一四則運(yùn)算的連續(xù)ppt課件

1、一一 四那么運(yùn)算的延續(xù)性四那么運(yùn)算的延續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點點則則處處連連續(xù)續(xù)在在點點若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如, ,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxxx1.9 延續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的延續(xù)性延續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的延續(xù)性二二 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的延續(xù)性反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的延續(xù)性定理定理2 2嚴(yán)厲單調(diào)的延續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)厲單調(diào)的延續(xù)嚴(yán)厲單調(diào)的延續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)厲單調(diào)的延續(xù)反函數(shù)反函數(shù). .例如例如,2,2sin上

2、上單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上上單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在同同理理 xy.),(cotarc,arctan上上單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 xyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆延續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆延續(xù).極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;意義意義定理定理3 3.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點在點而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 例如例如, ,), 0()0,(

3、1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy)(lim0 xfxx ).()()(lim000ufxfxfxx 證證,)(0連續(xù)連續(xù)在點在點uuuf .)()(,00成立成立恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng) ufufuu),()(lim00 xxxx 又又, 0, 0 對對于于.)()(00成成立立恒恒有有 uuxx, 0, 0 ,0時時使當(dāng)使當(dāng) xx綜合兩步綜合兩步: :, 0, 00時時使使當(dāng)當(dāng) xx)()()()(00 xfxfufuf .成立成立 )(lim0 xfxx ).()(lim00ufxfxx 三三 初等函數(shù)的延續(xù)性初等函

4、數(shù)的延續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是延續(xù)的延續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在定理定理4 4 根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是延續(xù)的根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是延續(xù)的. . xy xaalog ,tay )0( log xxta， ,), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內(nèi)延續(xù)均在其定義域內(nèi)延續(xù) )定理定理5 5 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是延一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是延續(xù)的續(xù)的. .定義區(qū)

5、間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)延續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)延續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定延續(xù)其定義域內(nèi)不一定延續(xù);例如例如, , 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義. .,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0 0點的鄰域內(nèi)沒有定義點的鄰域內(nèi)沒有定義. .), 1上上連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 注注:例例1 1. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例2 2.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220

6、xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx2. 初等函數(shù)求極限的方法代入法初等函數(shù)求極限的方法代入法.思索題思索題 設(shè)設(shè)xxfsgn)( ，21)(xxg ，試試研研究究復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xgf與與)(xfg的的連連續(xù)續(xù)性性.思索題解答思索題解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xfg0 x是它的第一類是它的第一類(可去可去)延續(xù)點延續(xù)點. 0, 10, 00, 1)(xxxxf 求函數(shù)求函數(shù))tan(/4)1()( xxxxf在區(qū)間在區(qū)間(0, 2)內(nèi)的延續(xù)點，并判別其類型內(nèi)的延續(xù)點，并判別其類型.解解 f(x)在在(0, 2)內(nèi)有延續(xù)點為內(nèi)有延續(xù)點為,47,45,43,4 x,43處處在在 x; 1)(lim43 xfx.)(47,43