點(diǎn)線面之間的關(guān)系教案

1、第10講 § 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解空間兩條直線的三種位置關(guān)系，理解異面直線的定義，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握兩條異面直線所成角的定義及垂直.¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 空間兩條直線的位置關(guān)系：2. 已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）. 所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無關(guān)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)通常取在異面直線的一條上；異面直線所成的角的范圍為，如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作. 求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點(diǎn)平移定角計(jì)算.¤例題精講：【例1】已知異面直

2、線a和b所成的角為50°，P為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與a、b所成角都是30°的直線有且僅有（ ）. A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條解：過P作a，b，若Pa，則取a為，若Pb，則取b為這時(shí)，相交于P點(diǎn)，它們的兩組對(duì)頂角分別為50°和130°. 記，所確定的平面為，那么在平面內(nèi)，不存在與，都成30°的直線 過點(diǎn)P與，都成30°角的直線必在平面外，這直線在平面的射影是，所成對(duì)頂角的平分線其中射影是50°對(duì)頂角平分線的直線有兩條l和，射影是130°對(duì)頂角平分線的直線不存在故答案選B.【例2】如圖正方體中，E

3、、F分別為D1C1和B1C1的中點(diǎn)，P、Q分別為AC與BD、A1C1與EF的交點(diǎn). （1）求證：D、B、F、E四點(diǎn)共面；（2）若A1C與面DBFE交于點(diǎn)R，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.證明：（1） 正方體中，. 又 中，E、F為中點(diǎn)， . , 即D、B、F、E四點(diǎn)共面.（2） ， .又 ， ， . 即P、Q、R三點(diǎn)共線【例3】已知直線a/b/c，直線d與a、b、c分別相交于A、B、C，求證：a、b、c、d四線共面.證明：因?yàn)閍/b，由公理2的推論，存在平面，使得.又因?yàn)橹本€d與a、b、c分別相交于A、B、C，由公理1，.假設(shè)，則, 在平面內(nèi)過點(diǎn)C作，因?yàn)閎/c，則，此與矛盾. 故直線.綜上述，a

4、、b、c、d四線共面.點(diǎn)評(píng)：證明一個(gè)圖形屬于平面圖形，需要緊扣公理2及其三條推論，尋找題中能確定平面的已知條件. 此例拓展的證明先構(gòu)建出一個(gè)平面，然后從假設(shè)出發(fā)，推出矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，這就是證明問題的一種反證法的思路.【例4】如圖中，正方體ABCDA1B1C1D1，E、F分別是AD、AA1的中點(diǎn).（1）求直線AB1和CC1所成的角的大??；（2）求直線AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如圖，連結(jié)DC1 ， DC1AB1， DC1 和CC1所成的銳角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45°， AB1 和CC1所成的角是45°.（2）如圖，連結(jié)DA1

5、、A1C1， EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直線AB1和EF所成的角. A1DC1是等邊三角形， A1DC1=60º，即直線AB1和EF所成的角是60º.點(diǎn)評(píng)：求解異面直線所成角時(shí)，需緊扣概念，結(jié)合平移的思想，發(fā)揮空間想象力，把兩異面直線成角問題轉(zhuǎn)化為與兩相交直線所成角，即將異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題，運(yùn)用化歸思想將難化易. 解題中常借助正方體等幾何模型本身的性質(zhì)，依照選點(diǎn)、平移、定角、計(jì)算的步驟，逐步尋找出解答思路.第11講 § 直線與平面、平面與平面位置關(guān)系¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解直線與平面的三種位置關(guān)系，理解直線在平面外的概念，了解平面與平面的兩種位

6、置關(guān)系.¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）；（2）直線與平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；（3）直線與平面平行（沒有公共點(diǎn)）. 分別記作：；.2. 兩平面的位置關(guān)系：平行（沒有公共點(diǎn)）；相交（有一條公共直線）.分別記作；.¤例題精講：【例1】已知空間邊邊形ABCD各邊長(zhǎng)與對(duì)角線都相等，求異面直線AB和CD所成的角的大小. 解：分別取AC、AD、BC的中點(diǎn)P、M、N連接PM、PN，由三角形的中位線性質(zhì)知PNAB，PMCD，于是MPN就是異面直線AB和CD成的角（如圖所示）.連結(jié)MN、DN，設(shè)AB=2， PM=PN=1.而AN=DN=，由

7、MNAD，AM=1，得MN=，MN2=MP2+NP2，MPN=90°.異面直線AB、CD成90°角.【例2】在空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是CB、CD的中點(diǎn)，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.解：四邊形EFGH是平行四邊形， =2=.ABCDEFGH【例3】已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn). 證明：（1） 在ABD和CBD中， E、H分別是AB和CD的中點(diǎn)， EHBD.又 ， FGBD. EHFG

8、. 所以，E、F、G、H四點(diǎn)共面.（2）由（1）可知，EHFG ，且EHFG，即直線EF，GH是梯形的兩腰，所以它們的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn)P. AC是EF和GH分別所在平面ABC和平面ADC的交線，而點(diǎn)P是上述兩平面的公共點(diǎn)， 由公理3知PAC. 所以，三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：一般地，證明三線共點(diǎn)，可證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上，而第三條直線又往往是兩平面的交線.【例4】如下圖，設(shè)ABC和A1B1C1的三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA1、BB1、CC1相交于一點(diǎn)O，且= .試求的值. 解：依題意，因?yàn)锳A1、BB1、CC1相交于一點(diǎn)O，且=，所以ABA1B1，ACA1C1，BCB1C1

9、.由平移角定理得BAC=B1A1C1，ABC=A1B1C1，ABCA1B1C1，所以=（）2=.點(diǎn)評(píng)：利用平移角定理，可證明空間兩個(gè)角相等或兩個(gè)三角形相似、全等；利用平行公理，可證明空間兩條直線平行，從而解決相關(guān)問題.第12講 § 直線與平面平行的判定¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的判定，掌握直線與平面平行判定定理，掌握轉(zhuǎn)化思想“線線平行線面平行”.¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 定義：直線和平面沒有公共點(diǎn)，則直線和平面平行.2. 判定定理：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平

10、行. 符號(hào)表示為：. 圖形如右圖所示.¤例題精講：【例1】已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)，求證：AF平面PEC證明：設(shè)PC的中點(diǎn)為G，連接EG、FG. F為PD中點(diǎn)， GFCD且GF=CD. ABCD， AB=CD， E為AB中點(diǎn)， GFAE， GF=AE， 四邊形AEGF為平行四邊形. EGAF， 又 AF平面PEC， EG平面PEC， AF平面PEC.【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱BC、C1D1的中點(diǎn). 求證：EF平面BB1D1D. 證明：連接AC交BD于O，連接OE，則OEDC， OE=DC. DCD1C1，

11、 DC=D1C1 ， F為D1C1的中點(diǎn)， OED1F， OE=D1F， 四邊形D1FEO為平行四邊形. EFD1O. 又 EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D， ABC D E F GM O EF平面BB1D1D.【例3】如圖，已知、分別是四面體 的棱、的中點(diǎn)，求證：平 面. 證明：如右圖，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，在中，、分別是、中點(diǎn)， ，為中點(diǎn)， 為中點(diǎn)，在中，、為、中點(diǎn)， ，又平面，平面， 平面.點(diǎn)評(píng)：要證明直線和平面平行，只須在平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了. 注意適當(dāng)添加輔助線，重視中位線在解題中的應(yīng)用.【例4】如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分

12、別是AB、PC的中點(diǎn)（1）求證：MN/平面PAD；（2）若，求異面直線PA與MN所成的角的大小.解：（1）取PD的中點(diǎn)H，連接AH，由N是PC的中點(diǎn)， NH. 由M是AB的中點(diǎn)， NHAM， 即AMNH為平行四邊形. . 由， .（2） 連接AC并取其中點(diǎn)為O，連接OM、ON， OMBC，ONPA， 所以就是異面直線PA與MN所成的角，且MONO.由，, 得OM=2，ON=所以，即異面直線PA與MN成30°的角點(diǎn)評(píng)：已知中點(diǎn)，牢牢抓住中位線得到線線平行，通過線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行. 求兩條異面直線所成角，方法的關(guān)鍵也是平移其中一條或者兩條直線，得到相交的線線角，通過解三角形而得.第1

13、3講 § 平面與平面平行的判定¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中面面平行的判定，掌握兩個(gè)平面平行的判定定理與應(yīng)用及轉(zhuǎn)化的思想.¤知識(shí)要點(diǎn)：面面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行用符號(hào)表示為：.¤例題精講：【例1】如右圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分別是C1C、B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求證：平面MNP平面A1BD.證明：連結(jié)B1D1，P、N分別是D1C1、B1C1的中點(diǎn)， PNB1D1.又B1D1BD，PNBD. A1AB1

14、BC1CD1DGEF又PN不在平面A1BD上，PN平面A1BD.同理，MN平面A1BD. 又PNMN=N， 平面PMN平面A1BD.【例2】正方體ABCDA1B1C1D1中（1）求證：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：平面EB1D1平面FBD 證明：（1）由B1BDD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形，B1D1BD，又BD Ë平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中點(diǎn)G，AEB1G從而得B1EAG，同理GFA

15、DAGDFB1EDFNMPDCQBADF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD 【例3】已知四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD為平行四邊形. 點(diǎn)M、N、Q分別在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求證：平面MNQ平面PBC. 證明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD. MQ/AD，NQ/BP，而BP平面PBC，NQ 平面PBC, NQ/平面PBC.又ABCD為平行四邊形，BC/AD， MQ/BC，而BC平面PBC，MQ 平面PBC, MQ/平面PBC. 由MQNQ=Q，根據(jù)平面與平面平行的判定定理， 平面MNQ平面PBC.點(diǎn)評(píng)：由比例線段得到線線平行，依據(jù)線面平行

16、的判定定理得到線面平行，證得兩條相交直線平行于一個(gè)平面后，轉(zhuǎn)化為面面平行. 一般證“面面平面”問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行.【例4】直四棱柱中，底面ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱，M、N分別為A1B1、A1D1的中點(diǎn)，E、F分別是B1C1、C1D1的中點(diǎn). （1）求證：平面AMN平面EFDB；（2）求平面AMN與平面EFDB的距離. 證：（1）連接,分別交MN、EF于P、Q. 連接AC交BD于O，連接AP、OQ.由已知可得， .由已知可得，且. , . 平面AMN平面EFDB.解：（2）過作平面AMN與平面EFDB的垂線，垂足為H、H，易得.由, 根據(jù), 則 ，解得. 所以，平面AMN與平面

17、EFDB的距離為.點(diǎn)評(píng)：第（1）問證面面平行，轉(zhuǎn)化途徑為“線線平行線面平行面面平行”. 第（2）問求面面距離，巧妙將中間兩個(gè)平面的距離，轉(zhuǎn)化為平面另一側(cè)某點(diǎn)到平面距離的比例，然后利用等體積法求距離. 等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想在本題中十分突出，我們可以用同樣的轉(zhuǎn)化思維，將此例中的兩個(gè)平面的距離，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到平面ABC的距離.第14講 § 直線與平面平行的性質(zhì)¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的性質(zhì)，掌握直線和平面平行的性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握“線線”“線面”平行的轉(zhuǎn)化.¤知識(shí)要點(diǎn)：線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和

18、一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行. 即：.¤例題精講：【例1】經(jīng)過正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求證：E1EB1B證明： ， .又 ， .則.【例2】如圖，求證：.ABCD證明：連結(jié)，直線和可以確定一個(gè)平面，記為， 又， 四邊形為平行四邊形， .【例3】如右圖，平行四邊形EFGH的分別在空間四邊形ABCD各邊上，求證：BD/平面EFGH.證明： ,平面，平面， .又 ，, .又 , .點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)化思維鏈?zhǔn)恰坝梢阎€線平行線面平行線線平行線面平行”. 此題屬于教材（必修人教A版）中第64頁的3題的演變,

19、 同樣還可證平面.【例4】已知直線平面，直線平面，平面平面=，求證dgba_b_a證明：經(jīng)過作兩個(gè)平面和，與平面和分別相交于直線和， 平面，平面， ，又 平面，平面， 平面，又 平面，平面平面=， ， 點(diǎn)評(píng)：利用公理4，尋求一條直線分別與a，b均平行，從而達(dá)到ab的目的，這里借用已知條件中的a及a來實(shí)現(xiàn)證線線平行，可由公理4進(jìn)行平行傳遞，也可以由線面平行的性質(zhì)及后面的面面平行的性質(zhì)得到線線平行. 這里采用作輔助平面，利用線面平行的性質(zhì)得到線線平行.第15講 § 平面與平面平行的性質(zhì)¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中面面平行的性質(zhì)，掌握面面平行的性

20、質(zhì)定理，靈活運(yùn)用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握“線線”“線面”“面面”平行的轉(zhuǎn)化.¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行. 用符號(hào)語言表示為：.2. 其它性質(zhì)：； ；夾在平行平面間的平行線段相等.¤例題精講：【例1】如圖，設(shè)平面平面，AB、CD是兩異面直線，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，且A、C，B、D. 求證：MN. 證明：連接BC，取BC的中點(diǎn)E，分別連接ME、NE，則MEAC， ME平面，又 NEBD， NE， 又MENE=E，平面MEN平面， MN平面MEN，MN. 【例2】如圖，A，B，C，D四點(diǎn)都在平面a，

21、b外，它們?cè)赼內(nèi)的射影A1，B1，C1，D1是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，在b內(nèi)的射影A2，B2，C2，D2在一條直線上，求證：ABCD是平行四邊形 證明： A，B，C，D四點(diǎn)在b內(nèi)的射影A2，B2，C2，D2在一條直線上，A，B，C，D四點(diǎn)共面又A，B，C，D四點(diǎn)在a內(nèi)的射影A1，B1，C1，D1是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，平面ABB1A1平面CDD1C1AB，CD是平面ABCD與平面ABB1A1，平面CDD1C1的交線ABCD同理ADBC 四邊形ABCD是平行四邊形【例3】如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E、F、G是側(cè)面對(duì)角線上的點(diǎn)，且，求證：平面EFG平面ABC.證明：作于P，連接PF. 在

22、正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面中，易知，又，所以. ，平面ABC.又 ， ， ，則平面ABC. ， 平面PEF/平面ABC. 平面PEF， EF/平面ABC. 同理，GF/平面ABC. ， 平面EFG/平面ABC.點(diǎn)評(píng)：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，是解決立體幾何問題的重要策略，關(guān)鍵在于選擇或添加適當(dāng)?shù)钠矫婊蚓€，并抓住一些平面圖形的幾何性質(zhì)，如比例線段等. 此題通過巧作垂線，得到所作平面與底面平行，由性質(zhì)易得線面平行，進(jìn)而轉(zhuǎn)化出待證的面面平行，突出了平行問題中轉(zhuǎn)化思想.【例4】如圖，已知正方體中，面對(duì)角線，上分別有兩點(diǎn)E、F，且. 求證：EF平面ABCD.證明：過E、F分別作AB、BC的垂線，E

23、M、FN分別交AB、BC于M、N，連接MN. BB1平面ABCD， BB1AB，BB1BC， EMBB1，F(xiàn)NBB1， EMFN， AB1=BC1，B1E=C1F，AE=BF， 又B1AB=C1BC=45°， RtAMERtBNF，EM=FN. 四邊形MNFE是平行四邊形，EFMN. 又MN平面ABCD，EF平面ABCD. 證法二：過E作EGAB交BB1于G，連接GF， ， FGB1C1BC. 又EG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD. b又EF平面EFG，EF平面ABCD. 點(diǎn)評(píng)：在熟知線面平行、面面平行的判定與性質(zhì)之后，空間平行問題的證明，緊緊抓住“線線平行線面平行面面平

24、行”之間的互相轉(zhuǎn)化而完成證明. 第16講 § 直線與平面垂直的判定¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的判定，掌握直線與平面垂直的定義，理解直線與平面垂直的判定定理，并會(huì)用定義和判定定理證明直線與平面垂直的關(guān)系. 掌握線面角的定義及求解.¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線與平面互相垂直，記作. 平面的垂線，直線的垂面，它們的唯一公共點(diǎn)叫做垂足.（線線垂直線面垂直）2. 判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與該平面垂直. 符號(hào)語言表示為

25、：若，B，Ì，Ì，則3. 斜線和平面所成的角，簡(jiǎn)稱“線面角”，它是平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角. 求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足，再作垂線找射影，然后通過解直角三角形求解，可以簡(jiǎn)述為“作（作出線面角）證（證所作為所求）求（解直角三角形）”. 通常，通過斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵.¤例題精講：【例1】四面體中，分別為的中點(diǎn)，且，求證：平面. 證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，分別為的中點(diǎn)，.又，在中，又，即，平面.【例2】已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，求直線AE與平面ABC1D1所成

26、的角的正弦值.解：取CD的中點(diǎn)F，連接EF交平面于O，連AO.由已知正方體，易知平面，所以為所求.在中，.所以直線AE與平面所成的角的正弦值為.【例3】三棱錐中，平面ABC，垂足為O，求證：O為底面ABC的垂心.證明：連接OA、OB、OC， 平面ABC， .又 ， ，得, O為底面ABC的垂心.點(diǎn)評(píng)：此例可以變式為“已知，求證”，其思路是接著利用射影是垂心的結(jié)論得到后進(jìn)行證明. 三條側(cè)棱兩兩垂直時(shí)，也可按同樣的思路證出.【例4】已知，斜邊BC/平面， AB，AC分別與平面成30°和45°的角，已知BC=6，求BC到平面的距離.解：作于，于，則由，得，且就是BC到平面的距離，

27、設(shè)，連結(jié)，則，在中，即BC到平面的距離為點(diǎn)評(píng)：由直線與平面的平行，直接作平面的垂線段即為線面距離. 此題通過兩條垂線段把所已知的線面角同時(shí)作出，利用解直角三角形的知識(shí)和方程思想容易解決問題.第17講 § 平面與平面垂直的判定¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中面面垂直的判定，掌握二面角和兩個(gè)平面垂直的定義，理解平面與平面垂直的判定定理并會(huì)用判定定理證明平面與平面垂直的關(guān)系，會(huì)用所學(xué)知識(shí)求兩平面所成的二面角的平面角的大小.¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角（dihedral angle）. 這條直線叫做二

28、面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面. 記作二面角. （簡(jiǎn)記）2. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角. 范圍：.3. 定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直. 記作.4. 判定：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直. （線面垂直面面垂直）¤例題精講：【例1】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，分別取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F，連結(jié)AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P.（1）求證：APEF；（2）求證：平面APE平面APF.證明

29、：（1）如右圖，APE=APF=90°，PEPF=P， PA平面PEF. EF平面PEF，PAEF.（2）APE=EPF=90°，APPF=P，PE平面APF.又PE平面PAE，平面APE平面APF.【例2】如圖, 在空間四邊形ABCD中， 分別是的中點(diǎn)，求證：平面平面. 證明：為AC中點(diǎn)，所以. 同理可證 面BGD. 又易知EF/AC，則面BGD. 又因?yàn)槊鍮EF，所以平面平面.【例3】如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn)，求證：證明：連接AC，交BD于F，連接，EF，.由正方體，易得，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)， 所以，得到是二面角的平面角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，. ，即，所以.點(diǎn)評(píng)：要

30、證兩平面垂直，證其二面角的平面角為直角，這也是證兩平面垂直的常用方法. 此題由幾何圖形的特征，作出待證的兩個(gè)垂直平面所成二面角的平面角是解決問題的關(guān)鍵. 【例4】正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2AB，D、E分別是側(cè)棱BB1、CC1上的點(diǎn)，且EC=BC=2BD，過A、D、E作一截面，求：（1）截面與底面所成的角；（2）截面將三棱柱分成兩部分的體積之比.解：（1）延長(zhǎng)ED交CB延長(zhǎng)線于F， ，.， 為截面與底面所成二面角的平面角. 在RtAEC中，EC=AC，故得EAC=45°.（2）設(shè)AB=a，則，. .點(diǎn)評(píng)：截面問題的研究，需注意結(jié)合截面的性質(zhì). 如何作出截面，是解決問題的關(guān)

31、鍵，然后把截面的看成一個(gè)平面圖形. 求二面角時(shí)，抓住二面角的平面角定義（兩線垂棱），找出其平面角，解直角三角形. 第18講 § 線面、面面垂直的性質(zhì)¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面、面面垂直的有關(guān)性質(zhì)，掌握兩個(gè)性質(zhì)定理及定理的應(yīng)用.¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 線面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行. （線面垂直線線平行）2. 面面垂直性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直. 用符號(hào)語言表示為：若，則.（面面垂直線面垂直）¤例題精講：ACBa【例1】把直角三角板ABC的直角邊BC放置于桌面，另

32、一條直角邊AC與桌面所在的平面垂直，a是內(nèi)一條直線，若斜邊AB與a垂直，則BC是否與a垂直？解：注：若BC與a垂直，同理可得AB與a也垂直，其實(shí)質(zhì)是三垂線定理及逆定理，證明過程體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法： “線線垂直線面垂直線線垂直”.【例2】如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PA平面ABC. （1）求證：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圓周上一點(diǎn)，且與C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫出圖中所有互相垂直的各對(duì)平面. 解：（1）證明：C是AB為直徑的圓O的圓周上一點(diǎn)，AB是圓O的直徑， BCAC.又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，從而BC平面PAC. BC 平面PBC， 平面

33、PAC平面PBC.（2）平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD.【例3】三棱錐中，,平面ABC，垂足為O，求證：O為底面ABC的外心.證明：連接OA、OB、OC， 平面ABC， .在PAO、PBO、PCO中，, PO邊公共. . ,所以，O為底面ABC的外心.點(diǎn)評(píng)：若已知三條側(cè)棱與底面所成角相等時(shí)，即，按同樣的方法“證全等”可以證出. 上述結(jié)論對(duì)一般棱錐也成立，即棱錐的側(cè)棱均相等或側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.【例4】三棱錐中，三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足為O，求證：O為底面ABC的內(nèi)心.【證】作于D，于E，于F，連接OD、OE、OF. 平面ABC， ， .又 , .得 , 為三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角的平