三角函數模型的簡單應用

1、題 .2.體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型1.6 三角函數模型的簡單應用. 會用三角函數解決一些簡單的實際問知識點利用三角函數模型解釋自然現象在客觀世界中，周期現象廣泛存在，潮起潮落、星月運轉、晝夜更替、四季輪換，甚至連人 的情緒、體力、智力等心理、生理狀況都呈現周期性變化1 利用三角函數模型解決實際問題的一般步驟第一步：閱讀理解，審清題意讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字，理解題目所反映的實際背景，在此基礎上分析出已 知什么、求什么，從中提煉出相應的數學問題第二步：收集、整理數據，建立數學模型根據收集到的數據找出變化規(guī)律，運用已掌握的三角函數知識、物理知識及相關知識建立關系式，將

2、實際問題轉化為一個與三角函數有關的數學問題，即建立三角函數模型，從而實現 實際問題的數學化第三步：利用所學的三角函數知識對得到的三角函數模型予以解答第四步：將所得結論轉譯成實際問題的答案2三角函數模型的建立程序如圖所示：題型一 三角函數模型在物理中的應用例1 一根細線的一端固定，另一端懸掛一個小球，當小球來回擺動時，離開平衡位置的位、,> 兀移S（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系是 S= 6sin 2疝. 6畫出它的圖象；（2）回答以下問題：小球開始擺動（即t=0）,離開平衡位置是多少？小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是多少？小球來回擺動一次需要多少時間？考點三角函數模型的應

3、用題點三角函數在天文、物理學方面的應用一一一，ri2 7t解周期T=/= 1（s）.2兀列表:兀2疝十£6兀6兀2兀3兀萬2兀兀2 tt+-6t0152111612312c 一無6sin 2 疝+ 6360一 603描點畫圖:（2）小球開始擺動（即t=0）,離開平衡位置為 3 cm.小球擺動時離開平衡位置的最大距離是6 cm.小球來回擺動一次需要 1 s（即周期）.反思感悟此類問題的解決關鍵是將圖形語言轉化為符號語言，其中，讀圖、識圖、用圖是數形結合的有效途徑.跟蹤訓練1如圖是一個簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是（）A.該質點的振動周期為0.7 sB 該質點的振幅為5 cmC.該質

4、點在0.1 s和0.5 s時的振動速度最大D.該質點在0.3 s和0.7 s時的加速度為零考點三角函數模型的應用題點三角函數在天文、物理學方面的應用答案 D當 t=0.1 s及 t=0.5 s 時，v=0,12 分鐘，其中心O 距離地面解析由圖象及簡諧運動的有關知識知T=0.8 s, A=5 cm,故排除選項A， B， C.題型二三角函數模型在生活中的應用例 2 如圖所示，游樂場中的摩天輪勻速轉動，每轉一圈需要40.5 米， 半徑為 40 米 如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請解答下列問題：（1）求出你與地面的距離 y（米）與時間

5、t（分鐘）的函數關系式；（2）當你第4次距離地面60.5米時，用了多長時間？考點三角函數模型的應用題點 三角函數在日常生活中的應用解 （1）由已知可設 y=40.540cos cot, t>0,由周期為12分鐘可知，當t=6時，摩天輪第1次到達最高點，即此函數第1次取得最大值，1兀所以 6c0= 71,即 W=6,一 ,兀所以 y= 40.5 40cos 6t（t>0）.（2）設轉第1圈時，第to分鐘時距離地面 60.5米.,兀兀1由 60.5= 40.5 40cos 6to,得 cos 6to= - 2,K 2 K 4 Tt所以 61。="3"或 6t0=&q

6、uot;3"，解得t0= 4或t0= 8,所以t= 8（分鐘）時，第2次距地面60.5米，故第4次距離地面60.5米時，用了 12+8= 20（分鐘）.反思感悟解決三角函數的實際應用問題必須按照一般應用題的解題步驟執(zhí)行：（1）認真審題，理清問題中的已知條件與所求結論.（2）建立三角函數模型，將實際問題數學化.（3）利用三角函數的有關知識解決關于三角函數的問題，求得數學模型的解. （4）根據實際問題的意義，得出實際問題的解.(5)將所得結論返回、轉譯成實際問題的答案.跟蹤訓練2如圖所示，摩天輪的半徑為40 m,。點距地面的高度為 50 m,摩天輪做勻速轉動，每3 min轉一圈，摩天輪上

7、的 P點的起始位置在最低點處.試確定在時刻t min時，P點距離地面的高度；(2)在摩天輪轉動的一圈內，有多長時間P點距離地面超過70 m?考點三角函數模型的應用題點三角函數在日常生活中的應用,、一. .一、.一2 兀 兀解(1)設tmin時P距地面的圖度為 y,依題息得y=40sin t-2 +50, t>0.，人 人.2兀 兀八 八(2)令 40sin yt-2 +50>70,則 sin 232t-2 >2，兀2兀 兀5兀 2k葉6<yt2<2k兀+ JkC Z)， 1- 2k兀+ 工繁<2kTt+ 裁kC Z), 3 333k+ 1<t<3

8、k+2(k Z).令 k=0,得 i<t<2. 摩天輪轉動的一圈內共有 1 min P點距離地面超過70 m.三角函數模型的應用典例 若近似認為月球繞地球公轉與地球繞日公轉的軌道在同一平面內，且均為正圓，又知這兩種轉動同向，如圖所示，月相變化的周期為29.5 天 （如圖是相繼兩次滿月時，月、地、日相對位置的示意圖），則月球繞地球一周所用的時間丁為（）A 24.5 天B 29.5天C 28.5天D 24天考點三角函數模型的應用題點三角函數在天文、物理學方面的應用答案 B解析月相變化周期即為月球繞地球一周所用的時間素養(yǎng)評析 三角函數模型是描述周期變化的重要模型，本題即為數學核心素養(yǎng)數學

9、建模的 具體體現.1 .在兩個彈簧上各掛一個質量分別為Mi和M2的小球，它們做上下自由振動.已知它們在時間t(s)時離開平衡位置的位移si(cm)和S2(cm)分別由下列兩式確定：兀兀si = 5sin 2t+ 6 , S2=5cos 2t3 .則在時間t=2%, Si與S2的大小關系是()3A. S1>S2B. S1<S2C. S1 = S2D.不能確定考點三角函數模型的應用題點三角函數在天文、物理學方面的應用答案 C2 .電流1(A)隨時間t(s)變化的關系式為I=2sin 100 it, tC(0, +00),則電流I變化的周期是()11A.- B. 100 C.50 D.

10、50考點三角函數模型的應用題點三角函數在天文、物理學方面的應用答案 C3 .如圖，某港口一天 6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數y=3sin *+。+ k,據此函數可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為()A. 5 B. 6 C. 8 D. 10考點三角函數模型的應用題點 三角函數在日常生活中的應用答案 C解析由圖象知ymin=2.因為 ymin= 3+k,所以- 3+k = 2,解得 k= 5,所以這段時間水深的最大值是ymax=3+k= 3+5 = 8,故選C.4 .已知某種交流電電流I(A)隨時間t(s)的變化規(guī)律可以用函數I = 5J2sin 100大一2, tC0,+ 00)表

11、示，則這種交流電電流在0.5 s內往復運行 次.考點三角函數模型的應用題點三角函數在天文、物理方面的應用答案 25一，2兀 1解析.周期丁=武50(s),，頻率為每秒50次，0.5 s往復運行25次.5.某實驗室一天的溫度(單位：C )隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數關系：f(t)=10 兀 jc 2sin 12t+3，什0,24) .(1)求實驗室這一天的最大溫差；(2)若要求實驗室溫度不高于11C,則在哪段時間實驗室需要降溫?考點三角函數模型的應用題點 三角函數在日常生活中的應用解 因為 f(t) = 102sin 喘t+1, 123又 0Wt<24,兀)兀 兀7兀 ，, 兀

12、兀)Y所以石+3了，1Msin 12t+3 <1. 兀 兀當 t=2 時，sin 逐+ 3=1；當 t= 14 時，sin 12t+3 =- 1.于是f(t)在0,24)上的最大值為12,最小值為8.故實驗室這一天的最高溫度為12C,最低溫度為8C,最大溫差為4c.(2)依題意，當f(t)>11時實驗室需要降溫. 兀 兀由(1)得 f(t)= 10 2sin 討+3 ,故有 102sin 12t+3 >11,口r 工.11即 sin 歸+3 <2.又0Wt<24,因此善由十£<詈> 6 123 6即 10Vt<18.故在10時至18時實

13、驗室需要降溫.解三角函數應用問題的基本步驟一、選擇題1 .某人的血壓滿足函數式f(t)=24sin 160擊+110,其中f(t)為血壓，t為時間，則此人每分鐘心跳的次數為()A. 60 B. 70 C. 80 D. 90考點三角函數模型的應用題點 三角函數在日常生活中的應用答案 C 1 一2 .如圖是一向右傳播的繩波在某一時刻繩子各點的位置圖，經過3周期后，乙的位置將移至A. x軸上B.最低點C.最高點D.不確定考點三角函數模型的應用題點三角函數在天文、物理學方面的應用答案 Ct(s)滿足關系式 0=)3 .一單擺如圖所示，以OA為始邊，OB為終邊的角 6(兀。兀后時間1兀I一， J，,2s

14、in 2t+2 , tC0, +°°),則當t=0時，角。的大小及單擺頻率是(A. 2,1C.&,兀D. 2,?？键c三角函數模型的應用題點三角函數在天文、物理學方面的應用答案 B 解析當 t=0 時，0= 1sin 2= 1,由函數解析式易知單擺周期為y=兀，故單擺頻率為1.4.如圖為一半徑為3 m的水輪，水輪圓心。距離水面2 m,已知水輪自點 A開始1 min旋轉4圈，水輪上的點P到水面距離y（m）與時間x滿足函數關系y= Asin（x+昉+2,則有（）.2.5 八 cA . w= Ac， A3 15-2 71ALC. 3=二，A=515答案 A解析由題意可知最大

15、值為5,所以 5 = AX1 + 2? A=3._2_5T=15 s,則15.故選A.5.為了研究鐘表與三角函數的關系， 建立如圖所示的坐標系， 設秒針針尖指向位置 P（x, y）.若 初始位置為P0 ¥，2，秒針從P0（注：此時t = 0）開始沿順時針方向走動，則點 P的縱坐標y與時間t的函數關系式為（）A . y= sin 3。t+ 6一兀，兀B- y=sin 60t-6兀 工D- V=sin -30t-6考點三角函數模型的應用題點三角函數在日常生活中的應用答案解析由題意，函數的周期為 T = 60,.2兀 兀= 3=60 30.兀兀，設函數解析式為y= sin - 30t+ 4

16、 0懷2 (秒針是順時針走動).初始位置為Po乎，1 ,，t=0 時，y= 2.,1兀 sin 4= 2， j 可取 6. 兀兀，函數的解析式為 y=sin 前 + 6 .6.設y=f(t)是某港口水的深度y(m)關于時間t(h)的函數，其中0wtw 24.下表是該港口某一天從0到24時記錄的時間t與水深y的關系：to3691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1經長期觀測，函數y=f(x)的圖象可以近似地看成函數y= Asin(co計昉+ k的圖象.下面的函數中，最能近似地表示表中數據間對應關系的函數是一一 _. 兀 A. y= 12 + 3si

17、n 6t, A 0,24兀B. y= 12+3sin 討+ 兀，t 0,24_兀C. y= 12+3sin 在 C 0,24兀 兀 D. y=12 + 3sin 12t + 2 , t 0,24考點三角函數模型的應用題點 三角函數在航海、氣象學中的應用答案 A解析由已知數據，可得 y=f(t)的周期T= 12,2兀兀所以 3=7"=. T 6由已知可得振幅 A=3)k= 12.又當t=0時，y=12,所以令-X0+ - 0得0,6故 y=12+3sin 6t, tC 0,24.7.一個大風車的半徑為 8 m,12 min旋轉一周，它的最低點 P。離地面2 m,風車翼片的一個端 點P從

18、Po開始按逆時針方向旋轉，則點 P離地面距離h(m)與時間t(min)之間的函數關系式 是()一 .，、一. 兀 一A. h(t) = 8sin 6t+ 10_.一兀 一B. h(t) = 8cos 6t+ 10. .一 .兀 一C. h(t) = 8sin gt+ 8. .一 汽一D. h(t) = 8cos 6t + 8考點三角函數模型的應用題點三角函數在日常生活中的應用答案 B解析 以風車的中心為坐標原點，過風車中心水平方向的直線為x軸(向右為x軸的正方向),過風車中心豎直方向的直線為y軸(向上為y軸的正方向)建立平面直角坐標系.由題意得，地面對應的直線的縱坐標為一10,點Po的坐標為(

19、0, 8);,_ ， ， 一， ， 、，2 兀 兀點P轉動的速度為Y2 = 6(rad/min). 點P從點Po開始轉動， 點P的縱坐標y與其轉過的角度 高滿足余弦關系.、CLa設 y = Acos 6t ,點(0, 8)在函數y = Acos 6t的圖象上，一 一 兀，八 . 一 8= Acos 6*0 .解得A= 8. y=- 8cos 6t.風車上翼片的端點 P始終在地面上方，點 P 離地面的距離 h= y- (- 10) = - 8cos 6"t+10,，、一 ，一，,I一、.，一，、一 一 ，、一兀點P離地面的距離 h(m)與時間t(min)的函數關系式是 h(t) = -

20、 8cos -t+ 10.故選B.二、填空題8 .示波器上顯示的曲線是正弦曲線形狀，記錄到兩個坐標M(2,4)和P(6,0),已知M, P是曲線上相鄰的最高點和平衡位置，則得曲線的方程是 .考點三角函數模型的應用題點三角函數在天文、物理學方面的應用答案 y=4sin 8x+4解析 由題意可設曲線方程為y=4sin(«x+ Mco>0).一，T一 一一 一2 兀 兀因為;=4,所以T=16,所以«=8， 兀 所以 y= 4sin1+().又曲線經過點 M(2,4), 兀 _兀所以-X 2+()=-+2k Tt, k C Z , 82 兀一 一一所以 4= 4+ 2kit

21、, kC Z,LL,、，.兀，兀所以y= 4sin那+4 .9 .某時鐘的秒針端點 A到中心點。的距離為5 cm,秒針均勻地繞點 O旋轉，當時間t=0 時，點A與鐘面上標12的點B重合，將A, B兩點的距離d(cm)表示成t(s)的函數，則d = , tC0,60.考點三角函數模型的應用題點三角函數在日常生活中的應用,A答案 10sin之60解析 如圖所不，經過t秒種，秒針轉過的角度為/AOB = d.jt_ t取 AB 的中點 C,則/AOC=60, d= |AB|=2|OA|sin/AOC= 10sin 60, t 0,60.&rad),并規(guī)定當小球在鉛錘方向右10 .一個單擺的平

22、面圖如圖.設小球偏離鉛錘方向的角為,一., 一、.一一兀側時a為正角，左側時 a為負角.a作為時間t(s)的函數，近似滿足關系式a= Asin 3計5 ,其中3>0.已知小球在初始位置(即t=0)時，a=卷且每經過 % S小球回到初始位置，那么A3=； a關于t的函數解析式是 .考點三角函數模型的應用題點三角函數在天文、物理學方面的應用、 TTTT兀答案 3 a=3sin 2t+ 2 , te 0, +00) 一一.兀解析二.當t=0時，a=-3兀 A 兀 . 兀 3=Asin -, . A= 3. 2 無一1又,一周期T=5''' 一= 71,斛得3=2.一一一

23、 兀 一 兀故所求的函數解析式是a= 7sin 2t+ 9 , tC0, + 00).32兀11 .電流強度1(單位：安)隨時間t(單位：秒)變化的函數I = Asin 3計6 (A>0, coW0)的圖象如 圖所示，則當t = 3秒時，電流強度是 安.答案 5三、解答題12 .如圖，某市某天從 6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數y=Asin(cox+ <f)+b.(1)求這一天最大的溫差；(2)求這段曲線的函數解析式考點三角函數模型的應用題點三角函數在日常生活中的應用解(1)由圖象得這一天的最高溫度是2 ，最低溫度是12 ，所以這一天最大的溫差是2-(-12)=10(C).A

24、+b= 2,A=5,(2)由(1)得解得-A + b=_ 12,b=- 7.由圖象得函數的周期T=2X (14 6)= 16,則紅 =16,解得3=238所以 y= 5sin 十 - 7.由圖象知點(6, 12)在函數的圖象上，則一12= 5sin6+() 7,8整理得 sin 34+()= - 1,所以 4=+ 2k & kC Z.兀 3兀 所以這段曲線的函數解析式是y=5sin §x+ -7(6<x<14).13.據市場調查，某種商品一年內每月的價格滿足函數關系式：f(x) = Asin( w x+ +B A>0, co>0, 4<2, x為

25、月份.已知3月份該商品的價格首次達到取局，為 9萬兀，7月份 該商品的價格首次達到最低，為 5萬元.(1)求f(x)的解析式；(2)求此商品的價格超過8萬元的月份.考點三角函數模型的應用 題點 三角函數在日常生活中的應用解(1)由題意可知=7-3 = 4, .,.T=8,2兀兀3=一T4.5+92 =B，A=2,又9-5B=7.2 = A， . 即 f(x) = 2sin 4x+()+7.(*),、，一 3 兀又 f(x)過點(3,9)，代入(*)式得 2sin 丁 +。+ 7= 9, . 一一 35,3 %,兀 、一-sin 4+4 = 1, - 4 + 4= 2 + 2kTt, kCZ.一.兀,兀又他<2， 4,.f(x) = 2sin 4X-4 +7(1<x< 12, xCN*).兀 兀(2)令 f(x)=2sin 4X-4 +7>8,.一一兀兀1- sin 4X- 4 >2,J + 2W<5#2k兀,kJ,可得|+ 8k<x<1+8k, kCZ. 33又 1WxW12, xCN*, .x=2,3,4,10,11,12.即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的價格超過 8萬元.14