2015年高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(共27頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題九 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.（15北京理科）已知函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求證：當(dāng)時(shí)，；（）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值【答案】（），（）證明見(jiàn)解析，（）的最大值為2.試題解析：（），曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（）當(dāng)時(shí)，即不等式，對(duì)成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，故在（0，1）上為增函數(shù)，則，因此對(duì)，成立；（）使成立，等價(jià)于，；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，1）上位增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，-0+極小值，顯然不成立，綜上所述可知：的最大值為2.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式；3.含參問(wèn)題討論.2.（15北京文科）設(shè)函數(shù)，（）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（

2、）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值；（2）證明詳見(jiàn)解析.所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值.（）由（）知，在區(qū)間上的最小值為.因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn). 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.3（15年安徽理科）設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值；（2）記上的最大值D；（3）在（2）中，

3、取 4.（15年安徽文科）已知函數(shù)（1） 求的定義域，并討論的單調(diào)性；（2） 若，求在內(nèi)的極值?！敬鸢浮浚?）遞增區(qū)間是（-r,r）;遞減區(qū)間為（-，-r）和（r，+）；（2）極大值為100；無(wú)極小值.（）由（）可知 內(nèi)的極大值為內(nèi)無(wú)極小值；所以內(nèi)極大值為100，無(wú)極小值.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用；2.函數(shù)的極值.5.（15年福建理科）若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ）A B C D 【答案】C考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)6.（15年福建理科）已知函數(shù)，()證明：當(dāng)；()證明：當(dāng)時(shí)，存在,使得對(duì)()確定k的所以可能取值，使得存在，對(duì)任意的恒有【答案】()詳

4、見(jiàn)解析；()詳見(jiàn)解析；() 【解析】試題分析：()構(gòu)造函數(shù)只需求值域的右端點(diǎn)并和0比較即可；()構(gòu)造函數(shù)即，求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形狀和最值，證明當(dāng)時(shí)，存在，使得即可；()由()知，當(dāng)時(shí)，對(duì)于故，則不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，只需說(shuō)明，易發(fā)現(xiàn)函數(shù)在遞增，而，故不存在；當(dāng)時(shí)，由()知，存在,使得對(duì)任意的任意的恒有，此時(shí)不等式變形為，構(gòu)造，易發(fā)現(xiàn)函數(shù)在遞增，而，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，代入證明即可試題解析：解法一：(1)令則有當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，(2)令則有當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞增, 故對(duì)任意正實(shí)數(shù)均滿足題意.當(dāng)時(shí)，令得取對(duì)任意恒有,所以在上單調(diào)遞增, ,即.綜上，當(dāng)時(shí)，總存在,使得對(duì)

5、任意的恒有(3)當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于故，令，則有故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,所以滿足題意的t不存在.當(dāng)時(shí)，由（2）知存在,使得對(duì)任意的任意的恒有此時(shí),令，則有故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,記與中較小的為，則當(dāng)，故滿足題意的t不存在.當(dāng)，由（1）知，令，則有當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故,故當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意.綜上，.解法二：（1）（2）同解法一.（3）當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于，故，令，從而得到當(dāng)時(shí)，恒有,所以滿足題意的t不存在.當(dāng)時(shí)，取由（2）知存在,使得.此時(shí),令，此時(shí) ,記與中較小的為，則當(dāng)，故滿足題意的t不存在.當(dāng)，由（1）知，令，則有當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故,

6、故當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意綜上，.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用7.（15年福建文科）“對(duì)任意，”是“”的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C 充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】B考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用8.（15年福建文科）已知函數(shù)()求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有【答案】() ；（）詳見(jiàn)解析；（）【解析】試題分析：()求導(dǎo)函數(shù)，解不等式并與定義域求交集，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）構(gòu)造函數(shù)，欲證明，只需證明的最大值小于0即可；（）由（II）知，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，則，從而不存在滿足題意；當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)

7、，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形狀，只要存在，當(dāng)時(shí)即可試題解析：（I），由得解得故的單調(diào)遞增區(qū)間是（II）令，則有當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，（III）由（II）知，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，則，從而不存在滿足題意當(dāng)時(shí)，令，則有由得，解得，當(dāng)時(shí)，故在內(nèi)單調(diào)遞增從而當(dāng)時(shí)，即，綜上，的取值范圍是考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用9.（15年新課標(biāo)1理科）設(shè)函數(shù)=,其中a1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得0，則的取值范圍是（ ）A.-，1） B. -，） C. ，） D. ，1）【答案】D10.（15年新課標(biāo)2理科）設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)時(shí)，則使得成立的x的取值范圍是（A） （

8、B）（C） （D）【答案】A【解析】記函數(shù)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A11.（15年新課標(biāo)2理科）設(shè)函數(shù)。（1）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）若對(duì)于任意，都有，求m的取值范圍。12.（15年新課標(biāo)2文科）已知曲線在點(diǎn) 處的切線與曲線 相切,則a= 【答案】8【解析】試題分析：由可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為2,故切線方程為,與 聯(lián)立得,顯然,所以由 .考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.13.（15年新課標(biāo)2文科）已知.（I）討論的單調(diào)性；（II）當(dāng)有最大值,且最大值大于時(shí),求a的

9、取值范圍.【答案】（I）,在是單調(diào)遞增；,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減；（II）.【解析】考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.14.（15年陜西理科）對(duì)二次函數(shù)（a為非零常數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是（ ）A-1是的零點(diǎn) B1是的極值點(diǎn)C3是的極值 D. 點(diǎn)在曲線上【答案】A考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)； 2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值15.（15年陜西理科）設(shè)是等比數(shù)列，的各項(xiàng)和，其中，（I）證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且；（II）設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為，比較與的大小，并加以證明【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）當(dāng)時(shí)，

10、，當(dāng)時(shí)，證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：（I）先利用零點(diǎn)定理可證在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，再利用函數(shù)的單調(diào)性可證在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而利用是的零點(diǎn)可證；（II）先設(shè)，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論來(lái)判斷與的大小，進(jìn)而可得和的大小試題解析：（I）則所以在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).又，故在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，即，故.(II)解法一：由題設(shè)，設(shè)當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 若,若,所以在上遞增，在上遞減，所以，即.綜上所述，當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí)解法二 由題設(shè)，當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明.當(dāng)時(shí), 所以成立.假設(shè)時(shí)，不等式成立，即.那么，當(dāng)時(shí)，.又令，則所以當(dāng),在上遞減；當(dāng),在上遞增.所以，從

11、而故.即，不等式也成立.所以，對(duì)于一切的整數(shù)，都有.解法三:由已知，記等差數(shù)列為,等比數(shù)列為,則，所以,令當(dāng)時(shí), ,所以.當(dāng)時(shí), 而，所以，.若, ,當(dāng),從而在上遞減,在上遞增.所以，所以當(dāng)又,，故綜上所述，當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí)考點(diǎn)：1、零點(diǎn)定理；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.16.（15年陜西文科）函數(shù)在其極值點(diǎn)處的切線方程為_(kāi).【答案】考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.17.（15年天津理科）已知函數(shù)，其中.(I)討論的單調(diào)性；(II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有；(III)若關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)根，求證： 【答案】(I) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在

12、內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (II)見(jiàn)解析； (III)見(jiàn)解析.試題解析：(I)由，可得，其中且，下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：令，解得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.(2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (II)證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，即，則由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都有，即對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，都有. (III)證明：不妨設(shè)，由(II)知，設(shè)方程的

13、根為，可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又由(II)知可得.類(lèi)似的，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得，當(dāng)，即對(duì)任意，設(shè)方程的根為，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式.18.（15年天津文科）已知函數(shù) ,其中a為實(shí)數(shù),為的導(dǎo)函數(shù),若 ,則a的值為 【答案】3【解析】試題分析：因?yàn)?,所以.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.19.（15年山東理科）設(shè)函數(shù)，其中.（）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（）若，成立，求的取值范圍.解：（），定義域?yàn)椋O(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，若時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn).若時(shí)，設(shè)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

14、且，且，而，則，所以當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增.因此此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，但，所以當(dāng)單調(diào)遞増；當(dāng)單調(diào)遞減.所以函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)。 綜上可知當(dāng)時(shí)的無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的有兩個(gè)極值點(diǎn).（）由（）可知當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而，則當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，于是，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.另解：（），定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn).設(shè)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知的根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).若，即時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值

15、點(diǎn).若，即或，而當(dāng)時(shí)此時(shí)方程在只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)方程在都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；綜上可知當(dāng)時(shí)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.（）設(shè)函數(shù)，都有成立.即當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由均有成立。故當(dāng)時(shí)，則只需；當(dāng)時(shí)，則需，即.綜上可知對(duì)于，都有成立，只需即可，故所求的取值范圍是.另解：設(shè)函數(shù)，要使，都有成立，只需函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增即可，于是只需，成立，當(dāng)時(shí)，令，則；當(dāng)時(shí)；當(dāng)，令，關(guān)于單調(diào)遞增，則，則,于是.又當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而，則當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，于是，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不符合

16、題意.綜上所述，的取值范圍是. 評(píng)析：求解此類(lèi)問(wèn)題往往從三個(gè)角度求解：一是直接求解，通過(guò)對(duì)參數(shù)的討論來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步確定參數(shù)的取值范圍；二是分離參數(shù)法，求相應(yīng)函數(shù)的最值或取值范圍以達(dá)到解決問(wèn)題的目的；三是憑借函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍，然后對(duì)參數(shù)取值范圍以外的部分進(jìn)行分析驗(yàn)證其不符合題意，即可確定所求.20.（15年江蘇）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到的距離分別為20千米和2.5千米，以所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)（其中a，b為常數(shù)）模型. （1）求a，b的值； （2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t. 請(qǐng)寫(xiě)出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出其定義域