空間曲面及其方程ppt課件

1、1、球面、球面2、柱面、柱面3、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面水桶的表面、臺燈的罩子面等水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡看成是點的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：（1 1） 曲面曲面S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程；上任一點的坐標(biāo)都滿足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足方程；上的點的坐標(biāo)都不滿足方程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形曲面的實例：曲面的實例：xyzo

2、),(zyxPxyzo0 ),(zyxF),(zyx.M.M ),(zyx zyx,),(zyx 0 ),(),(0 zyxFzyx MM11 例例1 xOy坐標(biāo)面的方程坐標(biāo)面的方程 : z=0解析幾何的兩類基本問題解析幾何的兩類基本問題:(1)已知幾何圖形已知幾何圖形,求其方程求其方程;(2)已知方程分析圖形的形狀及其位置已知方程分析圖形的形狀及其位置.xyz0zo下面再考察兩例曲面方程下面再考察兩例曲面方程與與 xOy坐標(biāo)面平行的平面的坐標(biāo)面平行的平面的方程方程 : z=ccz 例例 3 3 已知已知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求線段，求線段AB的的垂直平分面的方程

3、垂直平分面的方程.設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點點，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解下面再考察兩例曲面方程下面再考察兩例曲面方程 AB),(zyxM例例1 1 建建立立球球心心在在點點),(0000zyxM、 半半徑徑為為R的的球球面面方方程程. 解解設(shè)設(shè)),(zyxM是球面上任一點，是球面上任一點，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222

4、Rzyx ),(zyxM),(0000zyxMxyzo上、下半球面的方程分別是：上、下半球面的方程分別是：202020202020)()()()(yyxxRzzyyxxRzz 由上述方程可得球面的一般式方程為：由上述方程可得球面的一般式方程為： x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）反之，由一般式方程（反之，由一般式方程（*），經(jīng)過配方又可得到），經(jīng)過配方又可得到 DCBACzByAx441222222222 ., 04 222是球面方程是球面方程時時當(dāng)當(dāng) DCBA222222yxRzyxRz 球心在原點的上、下球心在原點的上、下半球面的方程分別是：半球

5、面的方程分別是： )()()(2202020即即Rzzyyxx 02222202020000222 Rzyxzzyyxxzyx表示什么曲面？表示什么曲面？例：方程例：方程01624168444 222 zyxzyx.18)3(2104642 222222 zyxzyxzyx）（）（配方化為配方化為化為化為解：方程解：方程.233 , 2, 1(的球面的球面球心，半徑為球心，半徑為）為）為方程表示以點方程表示以點 例例 2 2 求求與與原原點點O及及)4 , 3 , 2(0M的的距距離離之之比比為為2:1的的點點的的全全體體所所組組成成的的曲曲面面方方程程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是曲面上任一點，

6、是曲面上任一點，,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為zxyo例例4 4 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據(jù)題意有根據(jù)題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當(dāng)當(dāng)平平面面cz 上上下下移移動動時時，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解c以上幾例表明研究空間曲面有以上幾例表明研究空間曲面

7、有兩個基本問題兩個基本問題：（2 2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀（1 1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程柱面：柱面： 平行于定直線平行于定直線, ,并沿曲線并沿曲線C移動的直線移動的直線L形成的軌跡形成的軌跡稱為柱面，定曲線稱為柱面，定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線，動直線稱為柱面的準(zhǔn)線，動直線L稱為柱稱為柱面的母線。面的母線。 本課程只研究母線平行于坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線在坐標(biāo)本課程只研究母線平行于坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線在坐標(biāo) 面上的柱面。面上的柱面。柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面xozyC M 0M

8、設(shè)柱面其準(zhǔn)線為設(shè)柱面其準(zhǔn)線為xoy面上面上., 0),(:求柱面方程求柱面方程軸軸母線平行母線平行zyxFC 如圖如圖0),( yxF),(zyx)0 ,(00yx0),( yxF00,yyxx 0),(00 yxF又又故故柱面方程柱面方程：例例3 方程方程 表示怎樣的曲面？表示怎樣的曲面？222Ryx 從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含 zx, 而而缺缺y的的方方程程 0),( zxF，在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中表表示示母母線線平平行行于于 y 軸軸的的柱柱面面，其其準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為 xoz 面面上上曲曲線線 C. 只只含含 yx, 而而缺缺 z 的的方方程程 0

9、),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中表表示示母母線線平平行行于于 z 軸軸的的柱柱面面，其其準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為 xoy 面面上上曲曲線線 C. 只含只含 yz, 而缺而缺 x 的方程的方程 0),( yzF， 在空間， 在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于直角坐標(biāo)系中表示母線平行于 x 軸的柱面，其準(zhǔn)線軸的柱面，其準(zhǔn)線為為 yoz 面上曲線面上曲線 C. 實實 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y橢圓柱面橢圓柱面：方程方程 稱為母線平行于稱為母線平行于z軸的橢圓柱面。軸的橢圓柱面。12

10、222byax方程方程 稱為母線平行于稱為母線平行于z軸的雙曲柱面軸的雙曲柱面; ;12222axby雙曲柱面：雙曲柱面：方程方程 x2=2py 稱為母線平行于稱為母線平行于z軸的拋物柱面。軸的拋物柱面。拋物柱面拋物柱面：例4 方程x+y-1=0在空間直角坐標(biāo)系中表示怎樣的曲面？解： 方程方程x+y-1=0在空間直角坐標(biāo)系中代表一個平面，這在空間直角坐標(biāo)系中代表一個平面，這平面實際上也是一個柱面，是以平面實際上也是一個柱面，是以xoy平面上的直線平面上的直線x+y-1= =0為準(zhǔn)線，而母線平行于為準(zhǔn)線，而母線平行于oz軸的柱面。軸的柱面。表表示示什什么么曲曲面面？表表示示什什么么曲曲面面？例例

11、：1 122 zxyx. 1 122圓圓柱柱面面軸軸平平行行的的表表示示母母線線與與軸軸平平行行的的平平面面。表表示示與與解解：yzxzyx zxyo222Rzx oxyz1 yx例例5 方程方程 x2= = 4z 表示怎樣的柱面？表示怎樣的柱面？解解： 方程中僅含方程中僅含x、z，故此柱面的母線平行于，故此柱面的母線平行于y軸，它們軸，它們的準(zhǔn)線為的準(zhǔn)線為xoz平面上的拋物線平面上的拋物線x2=4z, ,這類柱面為拋物這類柱面為拋物柱面。柱面。旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面： 一平面曲線一平面曲線C繞同一平面上的定直線繞同一平面上的定直線L旋轉(zhuǎn)一周所旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。曲線成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面

12、。曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，直線直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸。稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸。在在這這里里只只研研究究坐坐標(biāo)標(biāo)平平的的坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)產(chǎn)產(chǎn)生生面面內(nèi)內(nèi)的的曲曲線線繞繞該該平平面面內(nèi)內(nèi)的曲面。的曲面。xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設(shè)設(shè)1)1(zz （2）點）點M到到z軸的距離軸的距離|122yyxd 旋轉(zhuǎn)過程中的特征：旋轉(zhuǎn)過程中的特征：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd , 0,22 zyxf得方程得方程平面內(nèi)的一條曲線，繞平面內(nèi)的一條曲線，繞是是設(shè)設(shè)問題：問題：yozzyf0 ),(曲面的方程。曲面的方程。軸

13、旋轉(zhuǎn)一周，求此旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，求此旋轉(zhuǎn)z , 0,22 zyxf表表示示yoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞 z 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程. 方程方程同同理理：yoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf同同理理：xoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zxf繞繞z 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zyxf同同理理：xoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zxf繞繞x 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的

14、的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zyxf例例6 yoz坐標(biāo)面上的直線坐標(biāo)面上的直線 , ,繞繞z軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，試求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程。試求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程。)0( aayz因為是因為是yoz坐標(biāo)面上的直線坐標(biāo)面上的直線 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，故將故將z保持不變，保持不變，y 換成換成 , ,則有則有: :例例6題解：題解：)0( aayz22yx )(22yxaz 即所求旋轉(zhuǎn)曲面方程:上式表示的曲面稱為圓錐面，點上式表示的曲面稱為圓錐面，點o稱為圓錐的頂點稱為圓錐的頂點。)(2222yxaz xozy解解 yoz面面上上直直線線方方程程為為 cotyz ), 0(111zyM )

15、,(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy 例例6 6 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czyax122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面 , 1222222 czyax , 1222222 czayxxyooxyz繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面 , 1222222 czxay , 1222222 czayxpzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面 ,2222pzyx 旋轉(zhuǎn)橢球面

16、旋轉(zhuǎn)橢球面: :由方程 1222222 czayax 表示由表示由xoz平面上的橢圓平面上的橢圓 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)而軸旋轉(zhuǎn)而成的，叫做旋轉(zhuǎn)橢球面成的，叫做旋轉(zhuǎn)橢球面。 12222 czax旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面: : 2222zqypx 它可以看作它可以看作xoy面上的拋面上的拋物線物線x2=2pz繞繞z軸旋轉(zhuǎn)而軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，這曲面成的旋轉(zhuǎn)曲面，這曲面叫做旋轉(zhuǎn)叫做旋轉(zhuǎn)拋物面。拋物面。p=q時時,橢圓拋物面方程：橢圓拋物面方程：變?yōu)椋鹤優(yōu)椋?)p( 2222 zpypx曲面方程的概念曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面的概念及方程的求法旋轉(zhuǎn)曲面的概念及方程的求法.柱面的概念柱面的概念(母線、準(zhǔn)線母線、準(zhǔn)線)

17、. 0),( zyxF思考題思考題 指出下列方程在平面解析幾何中和空指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？間解析幾何中分別表示什么圖形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思考題解答思考題解答平面解析幾何中平面解析幾何中空間解析幾何中空間解析幾何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y軸軸的的直直線線平平行行于于yoz面面的的平平面面圓圓心心在在)0 , 0(，半半徑徑為為2的的圓圓以以z軸為中心軸的圓柱面軸為中心軸的圓柱面斜率為斜率為1的直線的直線平平行行于于z軸軸的的平平面面方程方程二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其

18、平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二

19、、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋

20、轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋

21、所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的

22、一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸返回返回定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲

23、線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直

24、線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成