線,解得x0=答案:C二、3.解析:由sinCsinB=sinA,得cb=a,應(yīng)為雙曲線一支,且實(shí)軸長為,故方程為.答案:4.解析:設(shè)P(x,y),依題意有,化簡得P點(diǎn)軌跡方程為4x2+4y285x+100=0.答案:4x2+4y285x+100=0三、5.解:設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切O于D、E兩點(diǎn),兩切線交于點(diǎn)P.由切線的性質(zhì)知:|BA|=|BD|,|PD|=
7、|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|,故由橢圓定義知,點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓,以l所在的直線為x軸,以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn),建立坐標(biāo)系,可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為=1(y0)6.解:設(shè)P(x0,y0)(xa),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由條件而點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線上,b2x02a2y02=a2b2,即b2(x2)a2()2=a2b2化簡得Q點(diǎn)的軌跡方程為:a2x2b2y2=a4(xa).7.解:(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,
8、y1),則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),又有A1(m,0),A2(m,0),則A1P的方程為:y=A2Q的方程為:y=得:y2=又因點(diǎn)P在雙曲線上,故代入并整理得=1.此即為M的軌跡方程.(2)當(dāng)mn時(shí),M的軌跡方程是橢圓.()當(dāng)mn時(shí),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),準(zhǔn)線方程為x=,離心率e=;()當(dāng)mn時(shí),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),準(zhǔn)線方程為y=,離心率e=.8.解:(1)點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q,連接PQ,F(xiàn)2PR=QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2|又因?yàn)閘為F1PF2外角的平分線,故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線上,設(shè)存在R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(
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