江蘇省專轉(zhuǎn)本高數(shù)全部知識點第一講：極限、洛比塔法則第五講_利用導(dǎo)數(shù)證明不等式及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第五講 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1證明不等式證明不等式2 證明方程根的個數(shù)證明方程根的個數(shù)3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是常考的題型.主要的方法有: 1 利用微分中值定理; 2 利用函數(shù)的單調(diào)性; 3 利用極值(或最值); 10 利用微分中值定理 若函數(shù)f(x)有一二階導(dǎo)數(shù),而要證的不等式的兩端含有 f(x) 的函數(shù)值,特別是f(x)的表達式不知道時,或不等式中含有f(x)的導(dǎo)數(shù)時,常用拉格朗日中值定理證.例1 證明不等式).1, 1( ,ln) 1(21111211nanaaaanannnn證明：把lna乘以各式,得到) 1( ,ln) 1(ln2111121

2、1anaaaanaannnn區(qū)間1/(n+1),1/n上的增量,可以對f(x)使用拉格朗日中值定理,有 f(b)-f(a)=f ()(b-a)111nnaa)1,11(),111(ln111nnnnaaaann其中)1,11(,) 1(ln) 1(1) 1(1111111nnnnaaaannnnnnnnnn 因為 是函數(shù)f(x)=ax 在11111ln(),1nnaaaann11(,)1nn其 中11111(1)(1)nnnnn nn n11111,(,)ln(1)1nnaaaan nnn111,1ann1111111112222(1)(1)ln(1)nnnnnnaaaaaaann nnnan

3、111111(1)(1)(1)nnnnaaaaaan nn nn n20 利用函數(shù)的單調(diào)性 當(dāng)要證的不等式兩端是給定的兩個表達式,或不等式一端或兩端含f(x),且知道f(x)0(或f”(x)0)則常需要用單調(diào)性證.解：:為證不等式,只要證0)(0)1ln(3232xfxxxx)1ln(3232xxxx例2 當(dāng)x0時,證明不等式)0(0)()1ln(32)(32fxfxxxxxf其輔助函數(shù)為0)0(111)(2fxxxxf0)0(,)1 (121)(2 fxxxf)0(0)1 (11 2)1 (22)(33 xxxxf)0(0)()1ln(32)(32fxfxxxxxf 所以當(dāng)x0時,f(2)(

4、x)嚴(yán)格單調(diào)增加,即f”(x)f”(0) (x0) 從而f(x)嚴(yán)格單調(diào)增加,于是當(dāng)x0時f(x)f(0)=00)0(111)(2fxxxxf0)0(,)1 (121)(2 fxxxf)0(0)1 (11 2)1 (22)(33 xxxxf2ln(1)xx(0)0f 令得到唯一的駐點0210,(0)|101xxfx 0,( )(0)0,xf xf是極小值221ln(1)10 xxxx 2222(1)1( )ln(1)(1)1xxxxfxxxxxx30 利用函數(shù)的極值與最值例3 對任意實數(shù)x,證明不等式221)1ln(1xxxx22:( )1ln(1)1,(0)0f xxxxxf 證明 設(shè)則(2

5、)證明某些等式證明某些等式 利用導(dǎo)數(shù)證明等式常用10羅爾定理(要證明某個函數(shù)或一個式子等于0或其導(dǎo)數(shù)等于0時).20拉格朗日定理. 若函數(shù)f(x)有一二階導(dǎo)數(shù),而要證 的等式的兩端含有f(x)的函數(shù)值,特別是f(x)的表達式不知道時,或等式中含有f(x)的導(dǎo)數(shù)時,常用拉格朗日中值定理證. 關(guān)鍵是建立輔助函數(shù):通常用移項(把等式一端的項全移到另一端) 或把等式變形,或變形后再移項或變形后用逆推的方法.(3).證明方程的根的存在性與個數(shù) 方程的根可以看成函數(shù)的零點,為了利用函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)理論,通常把方程的根的討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點討論.關(guān)于方程根的證明,主要有兩種情況(1)證明方程在某區(qū)間內(nèi)至

6、少有一個或幾個根 1.利用介值定理證明方程根的存在性ln20(0,)xxe證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有兩個實根例4由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+)內(nèi)各有一個根.xyY=lnx1:( )ln2,( )(0,)xf xxf xe證明 令問題變成證明在區(qū)間內(nèi)至少有兩個00,lim ( )lim(ln2)xxxf xxe零點因為( ) 1 1220f e lim ( )lim(ln2)xxxf xxe2.利用羅爾定理證明方程根的存在性 這個方法是作一個在指定區(qū)間上滿足羅爾定理條件的輔助函數(shù), 把根的存在性轉(zhuǎn)化為該輔助函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點的存在性.例12 設(shè)實數(shù)a0 , a1 ,a2,a3,an,

7、滿足關(guān)系式01.32210naaaan證明 方程a0+a1x+a2x2+anxn=0 在(0,1)內(nèi) 至少有一個根.01:( ).,( ),nnxaa xa xf x 證明 令作輔助函數(shù)( )( ).fxx使( )0( ),xfx于是方程的存在性變成的零點的存在性( )( )fxx由231120( ).231nnaaaf xa xxxxn 易知(0)(1)0,( )0,1fff x在上滿足羅爾定理中,(0,1),.的三個條件 故在內(nèi)至少存在一點01( )0,.0(0,1)nnfaa xa x 使即方程在內(nèi).至少有一根(2).證明方程在給定的區(qū)間內(nèi)有唯一的根或最多有幾個根證明的步驟和方法如下:

8、方法有:利用函數(shù)的單調(diào)增減性;用反證法,通?？衫昧_爾定理,拉格朗日定理導(dǎo)出矛盾.2.再證唯一性或最多有幾個根.方法有:利用連續(xù)性函數(shù)的介值定理;利用羅爾定理.1.先證存在性【解題回顧】1.求最大（?。┲祽?yīng)用問題的一般方法：分析、聯(lián)系、抽象、轉(zhuǎn)化分析、聯(lián)系、抽象、轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)結(jié)果數(shù)學(xué)結(jié)果實際結(jié)果實際結(jié)果回答問題回答問題實際問題實際問題 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型（列數(shù)學(xué)關(guān)系式）（列數(shù)學(xué)關(guān)系式）解決應(yīng)用性問題的關(guān)鍵是讀題解決應(yīng)用性問題的關(guān)鍵是讀題懂題懂題建立數(shù)學(xué)關(guān)系式。建立數(shù)學(xué)關(guān)系式。2.在實際問題中，有時會遇到在區(qū)間內(nèi)只有一個點使導(dǎo)數(shù)為0的情形，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與

9、端點的值比較，也可以知道這就是最大(小)值。這時所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間。1、把長60cm的鐵絲圍成矩形，長寬各為多少時矩形面積最大？x(60-2x)/2解：設(shè)寬為Xcm,則長為（602X）/2=(30-X) cm所以面積2S=(30-x)x=30 x-xS =30-2x0 x15令 ，得 此時S在x15時S0,x15時，S0S=S15225最大值所以，（ ）結(jié)論：周長為定值的矩形中，正方形的面積最大。答：長為15cm,寬為15cm時面積最大。2、把長為100cm的鐵絲分為兩段，各圍成正方形，怎樣分法才能使兩個正方形面積之和最?。縳100-4x4解:設(shè)分成一段長為xcm,則第一個正方形面積為另一個面積為2x22100-4x()