(word完整版)高中數(shù)學解析幾何解題方法~

1、解析幾何常規(guī)題型及方法(1)中點弦問題具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法(點差法)：設曲線上兩點為(xi,y1)，(X2，y2),代入方程，然后兩方程相減，再應用中點關系及斜率公式，消去四個參數(shù)。2典型例題給定雙曲線X2 1。過A(2,1)的直線與雙曲線交于兩點P1及P2,求線段P1P2的中點P2的軌跡方程。(2)焦點三角形問題橢圓或雙曲線上一點 P,與兩個焦點F1、F2構成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。2一 、一 一一 X典型例題設P(x,y)為橢圓2y_.八， : 1 上任一點，F(xiàn)（ c,0）, F2（c,0）為焦點，PF1F2，PF2F1。b） sin/(1)求證離心率 e si

2、n.一33 .(2)求 |PF1| PF2I 的最值。(3)直線與圓錐曲線位置關系問題直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程后利用判別式，應特別注意數(shù)形結合 的辦法典型例題拋物線方程y2 p(x 1) (p 0),直線x y t與x軸的交點在拋物線準線的右邊。(1)求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(2)設直線與拋物線的交點為A、B,且OALOB,求p關于t的函數(shù)f的表達式。(4)圓錐曲線的有關最值(范圍)問題圓錐曲線中的有關最值(范圍)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<1>若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質來解決。<2>

3、若命題的條件和結論體現(xiàn)明確的函數(shù)關系式，則可建立目標函數(shù)(通常利用二次函數(shù)， 三角函數(shù)，均值不等式)求最值。 典型例題已知拋物線y2=2px(p>0),過M (a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點 A、B, |AB|w 2P(1)求a的取值范圍；(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N,求 NAB面積的最大值。(2)設AB的垂直平分線交 AB與點Q,令其坐標為(X3,y3),則由中點坐標公式得：(5)求曲線的方程問題1 .曲線的形狀已知 這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線L過原點，拋物線 C的頂點在原點，焦點在 x軸正半軸上。若點 A (-1, 0)和點B (0

4、, 8)關于L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程。2 .曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標平面上點Q(2,0)和圓C：x2+y2=1,動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)(>0),求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。分析：如圖，設MN切圓C于點N,則動點M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|,由平面幾何知識可知：|MN|2二|MO|2-|ON|2二|MO|2-1 ,將 M點坐標代入，可得:(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.當=1時它表示一條直線；當 w1時，它表示圓。這種方法叫做直接法。MNOQ(6)存在兩點關于直線對稱問題典型例題已知橢

5、圓22C的方程二匕 1 ,試確定43m的取值范圍,使得對于直線 y 4x m,橢圓C上有不同兩點關于直線對稱。分析：橢圓上兩點(x1,y1) ， (x2, y2)，代入方程,相減得3(x1x2)(x1x2)4( y1y2)(y1y2)x1x2又x322y1 y23x。x1x2y 3x又由y 4x解得交點(m, 3m)。交點在橢圓內,則有(m)24(3m)232 13132、1313(7)兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用k1 - k2y1 . V2x1 . x21來處理或用向量的坐標運算來處理。典型例題已知直線l的斜率為k ,且過點P( 2,0),拋物線C:y24(x 1),直線

6、l與拋物線C有兩個不同的交點(如圖)。(1)求k的取值范圍;(2)相垂直。直線l的傾斜角為何值時，A、B與拋物線C的焦點連線互分析:直線y k(x 2)代入拋物線方程得(4k24)x 4k2 4 0,0,得 1 k 1(k 0)。在曲線上兩點關于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這 交點在圓錐曲線形內。(當然也可以利用韋達定理并結合判別式來解決)(2)由上面方程得 X1X24k2 4k2.2 ,yy2k (Xi 2)(X2 2)4 ,焦點為O(Q0)。由kOAkOB學目 1得k 次.2 一arctan或 2arctan 二 2B:解題的技巧方面在教

7、學中，學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲 線系方程，以及運用“設而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：(1)充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條 件，并結合平面幾何知識，這往往能減少計算量。22_,、一. 一. .典型例題設直線3x 4y m 0與圓x y x 2y 0相交于P、Q兩點，O為坐標原點，右OP OQ ,求m的值。,_22解： 圓x y x 2y 0過原點，并且OP OQ ,1PQ是圓的直徑，圓心的坐標為 M( 1)21，、C-又M( -

8、 , 1)在直線3x 4y m 0上，15、3 ( ) 4 1 m 0, m一即為所求。22評注：此題若不充分利用一系列幾何條件：該圓過原點并且 OP OQ,PQ是圓的直徑，圓心在直線3x 4y m 0上，而是設P(x1, y1)、Q(x2, y2)再由OP OQ和韋達定理求 m ,將會增大運算量。評注：此題若不能挖掘利用幾何條件OMP 90 ,點M是在以OP為直徑的圓周上，而利用參數(shù)方程等方法，計算量將很大，并且比較麻煩。二.充分利用韋達定理及“設而不求”的策略我們經常設出弦的端點坐標而不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。10典型例題已知中心在原點 O,焦

9、點在y軸上的橢圓與直線 y x 1相交于P、Q兩點，且OP OQ , |PQ| 0，2求此橢圓方程。解：設橢圓方程為ax2 by2 1(a b 0),直線y x 1與橢圓相交于P(x1，y1)、Q(x2，y?)兩點。y x 1由方程組22消去y后得ax by 1(a b)x2 2bx b 1 02bb 1Xi X2， Xi X2 -a ba b由 kop koQ i，得 yy2X1X2(1)又P、Q在直線y x 1上，yiX111(2)y2X21,(3)yy2 (X11)(X21) X1X2 (X1 X2)12b(4)把(1)代入，得 2x1x2 (X1 x2) 1 0 ,即3 a b化簡后，

10、得a b 2由 |PQ|X2)2(y1y2)2(X1 X2)24,(x12x2)4x1 x22b )2 a b4(b 1)a b1 一 3把(2)代入，得4b2 8b 3 0 ,解得b 或b 2 2代入(4)后，解得a §或22 23 .1由 a b 0,得 a ，b 。22所求橢圓方程為結2評注：此題充分利用了韋達定理及“設而不求”的策略，簡化了計算。三.充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點，因此也可以減少計算。典型例題求經過兩已知圓 C1： x2 y2 4x 2y 0和C2: x2 y2 2y 4 0的交點，且圓心在直線2x 4y 1 0上的圓的方程。解：設所求圓

11、的方程為：22_, 22_、-xy4x 2y(xy2y4) 022即(1 )x (1 )y 4x 2(1 )y 40,、，21、其圓心為C (,)1 12 1122又C在直線l上， 2 4 10 ,解得 ，代入所設圓的萬程得 x y 3x y 10為113所求。評注：此題因利用曲線系方程而避免求曲線的交點，故簡化了計算。四、充分利用橢圓的參數(shù)方程 橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關的求最值的問題.這也是我們常說的三角代換法。 22x y 典型例題P為橢圓.y- 1上一動點，A為長軸的右端點，B為短軸的上端點，求四邊形 OAPB面積的最大值a2 b2及此時點P的坐標。五、線段長的幾種簡便計算方法 充分利用現(xiàn)成結果，減少運算過程般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程y kx b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax2bx c 0的方程，方程的兩根設為xA,xB,判別式為4,則|AB|，1k2 |xAxB|V1k2 ,若|a|直接用結論，能減少配方、開方等運算過程。22例 求直線x y 1 0被橢圓x 4y 16所截得的線段 AB的長。 結合圖形的特殊位置關系，減少運算在求過圓錐曲線焦點的弦長時，由于圓錐曲線的