復變函數(shù)ch2解析函數(shù)

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)000()()limzf zzf zz 00d()d|z zwfzz0,zzD 若極限此極限值稱為f (z) 在z0的導數(shù), 記作設函數(shù) 在區(qū)域 D 有定義，0,zD( )wf z存在, 則稱 f (z) 在 z0 可導,000()()lim.zf zzf zz 目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)( )nf zznnNnN求函數(shù)的 導數(shù).0()( )limnnzzzzfzz 1210(1)lim()2nnnzn nnzzzz 1nnz目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)1) 其中C為復常數(shù).

2、( )0,C 2) 其中n為正整數(shù).1(),nnznz 3) ( )( )( )( ).f zg zfzg z4) ( ) ( )( ) ( )( )( ).f z g zfz g zf z g z2( )1 ( )( )( )( ),( )0( )( )f zg z fzf z g zg zg zgz5)目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)1( ),( )fzw ( )( )( ),f g zfw g z其中( ),( )wf z zw是兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且( )0.w( ).wg z其中6)7)目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)0lim

3、()0,zz 設函數(shù) w = f (z)在 z0 可導, 則有000()()()(),wf zzf zfzzzz 其中稱 為函數(shù) w=f (z) 在點 z0 的微分, 記作0()fzz00d()()dwfzzfzz |0dd)(zzzwzf目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)定義定義如果函數(shù) f (z)在z0及z0的鄰域內處處可導, 則稱f (z)在 z0 解析, 如果 f (z) 在區(qū)域 D 內每一點解析, 則稱 f (z)在D內解析, 或稱 f (z) 是D內的一個解析函數(shù)(全純函數(shù)或目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)1) 在區(qū)域D內解析的兩個

4、函數(shù) f (z)與 g(z) 的和,差,積,商(除去分母為零的點)在D內解析.2)設函數(shù) h = g(z) 在 z 平面上的區(qū)域 D 內解析, 函數(shù)w =f (h)在h平面上的區(qū)域 G 內解析. 如果對D內的每一個點z, 函數(shù)g(z)的對應值 h 都屬于G, 則復合函數(shù) w = f g(z)在D內解析.1）所有多項式在復平面內是處處解析的；的點的區(qū)域內是解析函數(shù), 使分母為零的點是它的奇點.2）任何一個有理分式函數(shù) 在不含分母為零( )( )P zQ z目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)考查 的連續(xù)性與解析性.( )f zz( )f zxiy顯然處處連續(xù)；z+ zzz

5、,zz令zxi y 0000limlimyyxxzxzx 1,0000limlimxxyyzi yzi y 1 ( )f z處處連續(xù)，處處不可導.又0limzzz 不存在，目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)u(x,y)、v(x,y) 在點在點 (x,y) 可微可微, ,uvxy定理一定理一( )uvfzixx此時有設函數(shù) 在區(qū)域D有定義,( )( ,)( ,)f zu x yiv x y則 f (z) 在 D 內一點 可導的充分必要條件是:zxiyuvyx 1uviyy且滿足 柯西-黎曼方程(C-R方程)目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)證明：證

6、明：“ ”設在點( )( ,)( ,)f zu x yiv x yzxiyD可導，那么對0,zxi y 有0lim()0,zz ()( )( )(),f zzf zfzzzz 其中()( ),f zzf zui v 令( ),fzaib12(),ziui v 所以()aib()xi y 12()i()xi y 12()a xb yxy 21()i b xa yxy 目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)從而12,ua xb yxy 21vb xa yxy 0lim()0,zz 因為100lim0,xy 200lim0,xy 所以( , )x y那么( , ), ( , )u

7、 x y v x y在點可微，,uvaxyuvbyx “ ”設在點( ,), ( ,)u x yv x y( ,)x y可微， 那么有而且滿足方程目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)12,uuuxyxyxy 34,vvvxyxyxy 00lim0(1,2,3,4).kxyk 這里所以()( )f zzf zui v 12()uuxyxyxy 34()vvixyxyxy 目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)()()uvuvixiyxxyy 1324()()ixiy 由C-R 方程uvyx ,vuyx 所以()( )f zzf z ()()uvixi y

8、xx 1324()()ixiy 或()( )f zzf zzuvixx1324()().xyiizz2,vix目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)1,1,xyzz因為所以0()( )( )limzf zzf zfzz uvixx即在點( )( ,)( ,)f zu x yiv x yzxiyD可導.證畢.注：注： 柯西-黎曼(C-R)方程的及坐標形式：1,uvrr1vurr 目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)的充要條件是 u(x,y) 與 v(x,y) 在 D 內可微, 函數(shù) f (z)= u(x,y)+iv(x,y) 在其定義域D內解析柯西柯西-

9、黎曼方程黎曼方程.并滿足目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù).3223(1)( )(3)(3)f zxxyix yy22()()(2)( )xyi xyf zxy(1)32233,3uxxyvx yy2233uxyxvy6uxyy vx 從而f (z) 在 z 平面上處處解析，且( )uvfzixx22(33)(6)xyixy目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)(2)22()()(1)( )xiyi xiyi zf zxyzz1 iz所以，除 z = 0 外，f (z) 處處可導， 且( )fz1 iz21(0)izz 目錄 上頁 下

10、頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)3322(1)( )2f zxyx y i下列何處可導？何處解析？222(2)( )()(2)f zxyxixyy33(1),uxy23,uxx23,uyy 24,vxyx24vx yy222vx y上述偏導在 z 平面上連續(xù)，目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)令uvxy30 4xy或 uvyx 30 4yx或由可導的充要條件知，( )f z僅在 及 兩點可導，(0,0)3 3( , )4 4從而在 z 平面上處處不解析.目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)令uvxy12y uvyx 22yy 故當且僅當

11、 時，12y C-R條件成立， 所以 僅在直線( )f z上可導，12y 從而在 z 平面上處處不解析.22(2),uxyx21,uxx2 ,uyy 2 ,vyx22vxyy22vxyy目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)例例3 .Constf z ( )若函數(shù) f (z)在D內解析，并滿足下列條件之一，則(1)( )0;fz在D內解析；(2)( )f z(3)( )Constf z (4)Re( )Const;f z (5)Im( )Const.f z 目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)證明：證明：(1)1( )0;uvuvfzixxiyy0,u

12、vuvxxyy則12,uC vC12( )Constf zCiC目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)又 f (z) 在D內解析，有,uvxyuvyx 0,uvuvxxyy12( )Constf zCiC在 D 內解析,( )f zuiv則有(2),uvxy uvyx目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)(3)( )Constf z 即22Constuv所以0,uvuvxx0uvuvyy式(1)與式(2)平方后相加，并利用C-R方程，有22()()0uuxy(1)(2)0,uvuvxxyy12( )Constf zCiC目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程

13、數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)例例4 .( )f zuiv若函數(shù) 為一解析函數(shù)，且 0( ),fz證明曲線族12( , ), ( , )u x yC v x yC正交.證明：證明：曲線12( , ), ( , )u x yC v x yC在點(x, y)處的法向量分別為：1xynu u (,),2xynv v (,),那么12xxyynnu vu v0yxxyv vv v所以12nn與垂直,也就是曲線族12,uC vC正交.目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)即expxzeArg(exp )2zykexp(cossin)xzeyiy稱函數(shù) 為指數(shù)函數(shù), 記作 ( )(cossi

14、n)xf zeyiyze2) 在復平面內解析, 且exp z(exp )expzz 1) 當Im(z)=0時, , 其中 x = Re(z) expxze12123)expexpexp()zzzz4)expz以 為周期.2 i目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)稱滿足方程(0)wezz的函數(shù) 為對數(shù)函數(shù).( )wf z,iwuiv zre則,u iviere所以ln ,ur v因此lnArgwziz對數(shù)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).LnlnArg .zziz記作多值函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)Ln z的主值主值: ln z = ln|z| +

15、i arg z ln z = ln x, 就是實變數(shù)對數(shù)函數(shù).1) 當z = x 0時,2012Lnln,(,)zzk ik 2)1212Ln()LnLn,z zzz3)1122Ln()LnLnzzzz分支1(ln ),zz 4) 在除去原點與負實軸的復平面內ln z的各分支處處連續(xù)，處處可導，且1(Ln ),zz 目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)求下列對數(shù)，并寫出它們的主值.(1)(1)Ln2;(2)Ln( 1);(3)Ln ; i(4)Ln(34 ).iLn2ln22,0, 1, 2,k i k ln2ln2(2)Ln( 1)ln12,0, 1, 2,ik i k

16、 ln( 1)i(3)Lnln2,0, 1, 2,2iiik i k ln2ii目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)(4)Ln(34 ) iln 34arg(34 )2,0, 1, 2,iiik i k 4ln5arctan2,0, 1, 2,3ik i k 4ln(34 )ln5arctan3ii目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)設a 為不等于0 的一個復數(shù), b 為任意一個復數(shù), bbaaeLnba定義乘冪為2ln(arg)baiake1) 若bn (n為正整數(shù)),LnnnaaeaaaeeeLnLnLna aa 2) 若1bn (n為正整數(shù)),

17、11Lnannae122lnargarg(cossin)anakakeinn122argarg(cossin)nakakainnna目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)若 為復變數(shù)，az稱函數(shù) 為冪函數(shù).Lnbbzwze1().bbzbz bwz的各個分支在 除去原點與負實軸在復平面內解析,且目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)求下列各式的值.(1)2(1)1 ;1(2)(1).ii(2)212Ln1e2ln1Arg1ie2 2k iecos22sin22 ,0, 1, 2,kikk 1(1)Ln(1)(1)iiiie(1)ln2(2)4iike(l

18、n22)(2ln2)44kike242cos(ln2)sin(ln2)44kei0, 1, 2,k 目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)2izizzieesin,2izizzeecos對任意的復數(shù) z , 令zzzsintan,coszzzcoscot,sin1zzsec,cos1zzcsc,sin目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)121212cos()coscossinsinzzzzzz221sincoszz121212sin()sincoscossinzzzzzz1)是全平面的解析函數(shù)，且sin ,coszz(sin )cos ,zz (cos

19、 )sinzz 2)sin ,coszz以 為周期，2cos z為偶函數(shù)，sin z為奇函數(shù).3)cos()cos chsin shxiyxyixysin()sin chcos shxiyxyixy4)目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)2zzzeech,sh()sh cosch sinxiyxyixy對任意的復數(shù) z , 令2zzzeesh,zzzzzeethee分別稱為雙曲余弦, 正弦和正切函數(shù).1)是全平面的解析函數(shù)，且sh ,chzz(sh )ch ,zz (ch )shzz 2)以 為周期，2 ich z為偶函數(shù)，sh z為奇函數(shù).sh ,chzzch()ch

20、cossh sinxiyxyixy3)目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)5. 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)21ArccosLn()zizz 21ArcsinLn()ziizz 121ArctanLniizziz 21ArshLn()zzz1121ArthLnzzz21ArchLn()zzz反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反雙曲正弦函數(shù)反雙曲余弦函數(shù)反雙曲正切函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)求下列各式的值.(1)(1)cos(5 );i(2)Arctan(23 ).icos(5 ) i552iie ee e551(cossin)

21、(cossin)2eiei551( 1)( 1)2eech5 (5 )(5 )2iiiiee目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)(2)11(23 )Arctan(23 )Ln21(23 )iiiiii13Ln25ii 121ln(arctan2)253iki2111ln()arctan,45223ik 0, 1, 2,k 目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)0d( )d|z zwfzz000()()lim.zf zzf zz 00d()()dwfzzfzz 函數(shù) f (z)在z0及z0的鄰域內處處可導.目錄 上頁 下頁 返回 結束 工程數(shù)學工程數(shù)學 -復變函數(shù)1) u(x,y)、v(x,y) 在點在點 (x,y) 可微可微, ,uvxy( )uvfzixxii) 可導的充分必要條件是:uvyx