(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學大一輪復習-2.4冪函數(shù)與二次函數(shù)教案(含解析)

1、§ 2.4哥函數(shù)與二次函數(shù)最 新 考 綱1.通過實例，了解哥函數(shù)的概念.2.結(jié)合一，2311函數(shù)y = x, y= x, y = x, y = -, y= x2的圖象，了解它們的變化情況.3.理解并掌握二次x函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì).4.能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.131.募函數(shù)(1)募函數(shù)的定義 . - -一 - . . . . 、 一一一般地，形如y = x的函數(shù)稱為哥函數(shù)，其中 x是自變量，a是常數(shù).(2)常見的五種哥函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較函數(shù)y= x2y= x3y = x1y= x2-1y=x圖象性定義域RRRx| x n 0 x| xW0值域RylyR0R

2、yly。yl yw。奇偶性互函數(shù)假函數(shù)亙函數(shù)非奇非偶函數(shù)五函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在（一00, 0上單調(diào)遞減；在（0 , +°0）在R_b單調(diào)遞增在0 , 十0°）上單調(diào)遞增在（巴。）和（0 , 十00）上單調(diào)遞減上單調(diào)遞增公共點(1,1)2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f (x) = ax + bx+ c( a>0)f (x) = ax + bx+ c( a<0)圖象定義域RR值域,一i 24ac b -k oo4a ，4ac- b284a單調(diào)性b ，在xC 8 上單倜遞減；2ab,、一一 一在x 丁，十°°上單倜遞增2a,b .一在xC 8

3、 上單倜遞增； 2a-b在x +°0上單倜遞減 2a對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線X2a對稱概念方法微思考1 二次函數(shù)的解析式有哪些常用形式？提示 (1) 一般式：y= ax2+bx + c( aw。)；2(2)頂點式：y=a(x m) +n(aw。)； 零點式：y=a(x-xi)( x-x2)( aw0).2 .已知f(x)=ax2+bx+ c(aw0),寫出f (x) RO恒成立的條件.提示 a>0且 w 0.題組一思考辨析1 .判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打或“X”)2.一，2 、_ 4ac b(1)二次函數(shù) y= ax + bx+ c(aw0), xC a, b的取值一t

4、e是 .( x )4a(2)在y= ax k= 1 , oc = . - k+ a =. 23.已知函數(shù)f(x)=x2 + 4ax在區(qū)間(一8, 6)內(nèi)單調(diào)遞減，則 a的取值范圍是()A. a>3B. aW3C. a< 3D. aw 3答案 D+bx+c( aw0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大 小.(V )1函數(shù)y= 2x2是募函數(shù).(x )(4)如果募函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點.( V )(5)當n<0時，哥函數(shù)y = xn是定義域上的減函數(shù).(x )題組二教材改編2 .已知哥函數(shù)f(x) = k x"的圖象過點2，乎，則k

5、+a等于()A.1B. 1C.3D. 222答案 Ck= 1,解析由哥函數(shù)的定義，知 也 12 =k , 2 . .一 .2. . . , 一 .一. 解析 函數(shù)f(x) =x+4ax的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是x=- 2a,由函數(shù)在區(qū)間(一8, 6)內(nèi)單調(diào)遞減可知，區(qū)間(一巴 6)應在直線x=2a的左側(cè)， 2a>6,解得 aw3,故選 D.題組三易錯自糾4 .哥函數(shù)f(x)=xa23(aCZ)為偶函數(shù)，且 f(x)在區(qū)間(0 , +8)上是減函數(shù)，則a等于()A. 3B. 4C. 5D. 6答案 C解析 因為 a2-10a+23= (a-5)2-2,29f(x) = x(a 5

6、) 2(aez)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0, +8)上是減函數(shù)，所以(a5)2 2<0,從而 a= 4,5,6 ,又(a5)22為偶數(shù)，所以只能是a=5,故選C.5 .已知函數(shù) y=2x2-6x+3, xC 1,1,則y的最小值是 .答案 1一,、_2_，一 人，.，一，、.3-、_2_,_，解析 函數(shù)y= 2x 6x+3的圖象的對稱軸為 x = 2>1,，函數(shù) y= 2x 6x+3在1,1上單調(diào)遞減，= ymin = 2 1 6+ 3= - 1.6.設二次函數(shù) f (x) =x2 x+a(a>0),若 f (m)<0 ,貝U f(m- 1)0.(填">&q

7、uot;"<"或“=”)答案 >解析f(x) = x2x+a圖象的對稱軸為直線x = 2,且f(1)>0 , f(0)>0 ,而f(n)<0 ,me (0,1),1. m- 1<0, . . f (m- 1)>0.題型一哥函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.若哥函數(shù)的圖象經(jīng)過點12, 4則它的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. (0 , +8)B. 0 ,+8)C. ( 一 oo,+oo)D. ( 00 , 0)答案 D1解析 設f(x) = x，則2 =4，a =2,即f(x)=x-2,它是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是 (一巴0).故選D.2.若四個哥函數(shù)y=xa

8、, y = xb, y = xc, y= xd在同一坐標系中的圖象如圖所示，則a, b, c,d的大小關(guān)系是()A. d>c>b>aB. a>b>c>dC. d>c>a>bD. a>b>d>c答案 B解析 由哥函數(shù)的圖象可知，在（0,1）上哥函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸，由題圖知 a>b>c>d,故選 B. 23.已知哥函數(shù)f （x） = （n32a,解得a<- 1或W<a<g+2n 2） xn3n（nCZ）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0,十）上是 減函數(shù)，則n的值為（）A. 3B.

9、 1C. 2D. 1 或 2答案 B解析 由于f （x）為哥函數(shù)，所以n2+2n2= 1,解得n= 1或n= 3,經(jīng)檢驗只有n= 1符 合題意，故選B.1 1 4. （2018 濰坊模擬）若（2+1） 2思維升華 （1）募函數(shù)的形式是y=x"（ a e R）,其中只有一個參數(shù) a ,因此只需一個條件即 可確定其解析式.（2）在區(qū)間（0,1）上，哥函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸（簡記為“指大圖低”），在區(qū) <（3 - 2a） 3,則實數(shù)a的取值范圍是 .2 3答案（8, - 1） U 3, 212解析 不等式（a+1） 3<（3 -2a） 3等價于 a+1>3 2

10、a>0 或 3 2a<a+1<0 或 a+1<0<3X軸.間(1 , +8)上，哥函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離 在比較哥值的大小時， 必須結(jié)合哥值的特點, 準確掌握各個哥函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較,題型二求二次函數(shù)的解析式例 1 (1)已知二次函數(shù) f (x) =x2bx+c滿足 f(0) = 3,? xC R,都有 f(1 + x) = f(1 x) 成立，則f(x)的解析式為.答案f(x) =x2-2x+3解析由f (0) =3,得c= 3,又 f (1 + x) = f (1 -x),，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線 x

11、= 1對稱，,b-2= 1,b= 答案x2+2x解析設函數(shù)的解析式為f (x) = ax(x + 2)( aw。)， 一 ，2 一 , 4ax 04a所以 f (x) = ax + 2ax,由= 1,4a得 a= 1,所以 f (x) = x2+ 2x.思維升華求二次函數(shù)解析式的方法, 2. f (x) = x -2x+ 3.(2)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個交點坐標為(0,0)和(一2,0)且有最小值一1,則f(x) =.跟蹤訓練1 (1)已知二次函數(shù)f (x) =ax2+bx+1(a, be R, aw。)，xCR,若函數(shù)f(x)的最 小值為 f( 1) = 0,則 f(x) =.答案

12、x2+2x+1解析 設函數(shù) f(x)的解析式為 f(x)=a(x+i)2=ax2+2ax+a(awo),又 f (x) = ax2+bx+1,所以 a=1,故 f (x) =x2+2x+ 1.(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2,并且對任意xC R,都有 f(2 x) =f (2+x),則 f(x) =.答案x2-4x+3解析 因為f (2 x) = f (2+x)對任意xCR恒成立，所以f(x)圖象的對稱軸為直線x= 2.又因為f(x)的圖象被x軸截得的線段長為 2,所以f(x)=0的兩根為1和3.設f(x)的解析式 為 f(x) =a(x 1)( x

13、-3)( aw。)，又 f (x)的圖象過點(4,3),所以 3a=3,即 a= 1,所以 f (x) 2的解析式為 f (x) = (x- 1)( x-3),即 f (x) = x 4x+3.題型三二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)命題點1二次函數(shù)的圖象例2 (2018 重慶五中模擬)一次函數(shù)y=ax+b(aw 0)與二次函數(shù) y=ax2+bx+c在同一坐標系中的圖象大致是()答案 C解析 若a>0,則一次函數(shù) y = ax+b為增函數(shù)，二次函數(shù) y=ax2+bx+ c的圖象開口向上，故可排除A；若a<0, 一次函數(shù)y= ax+ b為減函數(shù)，二次函數(shù) y= ax2+bx+c的圖象開口向b下，故

14、可排除D；對于選項B,看直線可知a>0, b>0,從而<0,而二次函數(shù)的對稱軸在 2ay軸的右側(cè)，故應排除 B,選C.命題點2二次函數(shù)的單調(diào)性例3 函數(shù)f (x) = ax2+(a3) x+ 1在區(qū)間1, 十°°)上是遞減的，則實數(shù)a的取值范圍是()A. -3,0)B.(巴3C. 2,0D, -3,0答案 D解析 當a=0時，f(x) = 3x+1在1, +8)上單調(diào)遞減，滿足題意.3 a當aw。時，f(x)的對稱軸為x=,2aa<0,由f(x)在1, +8)上單調(diào)遞減，知 3a w 1,2a'解得3wa<0.綜上，a的取值范圍為3,0

15、.引申探究若函數(shù)f (x) = ax2+(a3) x+1的單調(diào)減區(qū)間是1, +°°),則a=.答案 3解析 由題意知f(x)必為二次函數(shù)且a<0,J>L= - 1, a = - 3.2a命題點3二次函數(shù)的最值2例4已知函數(shù)f (x) = ax + 2ax+i在區(qū)間 1,2上有最大值4,求實數(shù)a的值.解 f (x) =a(x+ 1)2+1- a.(1)當a=0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間 1,2上的值為常數(shù)1,不符合題意，舍去；.一. _. .一 3(2)當a>0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,2上是增函數(shù)，最大值為f(2) =8a+1 = 4,解得a=-；8(3)當

16、a<0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，最大值為f( 1) = 1a=4,解得a =-3.綜上可知，a的值為|或3.8引申探究2將本例改為：求函數(shù)f(x)=x+2ax+1在區(qū)間 1,2上的取大值.解 f (x) =(x+ a) 2+ 1- a2,，f(x)的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為 x=- a.(1)當一a<；即 a> 2時，f (x) max= f (2) =4a+5,_1.1 . _ _(2)當一a>2即 aw 2時，f (x) max= f ( 1) = 2 2a, ,一 14a+5, a>-,2綜上，f (x)max=2 2a, a w 2.

17、命題點4二次函數(shù)中的恒成立問題例5(1)已知二次函數(shù)f (x)滿足f (x+1) f (x) = 2x,且f(0) =1,若不等式f(x)>2x+ m在 區(qū)間 1,1上恒成立，則實數(shù) m的取值范圍為 .答案(8, 1)解析 設 f (x) = ax2+ bx+ c(aw0),由 f (0) = 1,得 c= 1,又 f(x+ 1) -f(x) =2x,得 2ax + a+b=2x,所以 a=1, b=1,所以 f(x)=x2 x+1.f(x)>2x+m在區(qū)間 1,1上恒成立，即 x2 3x + 1 - n>0在1,1上恒成立，令 g(x) = x2 3x + 1 - mr x

18、 2 4 mixC 1.1 , g(x)在1,1上單調(diào)遞減，所以g(x)min=g(1) =1 3 + 1 n>0,所以 n<1.(2)函數(shù)f(x) = a2x+3ax2(a>1),若在區(qū)間 1,1上f(x)<8恒成立，則a的最大值為解析 令 ax=t,因為 a>1, x - 1,1,所以1wtwa,原函數(shù)化為 g(t) = t2+3t 2, ate a ,顯然g(t)在-,a上單調(diào)遞增，所以f (x) <8恒成立，即g(t)max= g(a) <8恒 aa成立，所以有a + 3a 2W8,解得5w aw2,又a>1,所以a的最大值為2.思維升華

19、解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時要注意：(1)拋物線的開口，對稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論；(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解).(3)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值或值域.跟蹤訓練2 (1)函數(shù)y = x2+bx+ c(xC0, +8)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是()A. b>0B. bwoC. b>0D. b<0答案 A2b ,解析 :函數(shù)y = x+bx+ c(xC0,+8)是單倜函數(shù)，圖象的對稱軸x=

20、 2在區(qū)間0 ,bb+ 8)的左邊或2 = 0,即2w0,得b>0.2(2)已知函數(shù)f (x) =x 2ax+2a+ 4的te義域為 R,值域為1 , 十°°),則a的值為答案 1或3解析由于函數(shù)f(x)的值域為1 , 十°°),所以 f (x) min= 1.又 f (x) =(x- a)2- a2 + 2a+ 4,當 xC R時，f(x)min= f (a) = - a2+2a+4= 1,2即 a2a3=0,解得 a=3 或 a=1. 設函數(shù)f (x) = ax2 2x+2,對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,則實數(shù)

21、a的取值范 圍為.1答案2, +°0，升22,一一解析 由題息得 a>-2M 1<x<4恒成立, x x-=2 一一21+ 2,一<一<14 x26數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想在二次函數(shù)中的應用研究二次函數(shù)的性質(zhì)，可以結(jié)合圖象進行；對于含參數(shù)的二次函數(shù)問題，要明確參數(shù)對圖象的影響，進行分類討論2例設函數(shù)f(x) = x2x+2, xC t , t + 1 , t C R,求函數(shù)f(x)的最小值.解f(x)=x22x+2 = (x1) 2+1, xCt, t + 1, t CR,函數(shù)圖象的對稱軸為x=1.當t+iwi,即two時，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)

22、f(x)在區(qū)間t , t + 1上為減函數(shù)， 所以最小值為f (t+1) = t2+1;當t<1<t+1,即0<t<1時，函數(shù)圖象如圖(2)所示，在對稱軸 x= 1處取得最小值，最小值 為 f (1) = 1;當tni時，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間t , t+ 1上為增函數(shù)，所以最小值為2f(t) =t -2t + 2.t2+1, t<0,綜上可知，f(X)min= 1, 0<t<1 ,2t 2t + 2, t >1.1.募函數(shù)y=f（x）經(jīng)過點（3,?。?則£。）是（）A.偶函數(shù)，且在（0, +00）上是增函數(shù)B.偶函

23、數(shù)，且在（0, +8）上是減函數(shù)C.奇函數(shù)，且在（0, +8）上是減函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)，且在（0, +8）上是增函數(shù)答案 D1 11解析設備函數(shù)的解析式為y = X"，將（3,m）代入解析式得3“ =也，解得a=2,，y=x2, 故選D.2.募函數(shù)y= xm2 4m(m Z)的圖象如圖所示，則 m的值為()A. 0B. 1C. 2D. 3答案 C解析 y= xm2 4m( me Z)的圖象與坐標軸沒有交點,ni-4n<0,即 0<n<4.又函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱且me Z,4m為偶數(shù)，m= 2.23.右帚函數(shù)f(x)=(m4mu4) - x 8在(0 , +&#

24、176;°)上為增函數(shù)，則 m的值為()A. 1 或 3B. 1C. 3D. 2答案 B解析 由題意得 m2 4m4=1, mi-6m+ 8>0,解得m= 1.4.已知函數(shù)f(x) =ax2+x+5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是()A 0 TTB 一00 A. 0, 20B. ,20C. 1, +°°D.-工,2020a>0,即1-20a<0,得 a>2Q.答案 Ca>0, 解析由題意知 <0,5.已知 a, b, cCR,函數(shù) f(x) = ax2+bx+ c.若 f(0) = f (4)> f (1)，則()A.a

25、>0,4a+b= 0B.a<0,4a+b = 0C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b = 0答案 A解析 由 f(0)=f(4),得 f(x) = ax2+bx+c 圖象的對稱軸為 x=-7b-=2, - 4a+b=0,又 2af(0)> f(1) , f(4)> f(1) ,f(x)先減后增，于是 a>0,故選 A.6.已知函數(shù)f(x)=-x2+ 2ax+1-a, x 0,1有最大值 2,則a等于()A. 2B. 0C. 0 或1D. 2 或1答案 D解析 函數(shù)f(x) = x2+2ax+1a=(xa)2+a2a+1,其圖象的對稱軸方程為 x

26、= a. 當 a<0 時，f (x)max= f (0) = 1 - a,所以 1 a= 2,所以 a= - 1 ；當 0w aw i 時，f (x) max= f (a) = a2a+ 1,所以 a2a+1= 2,所以 a2- a1 = 0,所以 a= 1 一產(chǎn)(舍去)；當 a>1 時，f (x)max =f (1) = a,所以a= 2.綜上可知，a= - 1或a=2.17 .已知 f(x)=x2,g(x)=x2,h(x)=x 2,當0Vx<1時，f(x),g(x),h(x)的大小關(guān)系是答案 h( x)>g( x)>f(x)解析 分別作出f(x) , g(x)

27、, h(x)的圖象如圖所示,可知 h(x)>g( x)> f (x).一.一一.3.8 .已知二次函數(shù) y=f(x)的頂點坐標為 一2, 49 ,且萬程f(x) =0的兩個實根之差的絕對 值等于7,則此二次函數(shù)的解析式是 .2答案 f (x) = 4x 12x + 40解析設 f (x) = a x+, 2+49( aw0),方程a x + 2 答案0,4解析 令f (x) = - 6,彳# x= 1或x = 3;令f (x) = 2,得x = 1.又f (x)在1,1上單調(diào)遞增，在1,3上單調(diào)遞減，當 m= - 1, n=1時，m n取得最小值0；當m= 1, n= 3時，n取得

28、最大值4.11. (2018 河南南陽一中月考 )已知函數(shù)f(x) = x2+mx- 1,若對于任意xCm m 1,都有f(x)<0成立，則實數(shù) m的取值范圍是 .一 2答案, 0解析 因為函數(shù)圖象開口向上，所以根據(jù)題意只需滿足f m= rm+ rm 1<0,2f 1 =1 +mm+ 1 1<0, 解得三除。.12.已知函數(shù) f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)當a=2, x -2,3時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在 1,3上的最大值為1,求實數(shù)a的值.解 (1)當 a=2 時，f (x) =x2+3x- 3, xC 2,3,+49= 0的兩個實根分別為

29、 xi, x2,貝U | xi x2| = 2a = 7,所以 a=4,所以 f(x) = 4x212x+40.9 .已知函數(shù)f(x) =x2-(a-1)x+5在區(qū)間1，1上為增函數(shù)，那么 f(2)的取值范圍是答案 7 , +8)C1解析 函數(shù)f(x) =x2(a1)x+5在區(qū)間2, 1上為增函數(shù)，由于其圖象 (拋物線)開口向_a -1,19，、，1-., a 一11 人上，所以其對稱軸 x= 2一或與直線x= 2重合或位于直線x=2的左側(cè)，即應有-2-<2,解得 aW2,所以 f(2) =4-(a-1) X2+5>7,即 f (2) >7.10 .設函數(shù)f(x)= 2x2+

30、4x在區(qū)間m n上的值域是6, 2,則 m n的取值范圍是3函數(shù)圖象的對稱軸為x=26 2,3,39 9 八 21，f (X) min=f-=3=,24 24 'f (x) maX=f(3) =15,，21 .f (x)的值域為 一了，15 .(2)函數(shù)圖象的對稱軸為直線2a1 X=2a-1_1 _當一 2 W1,即 a> 2時，f (x) max= f (3) = 6a + 3,一 1 .6a+3=1,即a= 滿足題思;3_ ,2a11 ,當2>1,即a<2時，f ( x) max= f ( 1) = 2a 1).二2a 1=1,即 a= 1,滿足題意.1 .綜上可知,a= w或1.313 .如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+ c(a0)圖象的一部分，圖