2020屆全國卷Ⅲ高考壓軸卷數(shù)學(xué)(文)(解析版)

1、老牛自知夕陽晚絕密啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。 寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個選項中，只有一項 是符合題目要求的。1 .已知集合Ax(x 1)(xx log 2 xA.2 ,4B.1,C.0,4D. 2,2 .若復(fù)數(shù)z滿足z(1i）2 i （i是虛數(shù)單位），則Z為（

2、1A.一3B.C. 1 D.43.已知單位向量fa!, b滿足ab)=(A. 0C. 1D. 2武犯的圖象，則小的解析式D. 9D.等邊三角形4 .將函數(shù)打由二叫"十才的圖象向左平移匕個單位，得到函數(shù)A."一。、3 B. 9：.、： _ -. 4 C.5 .已知 x?10g32= 1,則 4x=（）A. 4B. 6C. 4,寅”6 .在 ABC 中，若 sinB = 2sinAcosC ,那么 ABC 一定是A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形7 .宋元時期，中國數(shù)學(xué)鼎盛時期中杰出的數(shù)學(xué)家有“秦九韶、李冶、楊輝、朱 世杰四大家”，朱世杰就是其中之一.朱世杰是一位平

3、民數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家.朱世杰平生勤力研習(xí)九章算術(shù)，旁通其它各種算法，成為元代著名數(shù)學(xué)家.他全面繼承了前人數(shù)學(xué)成果，既吸收了北方的天元術(shù)， 又吸收了南方的正負(fù)開方術(shù)、 各種日用算法及通俗歌訣，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)造性的研究，寫成以總結(jié)和普及當(dāng)時各種數(shù)學(xué)知識為宗旨的算學(xué)啟蒙，其中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長四尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.如圖，是源于其思想的一個程序框圖.若輸入的a,b分別為3, 1,則輸出的n)Li：b=2b.fl丁是/輸% / a*A. 2B. 3C. 48 .已知等比數(shù)列 an中，公比為q, a2 3,且1數(shù)列bn的前n項和為Tn,則T9 ()A. 36B

4、. 289 .設(shè)函數(shù) f(x) alnx bx2 (a 0,b 0),若函數(shù)D. 5,q, 7成等差數(shù)列，又bn 10g3 an,C. 45D. 32f（x）的圖象在x 1處的切線與直線x y 2e 0平行，則一 一的最小值為（）a bA. 1B.- C.3 272D. 32J10.已知函數(shù) f （x） = sin （cox+（j） （co> 0,。）中心對稱，則下列結(jié)論正確的是（）242）的最小正周期為兀，且關(guān)于A. f (1) v f (0) v f (2)B. f (0) v f (2) vf (1)C. f (2) v f(0) < f (1)D. f (2) v f (1

5、) vf (0)11.已知拋物線y2的焦點F是橢圓匕 a2x 1(a b 0)的一個焦點,且該拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交于A、B兩點，若FAB是正三角形，則橢圓的離心率為(A. .31B. 2C. -13D. J12.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(2 x) f(x) 2x 2 ,記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x),當(dāng)xW1時恒有f (x) 1.若f(m) f (1 2m) > 3m 1 ,則m的取值范圍是A. (, 11B. ( 3,iC. 1,)二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。1 .13.求值：log315 -log3 252x> 0,14.已知x, y滿足 x

6、y>4,若x 2y的最小值為x 2y < 1. 一一.1一，15、已知數(shù)列an的前n項和為Sn ,且Sn 2an 1 ,則數(shù)列 的前6項和為an16、已知正三棱錐P-AB。，點H、H、B、。都在半徑為。球面上，若PA. P.B、.PC兩兩相互垂直，則球心到截面的距離為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721題為必考題,每個試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分。17. ( 12分)質(zhì)量是企業(yè)的生命線，某企業(yè)在一個批次產(chǎn)品中隨機(jī)抽檢質(zhì)量指標(biāo)值等級頻數(shù)60, 75)三等品1075, 90)二等品3090

7、, 105)一等品a105, 120)特等品20合計n標(biāo)值進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到表格如表:按質(zhì)量指n彳頻率0.10.40.2(1)求 a, b, n;(2)從質(zhì)量指標(biāo)值在90, 120)的產(chǎn)品中，按照等級分層抽樣抽取6件，再從這6件中隨機(jī)抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率.18. (12 分)已知數(shù)列an滿足L 一 n2 a15 2a2 5 2a3 52an 5 3(1)求數(shù)列 an的通項公式；1(2)設(shè)數(shù)列 的前n項和為Tn,求Tn.an an 119 . (12 分)將棱長為2的正方體ABCD A1B1cl D1截去三棱錐D1 ACD后得到如圖所示幾何體, 。為丹勒的中點.(1)求證OB

8、 /平面ACD1 ;(2)求幾何體 ACB1AlD1的體積.20. ( 12分)中心在原點的橢圓E的一個焦點與拋物線 C : x2 4y的焦點關(guān)于直線y x對稱，且橢圓e與坐標(biāo)軸的一個交點坐標(biāo)為2,0(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II)過點0, 2的直線l (直線的斜率k存在且不為0)交E于A, B兩點，交X軸于點P點A關(guān)于x軸的對稱點為D,直線BD交x軸于點Q.試探究|OP | | OQ |是否為定值？請說明理由.221. ( 12 分)已知函數(shù) f (x) x ax 21nx.(I)當(dāng)a 5時，求f (x)的單調(diào)區(qū)間；1 1(II)若f(x)有兩個極值點 “x2,且x1 - x2，求a取值范

9、圍.(其中e為自然對數(shù) 3e的底數(shù)).(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第題計分。22.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線1x的參數(shù)方程為L (t為參數(shù))，以原點O二 t2為極點，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為41 sin2uuu uuirQ 求 OP OQ .(1)求直線1的普通方程和曲線 C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)P (0,-1),直線1與C的交點為M N,線段MNN勺中點為23.已知函數(shù)f (x) x 2(1)解不等式：f(x) 4 f(x 1)(2)若函數(shù)g(x) Jx 3,(x 4)與函數(shù)y m f (x) 2f (x 2

10、)的圖象恒有公共點， 求 實數(shù)m的取值范圍.2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)參考答案1、【答案】C【解析】算出集合 A B后可求A B.【詳解】A x(x 1)(x 4) 01,4 , B xlog2x 20,4 ,故A B 0,4 ,故選c.2、【答案】B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求得Z1 、一一，問題得解2【詳解】由z(1 i)2 i可得：zi2(1 i)_21 2i i一 1所以| Z 故選：B 23、C【分析】直接把已知代入數(shù)量積求解即可.解：因為單位向量 且,b滿足則g? (a.-= a.?b=12-0=1-故選：C.4、【答案】A【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換的規(guī)律

11、可得所求的解析式.【詳解】將函數(shù) 月處%(2七十/的圖象向左平移七個單位后所得圖象對應(yīng)的解析式為二 cos2x故選A.5、D【分析】利用對數(shù)的性質(zhì)和運算法則及換底公式求解.解： x? 10g32= 1,x=log23,故選：D.6、B 解：sinB = sin兀(A+C) = sin (A+C) = sinAcosC+cosAsinC =2sinAcosC, cosAsinC sinAcosC = sin (CA) =0,即 CA = 0, C=A,a= c,即 ABC為等腰三角形.故選：B.7、【答案】C【解析】按流程圖逐一執(zhí)行即可【詳解】輸入的a,b分別為3, 1時，依次執(zhí)行程序框圖可得:

12、b 2 1 2a b不成立n 1 1 29 1 9 27 a 2 2 24b2 24ab不成立n2 132712781a 4248b2 4 8ab不成立n3 1481181243a82816b 2 8 16a b成立輸出n 4故選：C8、【答案】A【解析】由 1, q, 7成等差數(shù)列即可列方程求得：q 3,即可求得：an 3n 1得：bn n 1,再利用等差數(shù)列前 n項和公式計算即可【詳解】因為 1, q, 7成等差數(shù)列，所以2q1 7,解得：q 3又 a23 ,所以 為a2qn 23 3n 23n 1所以 bnlog3 an log3 3n1 n 1所以 T9b1b2 Lb99 131b92

13、9 119 1236故選：A9、【答案】D2a【斛析】由f(x) aln x bx可得：f (x) 2bx, x又函數(shù)f(x)的圖象在x1處的切線與直線xy 2e 0平行,所以 f (1) a 2b 1a 2b2ba3 2欄3當(dāng)且僅當(dāng)a J5 1,b 1返時，等號成立211所以一一的取小值為3 2>/2 ab故選：D10 D【分析】根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷即可.-2冗 八解：函數(shù)的取小周期是兀，'=兀，得3=2,貝U f (x) = sin (2x+ 4),TT- f (x)關(guān)于J , 0)中心對稱,2x (即(|)= k ti+TTT7TN)

14、+(|)= k Tt, kCZ,kCZ,，當(dāng) k= 0 時，4 =rr兀、即 f (x) = sin (2x+),4則函數(shù)在-f (0) =f (7T-STTTTT _ 3T一上遞增，在一3oE-上遞減,<1<2,兀、f (-T)>f (1) >f (2),即 f v f (1) v f ( 0),故選：D.11、【答案】C【解析】由題知線段AB是橢圓的通徑，線段AB與y軸的交點是橢圓的下焦點 F1,且橢圓的c 1,又 / FAB 60o ，af2AF12a12【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)AFi63,f(m)造函數(shù)F(x) f (x) xF(2 x) x 1,F(x)所以

15、,F' x ,F(x)FF1otan 60f(1,32c32m) > 3m2后,|AF22 AFi13 ,故選C.331 f (m)f (2 x) f(x) 2x 2F(x)的對稱軸為x是增函數(shù)；x -m f(1 2m) (1 2m),所以構(gòu)f(21 ,1 ,F' xx) (2 x)F (x)f'(x)0, F (x)是f(x) x ,1所以，減函數(shù)。一八，一1|m-1|1-2m-11,解得：m -1,313【答案】1【解析】根據(jù)對數(shù)運算，化簡即可得解【詳解】由對數(shù)運算，化簡可得1 log315 log32521 =log 315 log3 252 =log 3

16、15 10g35=log 33=1故答案為:114、【答案】5【解析】式組表示的平面區(qū)域，再將目標(biāo)函數(shù)z = x+2y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng) x=3且y=1時，Z取得最小值.x 0【詳解】作出不等式組x y 4表示的平面區(qū)域，x 2y 1x y 4其中解得A (3, 1)x 2y 1設(shè)z=x+2y,將直線l： z = x+2y進(jìn)行平移，觀察y軸上的截距變化，可得當(dāng)l經(jīng)過點A時，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值二Z最小值=3+2=5故答案為：5. I-215、【答案】6332【解析】由題意得Sn-12ani 1(n 2)an2an2an 1an2 an 1 ,因為§=2a11 a1 1n 1a

17、n 2an數(shù)列工的前6項和為 a n【詳解】.正三棱錐P- ABCPA PRPC兩兩垂直,，此正三棱錐的外接球即為以PA PBPC為三條棱的正方體的外接球,老牛自知夕陽晚球的半徑為v3, ，正方體的邊長為 2,即PA= PB= PC= 2球心到截面ABCW距離即正方體中心到截面 ABCW距離設(shè)P到截面ABCW距離為h,則正三棱錐P- ABCW體積V=1SaabcX h=-SpabX PG= - x - x 2 333 24X2X 2= 3ABC?邊長為 印5的正三角形，Saabcx（2/2） 2二2、百，球心(即正方體中心)O到截面ABCW距離為了-空竺，故答案為17、解：（1）由 10+0.

18、1=100,即 n=100,.a= 100X0.4 = 40,b= 30+ 100= 0.3.6 分(2)設(shè)從“特等品”產(chǎn)品中抽取x件，從“一等品”產(chǎn)品中抽取y件,由分層抽樣得:解得 x= 2, y= 4,，在抽取的6件中，有特等品2件，記為A1，A2,有一等品4件，記為B1，B2, B3, B4,則所有的抽樣情況有 15種，分別為：A1A2, A1B1 , A1B2,A1B3, A1B4, A2B1, A2B2, A2B3, A2B4, B1B2, B1B3, B1B4, B2B3,B2B4, B3B4,其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9種，分別為:A1A2, A1B1,A1B2,

19、 A1B3, A1B4, A2B1, A2B2, A2B3, A2B4,.至少有1件特等品被抽到的概率為:12分18.解：（1）令 8n n,bn3. 一， 1當(dāng)n 1時，b1 ,則bn32an 5 n 12an 5 3n n 11當(dāng) n 2 時，8n 8n 1 - -333故an3n 52 Q- (3n 5)5 1) 53島 3，分(£3)4 1114 n 123 8 3(n 1) 56 9n 24 6n 1619.解：(1)取AC中點為O1,連接OOhBQ'OQj正方形A1B1C1D1中。為AC的中點，。為B1D1的中點.又.正方體 ABCD A1B1clD1 中 AA

20、CC1 BB1,OO1 / CC1 / BB1 .OO1 / BB1 .，四邊形 OO1B1B 為平行四邊形，BO1 B1O BO1 / D1O .，四邊形O1BOD1為平行四邊形 . BO/O1D1 .又BO 平面ACD1 , OR 平面ACD1,OB / 平面 ACD1 6 分(2)VACB1A1D1VABCC1D1A1B, VA BCB1 VC B1C1D1VABCC1D1ABiVABCD A1B1C1 D1 VD1 ACD20312VA BCB1VC B1clD1分4204一 , VACB1AlD1 - 2 20. (1)因為橢圓E的一個焦點與拋物線 C:x2 4y的焦點關(guān)于直線 y

21、x對稱,所以橢圓E的右焦點為(1,0)，所以C 1.又橢圓E與坐標(biāo)軸的一個交點坐標(biāo)為 (2,0),所以a 2,又b2 a2 c2 3,老牛自知夕陽晚2032所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為£.42匕i.3(2)設(shè)直線1的方程為ykx 2, k0,則點Pr0A xi,yi,B X2,y2則點D Xi,yi1與橢圓E的方程有2 y3kx4k216kx 40 ,所以有 484k2k2xi且X2X1X216k3 4k ,即直線BD43 4k2y的方程為y2yiyiXiX2Xi令y 0,得點Q的橫坐標(biāo)為xQXi yX2 yiyiy22 kxiX2 2 XiX28k 32k代入得：XQ22i6k2 4 3 4k2所以|OP |OQ| xp Xq2 2k k4