2019-2020學(xué)年江西省贛州市尋烏中學(xué)高二上學(xué)期第二次段考數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2019-2020學(xué)年江西省贛州市尋烏中學(xué)高二上學(xué)期第二次段考數(shù)學(xué)(理)試題一、單選題1 .從已經(jīng)編號(hào)的180(1180)名學(xué)生中抽取20人進(jìn)行調(diào)查，采用系統(tǒng)抽樣法.若第1組抽取的號(hào)碼是 2,則第10組抽取的號(hào)碼是()A. 74B. 83C. 92D. 96【答案】B【解析】求出樣本間隔，結(jié)合系統(tǒng)抽樣的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】樣本間隔為180 + 20=9,第10組抽取的號(hào)碼是 2+9父9=83,故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，求出樣本間隔是解決本題的關(guān)鍵.2,已知 a =(2,-1,3), b =( 1, 4, -2), c =( 1, 3,萬(wàn)，若a、b、也三向量共面，則實(shí)數(shù)

2、入等于()A. 1B. 2C. 3D, 4【答案】A【解析】由向量a、b、c共面得出c=x：+yb,列方程組可求得入的值.【詳解】解：向量A、b、C共面，則c=xa+yb ,其中x, yCR；貝U ( 1, 3, X) = (2x, -x, 3x) + (-y, 4y, -2y) = (2x-y, -x+4y, 3x-2y),2x -y =1-x +4y =3 ,3x 12 y - 1解得 x=1 , y=1 , z=1.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示與共面定理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.3，3.盒子中有若干個(gè)紅球和黃球，已知從盒中取出2個(gè)球都是紅球的概率為一，從盒中28取出2個(gè)球都是

3、黃球的概率是-5,則從盒中任意取出 2個(gè)球恰好是同一顏色的概率是14132815C.28D.【解析】根據(jù)和事件的概率求解即可求得結(jié)果設(shè)從中取出2個(gè)球都是紅球”為事件A;從中取出2個(gè)球都是黃球”為事件B；任意取出2個(gè)球恰好是同一顏色”為事件C則C =A|JB,且事件A與B互斥_3 5 13PC 二P A PB =28 丁 18即任意取出2個(gè)球恰好是同一顏色的概率為本題正確選項(xiàng)：A1328本題考查和事件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題4,已知變量x與y線性相關(guān)，由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù) = 3，y = 4 ,線性回歸方程y =bx + a中的系數(shù)b，a滿足ba =2,則線性回歸方程為（）“c13A . y

4、 = x + 7 B . y x -y22【答案】D【解析】由最小二乘法原理可知樣本平均數(shù)31C. y=x+1D, y=x-一22（3,4）在線性回歸方程上，將（3,4）代入回歸方程，聯(lián)立方程組求出 b , a的值，即可得出線性回歸方程解：同歸直線y=bx + a過(guò)（3,4）二 3b +a =4 ,又'：b -a = 231斛倚 b = -，a = -2 '2，、31二線性回歸萬(wàn)程為y = x .22故選D.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程.其中回歸直線經(jīng)過(guò)樣本中心是解題的關(guān)鍵.5.關(guān)于直線 m、n及平面外3,下列命題中正確的是（）A .若 m _La ,m/B ,則 ot _L

5、PB.若 m/o（ , n/a ,則 mnC.若 m/a , m _L n ,則 n _LaD.若 m/ /o（ ,口C P = n ,則 m n【答案】A【解析】由空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系逐一核對(duì)四個(gè)命題即可得到答案【詳解】解：A.正確，若m / 3則3內(nèi)存在直線l使得l / m,又m± a故 U a又l? 3故a± 3;B.錯(cuò)誤，若m / a且n / a則m與n可能平行，可能相交也可能異面；C.錯(cuò)誤，若 m / am± n 時(shí)，則 n / a或 n? a或 n± a;D .錯(cuò)誤，若m / a , a Cn昵m / n或異面故選：A【點(diǎn)睛】

6、本題考查了線線、線面平行和垂直關(guān)系的判斷，熟練掌握線面平行、垂直的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵6.下列有關(guān)命題的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A .若p cq為假命題，則p、q均為假命題B. x=1"是X23x+2=0”的充分不必要條件C.命題若x2 3+2 = 0，則x = 1的逆否命題為：若x#1,則x23x + 2#0”D.對(duì)于命題p：三x w R,使得x2+x+1 <0 ,則一1P : VxW R,均有x2+x + 1之0【答案】A【解析】根據(jù)命題的真假，充分與必要條件的關(guān)系以及命題之間的關(guān)系，特稱命題的否定為全稱命題等逐一判斷即可 .【詳解】本選擇題可以逐一判斷，顯然對(duì)于A選項(xiàng)P-

7、q為假命題可知p、q一假一真或者均為假 命題，因此A的結(jié)論錯(cuò)誤，選才i A項(xiàng)即可.對(duì)于B項(xiàng)，x=1可得x2 _3x+2=0,反之無(wú)法推出 所以X=1"是X2_3x + 2 = 0”的充分不必要條件.對(duì)于C項(xiàng)條件，結(jié)論否定且互換，正確.特稱命題的否定是全稱命題，可知D判斷正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假判斷問(wèn)題，充要條件，命題的否定，全稱命題以及特稱命題的概念.7.已知直線ax + y-2+a=0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù) a =()A. 1B. -1C. 2或 1D. 2或 1【答案】D【解析】根據(jù)題意討論直線它在兩坐標(biāo)軸上的截距為0和在兩坐標(biāo)軸上的截距不為 0時(shí),

8、求出對(duì)應(yīng)a的值，即可得到答案.【詳解】由題意，當(dāng)2 +a = 0 ,即a = 2時(shí)，直線ax + y - 2 + a = 0化為2x + y = 0 ,此時(shí)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0,滿足題意；c 上'=1當(dāng) 一2 +a #0 ,即 a #2時(shí)，直線 ax+y 2 + a = 0 化為 2 a 2 a ，a2 -a 由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，可得 =2 -a ,解得a = 1;a綜上所述，實(shí)數(shù)2=2或2=1.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的應(yīng)用， 以及直線在坐標(biāo)軸上的截距的應(yīng)用， 其中解答中熟記 直線在坐標(biāo)軸上的截距定義， 合理分類討論求解是解答的關(guān)鍵， 著重考查了運(yùn)算

9、與求解 能力，屬于基礎(chǔ)題.8 .某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A. 4+8V3+nB. 4+8，3+2元C. 8+8石+冗D. 8+8百+2?！敬鸢浮緾【解析】根據(jù)三視圖知幾何體是底面為正方形的長(zhǎng)方體，中間挖去一個(gè)圓錐體剩余部分,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求得該幾何體的表面積.【詳解】解：根據(jù)三視圖知幾何體是底面為正方形的長(zhǎng)方體，中間挖去一個(gè)圓錐體剩余部分，如S=2 X22+4 X2 *73 -兀為兀?1?(拘2 +12 =8+8 而 + 兀.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖想象出直觀圖，以及空間想象力，識(shí)圖能力及計(jì)算能力.9 .若正整數(shù) N除以正整數(shù) m后的余數(shù)為n ,則記為N三n

10、(modm),例如10三3(mod7).下面程序框圖的算法源于我國(guó)南北朝時(shí)期聞名中外的中國(guó)剩余定理，執(zhí)行該程序框圖，則輸出 n的值等于()h 26u n + IA. 29B. 30C. 31D. 32【答案】D【解析】由題中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)Z構(gòu)計(jì)算并輸出變量n的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【詳解】由題中的程序框圖可知：該程序框圖功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出同時(shí)滿足條件：被3除余2,被5除余2,所以應(yīng)該滿足是15的倍數(shù)多2,并且是比26大的最小的數(shù)，故輸出的n為32,故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有循環(huán)結(jié)構(gòu)

11、的程序框圖，讀取程序框圖的輸出數(shù)據(jù)，屬于簡(jiǎn)單題目.10 .如圖圓錐的高SO=J3,底面直徑AB = 2,C是圓。上一點(diǎn)，且AC = 1,則SA與BC所成角的余弦值為（）第14頁(yè)共21頁(yè)B .3B3C.【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),，一，一，一 一 uu , -* 利用向量數(shù)量積即可求得 AS與BC夾角的余弦值?！驹斀狻緼建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系得:/、,、- -31 -A (0, -1,0), B(0,10) , S (0 Q 點(diǎn)，C|y,-2,0設(shè)AS, BC的夾角為日，0 <0 <2又AS=(0,1,羨二招2?0nttAS BC貝U cos?二一4|AS|B

12、C |4ji因?yàn)? :二-2即SA與BC所成角的余弦值為本題考查了空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算及利用空間向量求異面直線的夾角，屬中檔題.11 .過(guò)點(diǎn)P(5,3 y乍圓x2+y2 =9的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為 A、B,則直線AB的方程為()A. 4x+3y9=0B.3x 4y -9 =0C. 5x+3y9=0D.5x-3y 9 = 0【答案】C【解析】根據(jù)題意，由切線長(zhǎng)公式求出PA的長(zhǎng)，進(jìn)而可得以 P為圓心，PA為半徑為圓，則AB為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)P（5,3 %乍圓x2+y2 =9的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為 A、B,則 PA = J|PO

13、'9 =5 ,一. ，一，一，一，22則以P為圓心，PA為半徑為圓為（x5 ） +（y 3） =25 ,即圓22x + y 10x 6y +9 = 0 ,22,2 nx + y = 9AB為兩圓的公共弦所在的直線，則有« 22，x2 y2 -10x-6y 9 = 0作差變形可得：5x+3y9=0 ；即直線AB的方程為5x+3y9=0,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線方程，圓與圓的公共弦所在直線方程的求解，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力12.在三棱錐 P-ABC 中，PA = PB = 3, BC=4V2，AC =8 , AB_L BC ,平

14、面 PAB.L 平面ABC ,若球。是三棱錐P-ABC的外接球，則球 O的半徑為（）.A叵b.晅C.返D.邁2222【答案】A【解析】取AB中點(diǎn)D, AC中點(diǎn)E,連PD, ED,得£為4 ABC外接圓的圓心，且 OE /平面PAB ,然后求出 PAB的外接圓半徑r和球心O到平面PAB的距離等于 d ,由勾股定理得r = "d2 +r2 ,即可得出答案.【詳解】解：取AB中點(diǎn)D, AC中點(diǎn)E,連PD, ED因?yàn)锳B_LBC,所以E為 ABC外接圓的圓心因?yàn)镺E / PD, OE不包含于平面 PAB ,所以O(shè)E /平面PAB因?yàn)槠矫?PAB_L平面 ABC, PA=PB = 3

15、,得 PD_Lab, ED1AB所以PD_L平面ABC, ED,平面PAB且 AB =JAC2 BC2 =4短，PD=1所以球心O到平面PAB的距離等于d=ED=2j21在 PAB 中，PA = PB=3, AB =4萬(wàn)，所以 sin/PAB =,3PB9所以 pab得外接圓半徑 2r = -= 9 ,即r =由勾股定理可得球 O的半徑R = Jd2+r2 =®12故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，經(jīng)常用球中勾股定理R = jd2 +r2解題，其中R是外接球半徑，d是球心到截面距離，r是截面外接圓半徑.二、填空題Ii.r .13.若直線l的萬(wàn)向向量為a=(1,-2,3)

16、，平面”的法向量為n =(2,x,0)，若l/ a則x的值等【答案】1【解析】根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量平行建立方程，即可求出x的值?！驹斀狻坑蒷 / a可知an = 0 ,即2-2x=0 ,所以x=1?！军c(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，比較基礎(chǔ)，也較簡(jiǎn)單。14 .歐陽(yáng)修在賣油翁中寫(xiě)到：“(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕 ”，可見(jiàn)賣油翁的技藝之高超，若銅錢直徑4厘米,中間有邊長(zhǎng)為1厘米的正方形小孔，隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴大小忽略不計(jì))則油恰好落入孔中的概率是 .【答案】【解析】分析：根據(jù)幾何概型的概率公式解答即可詳解：由幾何概型的概率公式得 P

17、1 _ .所以油恰好落入孔中的概率是L.故答案為：-點(diǎn)睛：本題主要考查幾何概型的概率公式,意在考查概率的基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力及基本的運(yùn)算能力.12 215 .過(guò)點(diǎn)M(,1)的直線l與圓C： (x-1) 2+y2=4交于A、B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)/ACB2最小時(shí)，直線l的方程為【答案】2x-4y+3 = 0【解析】要/ ACB最小則分析可得圓心 C到直線l的距離最大，此時(shí)直線l與直線CM垂直，即可算出CM的斜率求得直線l的方程.由題得，當(dāng)/ ACB最小時(shí)，直線l與直線CM垂直，此時(shí)kCM 二2-1，又本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,11 1 ,1 1kCM kl = 一1，故 kl =,又直線 l

18、過(guò)點(diǎn) M(一,1)，所以 l :y 1= (x)，即22222x-4y 3 = 0 .故答案為：2x-4y 3=0，過(guò)定點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)求最值的問(wèn)題一般為圓心到定點(diǎn)與直線垂直時(shí)取得最值.同時(shí)也考查了線線垂直時(shí)斜率之積為-1,以及用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程的方法16 .已知正方體 ABCD A1B1clD1的棱長(zhǎng)為a ,點(diǎn)E, F, G分別為棱AB, AA1 , CR的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是過(guò)E, F, G三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為正六邊形;D BiDi / / 平面 EFG ;BDi，平面ACBi ； 異面直線EF與BDi所成角的正切值為 ；21 3四面體ACBiDi的體積等于

19、一a .2【答案】【解析】根據(jù)公理 3,作截面可知正確;根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系可知 不正確；根據(jù) 線面垂直的判定定理可知 正確；根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)公式可知 正確；用正方體體 積減去四個(gè)正三棱錐的體積可知 不正確.【詳解】延長(zhǎng)EF分別與BiAi , BiB的延長(zhǎng)線交于N, Q,連接GN交ADi于H,設(shè)HG與BiCi的延長(zhǎng)線交于 P,連接PQ交CCi于| ,交BC于M ,連FH , HG , GI , IM , ME, EF ,如圖：第ii頁(yè)共2i頁(yè)則截面六邊形EFHGIM為正六邊形，故正確:因?yàn)锽iDi與HG相交，故BDi與平面EFG相交，所以不正確:B BD _L AC,，BDi _L

20、AC （三垂線定理），7 BCi _L BiC； BDi J- BiC （三垂線定理），且AC與BiC相交，所以BDi _L平面ACBi ,故正確；以D為原點(diǎn)，DA, DC, DDi分別為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系一aa則 D(0,0,0), E(aq,0), F(a,0,2),B(a,a,0), Di(0,0,a),小 a a、-1則 EF = (0, -一，一)，BD1 = (-a, -a,a),2 2所以cos春苗二月理|EF|BDi|_ ,、 , a. , 、 a0 (-a) () (-a)a2222J0 +a-十a(chǎn)-Ja2 +a2 +a2、44a2、66 23a2所以 sin

21、 :二 EF, BDi >. 3 _3_ =_26 2-*sin : EF,BDt所以 tan ： EF,BDi = 'cos : EF, BDi第i2頁(yè)共2i頁(yè)所以異面直線EF與BD1的夾角的正切值為 叵,故正確；2因?yàn)樗拿骟wACBiDi的體積等于正方體的體積減去四個(gè)正三棱錐的體積，11.1.即為a 4父父一a = -a故不正確.3 23故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了公理 3,直線與平面的位置關(guān)，直線與平面垂直的判定，空間向量求異面直線所 成角，三棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題.三、解答題 22217.已知 p:x 7x+10<0, q:x 一4mx+3m <0,其中 m

22、 > 0 .(1)若m=4,且pnq為真，求x的取值范圍；(2)若 凡是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.5【答案】(1) (4,5) ； (2) 5,2 .3【解析】(1)根據(jù)pr、q為真，可先對(duì)命題 P進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得對(duì)應(yīng)數(shù) x的取值范圍是(2,5),對(duì)命題q,當(dāng)m=4時(shí)，求得x的取值范圍是(4,12),再求二者交集即可(2) *是”的充分不必要條件"等價(jià)于P是q的充分不必要條件”，可轉(zhuǎn)化為p J q,再進(jìn)行求解【詳解】(1) p:x27x+10<0 ,p為真命題時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是(2,5),；m = 4,所以同理q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù) x的取值范圍是(4,12)

23、.又；pnq為真，則p,q同時(shí)為真命題，即 x的取值范圍的交集，為 4<x<5.即m=4時(shí)，且pq為真，x的取值范圍是(4,5).(2)因?yàn)轱w是p的充分不必要條件，即 p是q的充分不必要條件，即 p三q又命題q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù) x的取值范圍是(m,3m),- m -25所以,解得-<m <2.3m -53故實(shí)數(shù)m的取值范圍是5,2 .3【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)命題真假求解自變量取值范圍，由集合的包含關(guān)系求解參數(shù)取值，原命題和逆否命題同真同假可幫助我們簡(jiǎn)化運(yùn)算，是中檔題型18.已知點(diǎn) M(3,3),圓 C:(x1)2+(y 2)2 =4.(1)求過(guò)點(diǎn)M且與圓C相切的直線方程；

24、(2)若直線axy+4 =0(a w R)與圓C相交于A , B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2 J3 , 求實(shí)數(shù)a的值.3【答案】(1) x=3 或 3x+4y21=0； (2).【解析】(1)考慮切線的斜率是否存在，結(jié)合直線與圓相切的的條件d=r,直接求解圓的切線方程即可.(2)利用圓的圓心距、半徑及半弦長(zhǎng)的關(guān)系，列出方程，求解 a即可.【詳解】(1)由圓的方程得到圓心(1,2),半徑r = 2.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線x=3與圓C顯然相切；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為y-3 = k(x-3),即kx-y+33k = 0,|k -2 3-3k| 八3由題意得：! = 2 ,解得k = 3 ,&

25、gt;k2 143方程為 y-3 = (x-3),即 3x+4y 21=0.故過(guò)點(diǎn)M且與圓C相切的直線方程為x = 3或3x+4y21 = 0.(2) 弦長(zhǎng)AB為2石，半徑為2.八.|a 2|a2 1|a+2| ；a2 12.32圓心到直線ax-y +4=0的距離d =力=,【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查切線方程的求法，考查了垂徑定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.19.如圖，四邊形 ABCD 與 BDEF 均為菱形，/ DAB = /DBF =60 °,且 FA=FC, AB=2,AC與BD交于點(diǎn)O.（1）求證:FO,平面 ABCD;（2）求AF與平面BFC所成角的正弦值

26、.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）名5【解析】（1）證明線面垂直，需證明 FO垂直于平面ABCD內(nèi)兩條相交直線，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)該尋找AC和BD;（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解，直線與平面所成角的正弦值等于直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值【詳解】（1）證明：連接FO、FD, FA=FC,FOX AC, 四邊形BDEF為菱形，且/ DBF =60°, . DBF為等邊三角形， .O 為 BD 中點(diǎn).FOXBD,又丁。為AC中點(diǎn)，且FA=FC, ACXFO,又 ACABD=O,，F(xiàn)O,平面 ABCD,（2）由OA, OB, OF兩兩垂直，建立如

27、圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.因?yàn)樗倪呅?ABCD為菱形，Z DAB =60°,則 BD=2,所以 OB=1, OA=OF =V3.所以 O（0,0,0 ）, A（五0,0 ）, B（0,1,0 ）, C（-73,0,0 ）, F（0,0,V3 ）.所以 CF =（43,0,5,CB=（由1,0）AF=（-73,0,石）.設(shè)平面BFC的法向量為n = （x, y, z）,則有底=。n CB =0、3x3z =04 一，所以 «，取 x=i,得 n =(i, J3,1).所以 cos>< AF, n> =公5AF nn _ -2V3 _.10n 6q55

28、則 sin =cos< AF, n>l.3x y = 0第27頁(yè)共21頁(yè)【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線面垂直的證明和求線面角，向量作為一個(gè)重要的工具，在立體幾何中作用巨大，直線與平面所成角的正弦值等于直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值，在平常學(xué)習(xí)中需要積累和理清向量法解決立體幾何的常用公式結(jié)論，避免用錯(cuò).20.十九大提出：堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，做到精準(zhǔn)扶貧，我省某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶 貧村真正脫貧，堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合，幫助貧困村種植臍橙，并利用互聯(lián)網(wǎng)電商進(jìn)行銷售，為了更好銷售，現(xiàn)從該村的臍橙樹(shù)上隨機(jī)摘下100個(gè)臍橙進(jìn)行測(cè)重，其質(zhì)量分布在區(qū)間200,500(單位：克)，統(tǒng)

29、計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示：(1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在350, 400) , 400,450)的臍橙中隨機(jī)抽取5個(gè),再?gòu)倪@5個(gè)臍橙中隨機(jī)抽2個(gè)，求這2個(gè)臍橙質(zhì)量至少有一個(gè)不小于400克的概率；(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的臍橙種植地上大約還有 100000個(gè)臍橙待出售，某電商提出兩種收購(gòu)方案：A .所有臍橙均以7元/千克收購(gòu)；B.低于350克的臍橙以2元/個(gè)收購(gòu)，其余的以 3元/個(gè)收購(gòu)請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為該村選擇收益較好的方案.（參考數(shù)據(jù)：（225M 0.05 + 275M 0.16 +325父 0.24 +375父 0.3 + 42

30、5父 0.2 + 475M 0.05 = 354.5）【答案】（1）工；（2）見(jiàn)解析10【解析】（1）由題意首先確定各個(gè)區(qū)間內(nèi)臍橙的個(gè)數(shù)，然后列出所有可能的取值，利用古典概型計(jì)算公式確定所求的概率值即可；（2）由題意分別計(jì)算兩種方案的收益值，選擇收益高的方案即可【詳解】（1）由題得臍橙質(zhì)量在 1350,400）和1400,450）的比例為3： 2.應(yīng)分別在質(zhì)量為1350,400 ）和1400,450 ）的臍橙中各抽取3個(gè)和2個(gè).記抽取質(zhì)量在350,400 ）的臍橙為A, A2, A,質(zhì)量在1400,450）則從這5個(gè)臍橙中隨機(jī)抽取 2個(gè)的情況共有以下10種：A1A2,A1A3,A2A3,A1B

31、1,A2B1,A3B1,AB2,A2B2,A3B2,其中質(zhì)量至少有一個(gè)不小于 400克的7種情況，故所求概率為 10（2）方案B好，理由如下：由頻率分布直方圖可知，臍橙質(zhì)量在1200,250 ）的頻率為50M 0.001 = 0.05同理，質(zhì)量在 1250,300）, 1300,350）, 1350,400）, 1400,450）, 450,500 的頻率依次為0.16.0.24.0.3, 0.2, 0.05若按方案B收購(gòu)：,臍橙質(zhì)量低于350克的個(gè)數(shù)為（0.05+0.16 + 0.24產(chǎn)100000= 45000個(gè)臍橙質(zhì)量不低于 350克的個(gè)數(shù)為55000個(gè)二收益為 45000M2+5500

32、0M3 = 255000元若按方案A收購(gòu)：根據(jù)題意各段臍橙個(gè)數(shù)依次為5000, 16000.24000, 30000, 20000.5000.于是總收益為225 5000 275 16000 325 24000 375 30000 425 20000 475 5000父7*1000 = 248150 （元）二方案B的收益比方案 A的收益高，應(yīng)該選擇方案B .本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，古典概型計(jì)算公式，利用概率統(tǒng)計(jì)的方法選擇合理方案的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力21 .如圖，在直三棱柱 ABCAB1C1 中，/BAC=90°, AB=AC = AA=2, E

33、 是BC中點(diǎn).（1）求證：AB/平面AEG ；（2）在棱AA1上存在一點(diǎn)m ,滿足BiM _LCiE ,求平面MEC1與平面ABBA所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）巫.【解析】（1）連結(jié)AC交ACi于點(diǎn)O,根據(jù)三角形中位線可知 EO/AB ；利用線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用B1M 1C1E可得TBM 'GE=0,從而可得M點(diǎn)坐標(biāo)；利用空間向量法，利用兩個(gè)平面的法向量所成角可得到所求角的余弦值.【詳解】（1）證明：連結(jié)AC交AG于點(diǎn)O ,連結(jié)EOA ACC1A是正方形，。為AC的中點(diǎn)又E為CB的中點(diǎn):EO/A1B：EOu 平面 AECi

34、, ABS 平面 AECi .AB/平面 AECi(2)以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:則 A(0,0,0), B(2,0,0), B (2,0,2), C(0,2,0),a= (cos.：,sin .：), b = (cos :,sin P), E(1,1,0)設(shè) M(0,0,m), 0 WmW2,則 BM =(-2,0,m 2), C1E = (1, 1, 2)> * B1M _LCiE , BiM CiE = 2 2(m 2) = 0,解得：m = 1T-1二 M (0,0,1 ),則 ME =(1,1,-1), MCi =(0,2,1 )設(shè)平面MEC1的法向量n = (x, y,z)皿ME貝 U MC1 n=2y z = 0r，令 y = _i,得 n=(3,1,2)；AC_L平面ABBiA,可取平面ABBiA的法向量為 AC =(0,2,0)二 cos < AC ,n a =nAC n,1414,1414二平面MECi與平面ABBiA所成銳二面角的余弦值為: 【點(diǎn)睛】本題考查線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求