(完整版)數(shù)與代數(shù)教材分析、重難點突破

1、整理與復(fù)習(xí)數(shù)與代數(shù)教材分析本節(jié)內(nèi)容是小學(xué)階段 “數(shù)與代數(shù)”知識的系統(tǒng)整理與復(fù)習(xí)。修訂后的教材主要分四部分，分別是“數(shù)的認識”“數(shù)的運算”“式與方程”“比和比例”。與實驗教材（義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)六年級，下同）相比，少了“常見的量” “數(shù)學(xué)思考”這兩部分。“常見的量”作為一種應(yīng)用性知識，滲透在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方方面面，和“圖形與幾何”這個領(lǐng)域也較為貼近，所以修訂后的教材沒有獨立設(shè)置專門的復(fù)習(xí)，而是在具體情境中進行復(fù)習(xí)?！皵?shù)學(xué)思考”則是為了突出本套教材對數(shù)學(xué)思想的重視，在 “整理和復(fù)習(xí)”中特意把 “數(shù)學(xué)思考” 從 “數(shù)與代數(shù)”中分離出來，單獨設(shè)置為一個小節(jié)。一方面，通過具體問題的解決，提高學(xué)生

2、的問題解決策略；另一方面，重點復(fù)習(xí)推理的數(shù)學(xué)思想和方法。一、與實驗教材的主要區(qū)別（一）以點帶面，突出核心概念、核心原理與實驗教材相比，修訂后的教材在基礎(chǔ)知識的整理和復(fù)習(xí)上不求面面俱到，而是突出重點， 抓住主要內(nèi)容、主要問題進行整理和復(fù)習(xí)。一方面使 “整理和復(fù)習(xí)”擺脫了羅列知識點、匯編概念與法則的局面，另一方面也給學(xué)生提供了自主梳理知識脈絡(luò)的線索。例如，“數(shù)的認識”的復(fù)習(xí)，從第 30 屆夏季奧林匹克運動會的真實情境入手，呈現(xiàn)了與運動會相關(guān)的各種數(shù)據(jù)，有整數(shù)，有小數(shù)，有分數(shù)，有百分數(shù)，有以“億”或“萬”作單位的數(shù)，有 “負增長”， 體現(xiàn)了數(shù)在實際生活中的廣泛應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上對各種數(shù)進行分類，使學(xué)生

3、整體把握小學(xué)階段 “數(shù)系”的發(fā)展脈絡(luò)， 了解各種數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別，并對重要的基礎(chǔ)性概念及相關(guān)重難點（如數(shù)的順序、數(shù)的大小、數(shù)位、進制、位值等）進行復(fù)習(xí)。（二）加強知識的橫、縱向聯(lián)系，幫助學(xué)生建立網(wǎng)狀知識結(jié)構(gòu)與實驗教材相比，修訂后的教材更加關(guān)注知識間的相互聯(lián)系，更加關(guān)注不同形式的知識背后的內(nèi)在一致性，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深層次理解。例如，對整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算的意義和算法進行回顧，對它們的相同點和不同點進行分析，可使學(xué)生認識到：四則運算的意義并不會因為數(shù)的不同而發(fā)生變化，變化的只是描述的方式，避免了以往在復(fù)習(xí)一個數(shù)乘以小數(shù)、一個數(shù)乘以分數(shù)時把它們的意義和其他乘法割裂開的情況；而在不同形式

4、的算法背后，也隱藏著許多共同的原理，例如，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的加法和減法在實質(zhì)上都是相同計數(shù)單位個數(shù)的累加和累減的過程。再如， 讓學(xué)生對除法、分數(shù)、 比三個概念進行比較，使學(xué)生深刻理解三者的聯(lián)系與區(qū)別，并認識到“平均分”是三者之間存在諸多共同點的內(nèi)在紐帶。二、教材例題分析（一）數(shù)的認識著重復(fù)習(xí)小學(xué)階段所學(xué)的數(shù)的概念。進一步啟發(fā)學(xué)生回顧有關(guān)數(shù)的知識。通過 6 個例題提出更深入的問題，分別涉及十進制計數(shù)法、數(shù)的大小比較、小數(shù)點移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律、因數(shù)和倍數(shù)等主要概念。通過這些問題的回答，幫助學(xué)生比較系統(tǒng)地回顧、再現(xiàn)有關(guān)數(shù)的主要知識。例1 ：鼓勵學(xué)生回顧小學(xué)階段學(xué)過的各種數(shù)，并運用結(jié)構(gòu)圖等方式

5、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。教材中設(shè)置第30 屆夏季奧林匹克運動會的真實情境，有豐富的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生對這些數(shù)進行分類，明確各個概念的內(nèi)涵。例 2：讓學(xué)生自由地在數(shù)軸上表示幾個數(shù)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。在數(shù)軸上的點，既有比較容易標(biāo)注的整數(shù)，也有相對復(fù)雜一些的小數(shù)和分數(shù)。通過觀察這些數(shù)在數(shù)軸上的位置，還可以比較數(shù)的大小。例 3：復(fù)習(xí)十進制計數(shù)法，主要是讓學(xué)生在此體驗數(shù)位順序表的逐步擴充過程，從較小的整數(shù)到大數(shù)的認識，從整數(shù)的認識到小數(shù)、分數(shù)的認識，感受數(shù)級、數(shù)位和計數(shù)單位之間的對應(yīng)關(guān)系。通過對整數(shù)和小數(shù)相鄰單位之間進率的回憶和整理，讓學(xué)生進一步體會十進制計數(shù)法。例 4：對因數(shù)和倍數(shù)的復(fù)習(xí)，這部分內(nèi)容包含很多概念，在教

6、學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在具體的情境中體會各個概念分別表示什么，體會各個概念之間的聯(lián)系與區(qū)別。例 5：對小數(shù)、分數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進行復(fù)習(xí)，能結(jié)合實際說明小數(shù)、分數(shù)的含義，復(fù)習(xí)小數(shù)和分數(shù)的基本性質(zhì)，以及小數(shù)點移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律。例 6：讓學(xué)生舉例說明1 萬有多大、1 億有多大，目的是幫助學(xué)生理解大數(shù)的含義，進一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。（二）數(shù)的運算著重復(fù)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算，包括四則運算的意義、計算方法、運算定律及其應(yīng)用。例1 ：引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)過的運算，要求學(xué)生舉例說明每種運算的含義，目的是在集體交流中尋找所學(xué)過運算的原型，系統(tǒng)地理解運算的現(xiàn)實意義，必要時教師可以補充典型示例。例 2： 對整數(shù)、 小數(shù)

7、、 分數(shù)的四則運算進行比較，找出三者之間的共同點，區(qū)分不同點。對于加、減運算來說，都是把相同計數(shù)單位的數(shù)進行運算，區(qū)別是整數(shù)、小數(shù)主要對齊數(shù)位就行了，而異分母分數(shù)需要通過通分轉(zhuǎn)化為分數(shù)單位相同的分數(shù)，再相加、減；對于乘、除運算，也可以通過這樣的具體實例加以說明。例 3：鼓勵學(xué)生自己整理四則運算中的一些特殊情況，引導(dǎo)學(xué)生自主整理0 和 1 在四則運算中的特殊性，再全班交流。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)運算結(jié)果，對這些算式進行分類，哪些得到原數(shù)，哪些得到0，哪些得到1 等等。例 4：通過觀察這四組算式，引導(dǎo)學(xué)生體會每種運算之間的關(guān)系。這里既有整數(shù)四則運算，又有小數(shù)四則運算，如果把這些小數(shù)改寫成分數(shù)，就變成了分數(shù)四

8、則運算。對這些實例進行適當(dāng)歸納，學(xué)生就能結(jié)合具體例子總結(jié)出各種運算之間的關(guān)系。例 5：就是把例4這些算式的關(guān)系提煉成為用文字和字母的形式進行表述，掌握用字母表示加減法、乘除法之間互逆關(guān)系的方法，可以使學(xué)生對四則運算有更加深刻的理解，同時回顧了用字母表示代數(shù)式的相關(guān)知識。例 6：鼓勵學(xué)生交流四則混合運算的順序，把復(fù)雜的四則混合運算分解成一個個單獨的運算過程，明確第一步計算什么，第二步計算什么只有運算順序正確了，才能一步步把混合運算計算正確，同時，也為第三學(xué)段進一步學(xué)習(xí)代數(shù)式運算打下基礎(chǔ)。例 7：引導(dǎo)學(xué)生自主整理和歸納學(xué)過的五條運算定律，鼓勵學(xué)生結(jié)合實例用字母表示，并結(jié)合相應(yīng)習(xí)題使學(xué)生感知運算定律

9、的作用。這五條運算定律有不同的用處，加法交換律和加法結(jié)合律能綜合運用于連加運算，乘法交換律和乘法結(jié)合律能綜合運用于連乘運算、乘除混合運算，只有乘法分配律涉及乘、加或乘、減這樣包含兩級的運算。例 8：引導(dǎo)學(xué)生舉例說明估算的應(yīng)用，回顧估算的策略，使學(xué)生深入感知估算在日常生活中的廣泛應(yīng)用。估算， 可以幫助我們在精確計算之前就大致判斷一個算式的結(jié)果范圍，在計算之后進行估算，可以幫助我們對運算結(jié)果進行檢驗，還可以幫我們快速解決一些不需要精確計算的問題。例 9 和例10： 主要復(fù)習(xí)用算術(shù)方法解決問題的一般思路和步驟。結(jié)合例 10 的具體問題，通過學(xué)生之間的交流，總結(jié)出在解決問題時有哪些共同的步驟，與實驗教

10、材相比，尤其強調(diào)了解答之后的反思過程。教材沒有給出具體的解答步驟和方法，只是畫出線段圖，提示學(xué)生可以用畫圖的方法輔助思考，幫助分析數(shù)量關(guān)系，由于思考角度不同，可以采用不同的解題策略，體現(xiàn)了策略的多樣性。（三）式與方程著重復(fù)習(xí)用字母表示數(shù)、簡單的方程及其應(yīng)用。例 1 ：以“會用字母表示什么”為題，借助表格梳理，幫助學(xué)生從數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、計算公式、運算定律等方面回顧所學(xué)知識，將已學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，提升學(xué)生自主歸納、總結(jié)的能力。例 2： 讓學(xué)生回顧代數(shù)表達式的正確寫法，鞏固用含字母的表達式表示某個數(shù)量的方法，這是根據(jù)等量關(guān)系列方程的基礎(chǔ)。 “做一做”采用連線搭配的形式， 引導(dǎo)學(xué)生建立起文字表 達

11、與數(shù)學(xué)表達式之間的聯(lián)系。例 3 和例4：啟發(fā)學(xué)生回顧方程和等式的區(qū)別和聯(lián)系，指出了方程表示一種等量關(guān)系的實質(zhì)， 并對解方程的依據(jù)（即等式的性質(zhì)）進行了回顧與復(fù)習(xí)。重溫用方程解決實際問題的特點：用字母表示未知數(shù)，未知數(shù)參與列式列出方程，解方程。（四）比和比例著重復(fù)習(xí)比和比例的基本知識及其應(yīng)用，以及正、反比例的概念。例 1 ：采用小精靈提問的方式，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)比和比例的基礎(chǔ)知識，比較它們的聯(lián)系與 區(qū)別。 借助表格梳理，引導(dǎo)學(xué)生重溫比和比例的意義、各部分名稱和基本性質(zhì)，體現(xiàn)讓學(xué)生自主歸納的思路。例 2：仍然借助表格的方式，梳理比和分數(shù)、除法的關(guān)系，把學(xué)生分散的知識點進行整合，學(xué)會整體地、一般性地把握

12、知識，使知識融會貫通，體會變中有不變的思想，看到不同形式背后的一致性，將表面上看似不同的三個知識整合為本質(zhì)相同的“一個知識”。例3：讓學(xué)生回顧比的基本性質(zhì)、分數(shù)的基本性質(zhì)、商不變的規(guī)律之間的聯(lián)系，揭示三者之間的密切聯(lián)系和內(nèi)在一致性。例4：讓學(xué)生復(fù)習(xí)正比例關(guān)系、反比例關(guān)系的概念，并通過生活中的實例說明兩種量成正、 反比例的判斷方法，能寫出相關(guān)聯(lián)的兩個量與不變量之間的關(guān)系式，培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想。本節(jié)內(nèi)容比較豐富，既有數(shù)與運算、代數(shù)初步等方面的基礎(chǔ)知識和基本技能，又有問題解決的一般過程和策略。數(shù)與運算是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識，式與方程、比和比例是數(shù)與運算進一步的抽象和發(fā)展，體現(xiàn)了初步的代數(shù)思維。本部分內(nèi)容

13、的教學(xué)重點是比較系統(tǒng)地掌握有關(guān)整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)和百分數(shù)、負數(shù)、 比和比例、方程的基礎(chǔ)知識；能比較熟練地進行整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算，能進行整數(shù)、小數(shù)的加、減、乘、除的估算，會運用運算定律進行簡便運算，合理、靈活地進行計算，會解學(xué)過的方程，理解比和比例的相關(guān)意義；養(yǎng)成檢查和驗算的習(xí)慣。本部分內(nèi)容的教學(xué)難點一是這部分復(fù)習(xí)內(nèi)容概念非常集中，學(xué)生對概念的理解、記憶容易出現(xiàn)混淆；二是要過計算關(guān)，使學(xué)生能通過正確、合理的計算，解決一些實際問題。整理與復(fù)習(xí)數(shù)與代數(shù)重難點突破一、通過系統(tǒng)整理數(shù)的認識、數(shù)的運算、式與方程、比和比例，厘清概念，溝通知識之間的聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)1重視概念的理解，明確各個概念的含義

14、這部分復(fù)習(xí)內(nèi)容概念非常集中，復(fù)習(xí)時可以通過讓學(xué)生自己舉出實例加以說明的方式重溫每一個概念的含義，通過這種比較具體、形象的方式，幫助學(xué)生明確各個概念的含義，并促進理解。在表述時，只要能講清意思就行，不苛求字眼，只要不是關(guān)鍵的字詞，其他的可以由學(xué)生自行組織語言，這樣也能避免機械背誦概念的做法。2尋找概念之間的聯(lián)系和區(qū)別這一部分包含的概念中，有許多容易使學(xué)生產(chǎn)生混淆的概念，對這些概念，可以通過表格的方式進行對比、辨析， 還可以把一個復(fù)雜的概念分解成幾部分，一部分一部分進行對比，幫助學(xué)生明確這些概念之間的異同點。同時， 這也是對知識進行結(jié)構(gòu)化教學(xué)的好素材，在原先各年級的教學(xué)中，各個概念之間的學(xué)習(xí)認知容

15、易割裂，在總復(fù)習(xí)的階段，正好可以進行辨析，使知識融會貫通。3適度要求，適度留白在小學(xué)階段，有些概念是要非常明確的，也有一些有待于進一步學(xué)習(xí)的概念（如負數(shù)、正比例和反比例等）， 學(xué)生到了初中之后還要進一步深入學(xué)習(xí)這些概念，就更不能追求講深講透，只要學(xué)生在教材給定的水平上，獲得初步認識、初步理解就可以了，不作過高要求。二、重視計算能力的培養(yǎng)與提高，重視對數(shù)量關(guān)系的分析能力，重視解決問題的策略1明確算理，搞清算法，合理安排練習(xí)小學(xué)階段所學(xué)的數(shù)值計算都集中在本節(jié)，從整數(shù)四則運算到小數(shù)四則運算、分數(shù)四則運算，從四則計算到混合運算，層層推進。在復(fù)習(xí)時，要注意回顧每一種計算的算理，給學(xué)生充分的機會來回顧、領(lǐng)悟，同時講清楚每一種計算的算理，明確筆算書寫的規(guī)則，培養(yǎng)基本的計算能力。在分項目落實的基礎(chǔ)上，分析各種算法之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，促進計算能力的提高。適當(dāng)控制計算的練習(xí)量，避免重復(fù)機械地進行同一層次練習(xí)，制定練習(xí)計劃，每天有計劃、有側(cè)重地練習(xí)一些口算和少量的混合運算，這樣的分散練習(xí)比集中練習(xí)效果更好