(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)微專題十立體幾何中探索性問題的研究教案(含解析)

1、微專題十 立體幾何中探索性問題的研究追根溯源高考中的立體幾何探索性試題，我們一般可以采用綜合推理的方法、分析法、特殊化法 和向量法來解決.探索性問題主要是對平行、垂直關(guān)系的探究，這類試題的一般設(shè)問方式是“是否存在？ 存在給出證明，不存在說明理由”.解決這類試題，一般根據(jù)探索性問題的設(shè)問，首先假設(shè) 其存在，然后在這個假設(shè)下進行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾就否定假設(shè).例題 如圖，在底面是菱形的四棱錐P ABC并，Z ABC= 60。，P&AC= a, PB= PD=，2a,點 E在 PD上，且 PE： ED= 2 ： 1.(1)證明：PAL平面 AB

2、CD(2)求以AC為棱，EAC與DAC面的二面角的大??；問：在棱PC上是否存在一點 F,使BF/平面AEC證明你的結(jié)論.審題方法 f是線段pc上的點，一般可設(shè) Pf=入Pc求出入的值，點P是已知的，即可求 出點F.解題思路 (1)證明的是線面垂直，只要努力去找直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可；(2)按找二面角的方法進行；(3)通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系， 給出相應(yīng)點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)關(guān)系 和向量的相等就可以解決了.(1)證明 因為底面 ABCDI菱形，/ ABC= 60° ,所以 AB= AD= AC= a,在 PA珅，由PA2 + A = 2a2=PB!,知 PAI AB,同理 PA

3、L AD 所以 PAL平面 ABCD(2)解 如圖1所示，作EG/ PA交AD于G,由PAL平面 ABCD知EGL平面ABCD作GHL AC于H,連接EH則EHL AC則/ EHG;所求二面角的平面角，設(shè)為0 .又PE： EDD= 2： 1,圖1 123則 EG= -a, AG= -a, GH= AGin60 =手a,333從而 tan 9 = GHp 3,所以 8 =30° .(3)解 以A為坐標(biāo)原點，直線 AD AP分別為y軸，z軸，過A點垂直平面PAD勺直線為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖 2所示.由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別為 A(0, 0, 0) B 坐a, 1a,0 ,

4、 C3a,；a,0 , 口0, a,0) , R0, 0, a),E 0,3a,5.222233所以AE= 0, 2a, 1a , AP= (0 , 0, a), 33AO1 二,a, 0 , PO1,a, 一 a ，BP=一呼a, 1a, a .設(shè)f是棱pc上的點，且PF=入PC承入，；a入，一a入，其中0入1,則Bf=Bf PF312 a， ,a，限入1 、2a入，1 一、2a 1 +入,5令BF=入1AO入2AE得:12a入+ 1 =/a 入 1 + 32X2,一 1 一入="a X 2,31-1斛得入=2，入1=- 5,31 . >1 3 ._ _ >.入2= 2

5、,即 入=2時，BF= -2AO 2AE即F是PC的中點時，BF, AC A四面.又 BF不在平面AECJ,所以當(dāng)F是棱PC的中點時，BF/平面AEC例題追根溯源如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCDK / ABC= 60° , PA= AC= a, PB=PD= #a,點 E在 PD上，且 PE： ED=入：1（入 C N*）.(1)證明：PA1平面ABCD(2)在PC上是否存在一點 F,使BF/平面AEC證明你的結(jié)論.審題方法 F是線段PC上的點，一般可設(shè) PF= tpC,求出t的值，點P是已知的，即可求出點F.解題思路 通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，給出相應(yīng)點的坐標(biāo)，令所求直線對應(yīng)

6、的向量用該平 面內(nèi)的兩個不共線向量表示即可.(1)證明 因為底面 ABC皿菱形，/ ABC= 60° ,所以 AB= AD= AC= a,在 PAB中，由PA2 + A百= 2a2=P民知PA! AB同理PAL AD所以PAL平面 ABCD(2)解 方法一 以A為坐標(biāo)原點，直線 AD AP分別為y軸，z軸，過A點垂直平面PAD勺 直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別為A(0,0,0),B 事，一2a, 0 ,C3a,；a,0, D(0, a, 0), R0, 0, a), E 0,a, ya .所以AE= 0, yia, ja , AP= (0, 0, a)

7、,AC=/3a1a 0 PC=3a-a_ aAC-2 a 22a，0 p PC_2 a?2a , a ，31BP=-亍a, 2a, a .一at設(shè) F 是棱 PC上的點，且 PF= tPC= *at, 2at, at ,其中 0Vt <1,則 BF=BP+PFa, 2a,令BF=入iXC入2電得1,a t + 11 、，入、= 2aXl+TZ7a ) 2，a at = 7a 入 2,入+ 1解得 t =：,入 1 = t - 1 ,入 2=(入 + 1)(1 t ), 人一 f 入一 1 f 一,一一. 一,即PF= PC故8刖以由AG口 A毆性表不，并且 BF?平面 AEC所以BF/平面 AEC 人審題方法 作出適當(dāng)?shù)妮o助線，利用中位線定理找到平行關(guān)系.解題思路 從E點出發(fā)，在線段PE上找到點M使彳導(dǎo)E成為MD勺中點，連接OE構(gòu)造 DBM 的中位線，下面只需作 MF/ EC交PC于點F,這樣點F就被找到了.方法二 如圖3,在PE上取一點 M 使得 ME= ED過點 M作MF/