有限元的弱形式

1、PDE弱形式介紹GJ:看到一個(gè)介紹COMSOL解決物理問(wèn)題弱形式的文檔,感覺(jué)很牛啊，通過(guò)COMSOL Multiphysics的弱形式用戶(hù)界面來(lái)求解更多更復(fù)雜的問(wèn)題，這絕對(duì)是物理研究的利器啊！而且貌似COMSOL是唯一可以直接使用弱形式來(lái)求解問(wèn)題的軟件.為什么要理解PDE方程的弱形式？一般情況下，PDE方程都已經(jīng)內(nèi)置在COMSOL Multiphysics的各個(gè)模塊當(dāng)中，這種情況下，沒(méi)有必要去了解PDE方程和及其相關(guān)的弱形式。有時(shí)候可能問(wèn)題是沒(méi)有辦法用COMSOL Multiphysics內(nèi)置模塊來(lái)求解的，這個(gè)時(shí)候可以使用經(jīng)典PDE模版。但是，有時(shí)候可能經(jīng)典PDE模版也不包括要求解的問(wèn)題,這個(gè)

2、時(shí)候就只能使用弱形式了(雖然這種情況是極少數(shù)的）。另一個(gè)原因就是弱形式有時(shí)候描述問(wèn)題比PDE方程緊湊的多.還有，如果你是一個(gè)教授去教有限元分析方法,可以幫助學(xué)生們直接利用弱形式來(lái)更深入的了解有限元.最后,你對(duì)有限元方法了解的越多，對(duì)于COMSOL中的一些求解器的高級(jí)設(shè)置就懂得更多。一個(gè)重要的事實(shí)是：在所有的應(yīng)用模式和PDE模式求解的時(shí)候，COMSOL Multiphysics都是先將方程式系統(tǒng)轉(zhuǎn)為了弱形式,然后進(jìn)行求解。物理問(wèn)題的三種描述方式1. 偏微分方程2. 能量最小化形式3. 弱形式PDE問(wèn)題常常具有最小能量問(wèn)題的等效形式，這讓人有一種直覺(jué),那就是PDE方程都可以有相應(yīng)的弱形式。實(shí)際上這

3、些PDE方程和能量最小值問(wèn)題只是同一個(gè)物理方程的兩種不同表達(dá)形式罷了，同樣，弱形式(幾乎）是同一個(gè)物理方程的第三個(gè)等效形式。我們必須記住，這三種形式只是求解同一個(gè)問(wèn)題的三種不同形式用數(shù)學(xué)方法求解真實(shí)世界的物理現(xiàn)象。根據(jù)不同的需求，這三種方式又有各自不同的優(yōu)點(diǎn)。三種不同形式的求解PDE形式在各種書(shū)籍中比較常見(jiàn),而且一般都提供了PDE方程的解法。能量法一般見(jiàn)于結(jié)構(gòu)分析的文獻(xiàn)中，采用彈性勢(shì)能最小化形式求解問(wèn)題是相當(dāng)自然的一件事。當(dāng)我們的研究范圍超出了標(biāo)準(zhǔn)有限元應(yīng)用領(lǐng)域,比如傳熱和結(jié)構(gòu),這個(gè)時(shí)候弱形式是不可避免的。化工中的傳質(zhì)問(wèn)題和流體中的N-S方程都是沒(méi)有辦法用最小能量原理表述出來(lái)的.弱形式的特點(diǎn)P

4、DE方程是帶有偏微分算子的方程，而能量方程是以積分形式表達(dá)的。積分形式的好處就是特別適合于有限元方法，而且不用擔(dān)心積分變量的不連續(xù)，這在偏微分方程中比較普遍。弱形式也是積分形式，擁有和積分形式同樣的優(yōu)點(diǎn),但是他對(duì)積分變量的連續(xù)性要求更低,可以看作是能量最小化形式的更一般形式。最重要的是,弱形式非常適合求解非線(xiàn)性的多物理場(chǎng)問(wèn)題，這就是COMSOL Multiphysics的重點(diǎn)了。PDE到泛函變分GJ：PDE方程一般很難求出解析解，通常需要根據(jù)變分原理(數(shù)學(xué)定律)或最小能量原理（物理定律)轉(zhuǎn)化為泛函變分問(wèn)題,即得到積分形式，從而便于使用有限元法劃分區(qū)域離散化,得到剛度矩陣,而最終求解得到PDE的

5、近似數(shù)值解。這基本上就是一般的工程中的有限元分析，如平面彈性力學(xué)問(wèn)題、溫度場(chǎng)分析及動(dòng)力學(xué)問(wèn)題等。平面彈性力學(xué)問(wèn)題是通過(guò)最小勢(shì)能原理或虛功原理（兩者是同一問(wèn)題的不同表述形式）建立積分泛函的,溫度場(chǎng)可以通過(guò)能量法建立泛函，也可以通過(guò)變分原理裸建泛函.下面說(shuō)一說(shuō)常見(jiàn)的PDE問(wèn)題根據(jù)最小能量原理建立泛函變分。彈性靜力學(xué)PDE及其彈性能量方程在靜力結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題中,我們需要求解的是Navier方程其中是應(yīng)力張量，F(xiàn)是體力，比如重力等。計(jì)算區(qū)域記為,其邊界記為。應(yīng)力張量和應(yīng)變張量之間的關(guān)系稱(chēng)為本構(gòu)關(guān)系，線(xiàn)彈性本構(gòu)一般遵循胡克HOOK定律其中是彈性張量，這個(gè)關(guān)系式說(shuō)明材料的行為實(shí)際上和彈簧差不多（前提是線(xiàn)彈性

6、)。最后,我們可以將應(yīng)變矢量和位移的關(guān)系表述出來(lái)這里u指的是位移矢量u=(u,v,w），其定義就是變形體上的材料點(diǎn)和未變形時(shí)候的位移差.總結(jié)以上所有的方程，我們得到了一個(gè)二階PDE方程(Navier方程），需要一個(gè)邊界條件來(lái)求解，其中n是表面的法矢，P是邊界上的面力或牽引力?？梢皂槺闾嵋幌?，這個(gè)PDE方程的弱形式為，其中v=稱(chēng)為試函數(shù)。注意,盡管Navier方程是一個(gè)矢量表達(dá)式，但是上面的表達(dá)式是一個(gè)標(biāo)量形式。彈性勢(shì)能在結(jié)構(gòu)分析中，PDE方程及其弱形式的表達(dá)式都不太常見(jiàn),相反，能量最小化形式因?yàn)槠渲庇^(guān)的表達(dá)形式用的較多。這類(lèi)問(wèn)題的能量積分形式對(duì)應(yīng)于總勢(shì)能的最小化，即對(duì)象中存儲(chǔ)的彈性能.總彈性能

7、是一個(gè)標(biāo)量,可以寫(xiě)成：彈性能表達(dá)式同樣適用于非線(xiàn)性問(wèn)題.在這些表達(dá)式中，我們假設(shè)體力F為零，并忽略了邊界效應(yīng)。這些影響可以在以后引入。積分的意義是每個(gè)體積微元的內(nèi)能總和，其中應(yīng)力張量單位是Pa，微元體上的應(yīng)變d沒(méi)有單位，dV單位是體積，因此積分出來(lái)的單位應(yīng)該是N·m。如果問(wèn)題是線(xiàn)彈性的,則可以顯式的寫(xiě)為：聯(lián)立上面的式子得到：我們用代替來(lái)配合COMSOL Multiphysics手冊(cè)中的標(biāo)記方式。彈性能積分形式下的單位說(shuō)明：最終給出總的積分單位是N·m能量。的表達(dá)式就是我們通常說(shuō)的能量泛函，即位移矢量u（或?qū)嶋H上是u的梯度）的泛函。這種函數(shù)的函數(shù)，而不是坐標(biāo)的函數(shù)，通常被稱(chēng)為

8、泛函，比單元微積分和多元微積分更加抽象。與積分類(lèi)似，我們可以說(shuō)就是函數(shù)的泛函：我們要說(shuō)明一下函數(shù)和泛函的一些區(qū)別，古典分析中的函數(shù)概念是指兩個(gè)數(shù)集之間所建立的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展卻是要求建立兩個(gè)任意集合之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系.函數(shù)概念被賦予了更為一般的意義，通俗解釋泛函指的就是“函數(shù)的函數(shù)”.在這里定義域?yàn)?，泛函可以在整個(gè)定義域內(nèi)進(jìn)行微分積分等操作。泛函的變量是函數(shù)，這個(gè)函數(shù)也是有容許空間的。如果函數(shù)u可以變化，可能會(huì)產(chǎn)生一些不符合物理規(guī)則的一些現(xiàn)象，例如結(jié)構(gòu)的剛性位移等。比如一個(gè)對(duì)u的基本約束就是材料不能穿越本身.在有限元分析中，泛函一般是某種能量積分，比如彈性能。對(duì)于其他的物理場(chǎng),可能

9、是其他的能量積分,或者是一種等效于能量的標(biāo)量也可以。至于積分區(qū)域，一般由分析對(duì)象的CAD幾何區(qū)域所確定。靜態(tài)電流傳導(dǎo)和能量的生成在靜態(tài)導(dǎo)電問(wèn)題中，PDE方程由最基本的保守形式開(kāi)始:其中J是電流密度。材料（或本構(gòu)）模型采用歐姆Ohm定律：其中E是電場(chǎng)，是電導(dǎo)率。另外，已知：其中是靜電勢(shì)，綜合以上式子得到在COMSOL Multiphysics中，這就是所謂的Conductive Media DC方程。電阻產(chǎn)生的熱能穩(wěn)態(tài)電流的能量問(wèn)題是在電導(dǎo)體中的電阻熱其中J表示電流強(qiáng)度，E代表電場(chǎng)強(qiáng)度，是一個(gè)二階電導(dǎo)張量(3×3).如果導(dǎo)體是金屬，電導(dǎo)張量一般是一個(gè)對(duì)角矩陣,如果是晶體,情況就復(fù)雜多了

10、。盡量減少電阻產(chǎn)生的熱量，也就是減少熱損耗，是我們要研究的一個(gè)最小值問(wèn)題。如果問(wèn)題是線(xiàn)性,則積分可以顯式地寫(xiě)成：因?yàn)?，其中V是電勢(shì)，可以得到：將這個(gè)式子與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的式子進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)他們非常相似。的梯度對(duì)應(yīng)于位移梯度，電導(dǎo)率張量對(duì)應(yīng)于彈性張量.傳熱PDE方程和能量形式對(duì)于穩(wěn)態(tài)傳熱問(wèn)題,PDE形式為：其中T是溫度,k是熱傳導(dǎo)系數(shù)，Q是空間分布的熱源。熱能基于傳熱方程的典型泛函為：其中T是溫度，k是熱傳導(dǎo)系數(shù)張量(3×3）。泛函求極值GJ：泛函求極值，即泛函變分，之前寫(xiě)過(guò)博客說(shuō)過(guò)它的具體思想，下面的介紹可以說(shuō)是從另一個(gè)角度解釋。通過(guò)推導(dǎo)會(huì)發(fā)現(xiàn)，通過(guò)能量最小化原理會(huì)重新回到了PDE形式上

11、,從而說(shuō)明能量最小化形式和PDE是同一問(wèn)題的不同表述。函數(shù)求極值考慮一個(gè)多元微積分函數(shù)f，我們要求最小值:尋找x使得f(x） 最小化這里x是一個(gè)矢量,或者點(diǎn)的坐標(biāo).通過(guò)微積分我們知道,這個(gè)時(shí)候首先必須求函數(shù)f的梯度。將梯度的設(shè)置為0,我們可得到一個(gè)非線(xiàn)性方程組。求解方程，我們可以得到一系列的坐標(biāo)點(diǎn)x，如果在其中某點(diǎn)處的二階倒數(shù)（一般稱(chēng)為Hessian矩陣）為正（或者說(shuō)有正的特征值),就說(shuō)這點(diǎn)就是我們要求的極小點(diǎn)，就好像該點(diǎn)是整個(gè)函數(shù)的一個(gè)谷底一樣.利用Taylor展開(kāi)的觀(guān)點(diǎn)，假設(shè)已知一個(gè)最小值x，我們可以在上面施加一個(gè)小的擾動(dòng)，由Taylor展開(kāi)可得：這里H就是前面所說(shuō)的Hessian矩陣?，F(xiàn)

12、在我們用其他的方法來(lái)說(shuō)明函數(shù)f在x最小。首先，假設(shè)x是一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)添加了一個(gè)后，f對(duì)于其一階值不改變。換句話(huà)說(shuō)，如果我們?cè)趚上添加一個(gè)來(lái)擾動(dòng)f，其一階Taylor級(jí)數(shù)應(yīng)該為0。這個(gè)條件應(yīng)該對(duì)每個(gè)方向都是成立的，否則該點(diǎn)就不是極值點(diǎn)了.如果上式第二項(xiàng)為0:對(duì)于任意小的都成立，也就是：我們這里只是用一個(gè)稍微有點(diǎn)不同的方法得到了一個(gè)同樣的結(jié)果.但是，這只是給了我們一個(gè)極值點(diǎn)的信息,如果要確定其是最小極值點(diǎn)，必須保證第三項(xiàng)（二階項(xiàng)）對(duì)于任意都為正：只有當(dāng)H的特征值都為正時(shí),上式成立(參考線(xiàn)性代數(shù)）。有可能會(huì)遇到二階項(xiàng)也總為0，這個(gè)時(shí)候我們必須借助更高階項(xiàng)來(lái)判斷極值點(diǎn).下面是函數(shù)f的一個(gè)特例：二次多項(xiàng)

13、式：其中A是對(duì)稱(chēng)矩陣。如果我們應(yīng)用Taylor展開(kāi)，可得到：或者這里零階，一階和二級(jí)項(xiàng)都在獨(dú)立的中括號(hào)內(nèi)。為了得到一階變分，矩陣A必須是對(duì)稱(chēng)的.極值的條件成了:對(duì)于任意小都必須成立,則上式成為：這里我們對(duì)矩陣進(jìn)行了轉(zhuǎn)置,而且利用了矩陣A的對(duì)稱(chēng)性，即。極小值的條件也就是矩陣A必須是一個(gè)正定矩陣,如果矩陣A是負(fù)定矩陣（只有負(fù)特征值），則得到極大值。如果A是不確定的（特征值有正有負(fù)），則極值可能是一個(gè)鞍點(diǎn)，既不是極大值,也不是極小值。如果矩陣A是對(duì)稱(chēng)的,而且正定，則函數(shù)f是超橢圓的。在2D中，超橢圓就是橢圓。二次多項(xiàng)式的幾何特征影響經(jīng)典的PDE方程和有限問(wèn)題的分類(lèi)。當(dāng)利用有限元方法去離散一個(gè)橢圓的P

14、DE問(wèn)題時(shí)候，得到一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣（剛度矩陣）的線(xiàn)性代數(shù)系統(tǒng).這樣的問(wèn)題一般等效于最小能量問(wèn)題.彈性靜力學(xué)問(wèn)題泛函求極值還是以線(xiàn)性靜態(tài)問(wèn)題為例，因?yàn)檫@是所有有限元理論都會(huì)提到的，從而更容易進(jìn)行比較。理論概述讓我們回到線(xiàn)彈性問(wèn)題的彈性能泛函表達(dá)式：這里的位移矢量u和前面講的微積分中的點(diǎn)矢量x的角色類(lèi)似。要尋找能量泛函的最小值,我們首先必須得在u上施加一個(gè)擾動(dòng)：上式中兩個(gè)中間項(xiàng)實(shí)質(zhì)上是一樣的(因?yàn)閏的對(duì)稱(chēng)性），所以我們可以寫(xiě)成：將上式和多元函數(shù)表達(dá)式對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)尋找極值點(diǎn)就是找一個(gè)使二次項(xiàng)為零的u：其中是任意的.如果我們要尋找的是極小點(diǎn)，則還必須有:第二項(xiàng)就是泛函的一階微分：第三項(xiàng)成為泛函的二級(jí)微分

15、:和前面一樣，為了尋找極小點(diǎn),我們必須保證對(duì)于任意第一階微分為零，二階微分為正。這種尋找最小勢(shì)能函數(shù)的方法也可以稱(chēng)作虛功原理.（這就明白理論力學(xué)里所謂虛位移的意義了,就是一個(gè)任意的擾動(dòng)）另外還有一種方法就是初始的時(shí)候?qū)_動(dòng)寫(xiě)成，這時(shí)對(duì)于任意可取的,其能量函數(shù)寫(xiě)成?；氐轿⒎e分的基本概念，去尋找W對(duì)于的極值點(diǎn)：如果我們將它看成是對(duì)于的Taylor展開(kāi),就可以找出其一階導(dǎo)數(shù)（對(duì)于極值點(diǎn)必須為零），由于是任意可取的,我們可以得到和前面相同的結(jié)果。小結(jié)上面的過(guò)程省略很多推導(dǎo)步驟，如果大家對(duì)推導(dǎo)有興趣,可以試著自己推導(dǎo)。要說(shuō)明一下的是：1、 變量(而不是它的梯度）必須是很小而且是任意的.2、 這里沒(méi)有考慮

16、邊界條件和體力，比如重力等等.我們前面所討論的問(wèn)題局限于一個(gè)沒(méi)有任何約束和載荷的邊界條件的區(qū)域上。3、 一般來(lái)說(shuō)的限制比多元微積分中寬松。在泛函中，只要是在容許的范圍內(nèi)即可,也就是必須和物理位移場(chǎng)相對(duì)應(yīng).理解這個(gè)意思對(duì)理解有限元弱形式非常重要.考慮邊界條件和體力如前面所講，彈性能的泛函形式是不完整的，因?yàn)樗鼪](méi)有加上相應(yīng)的邊界條件和載荷.彈性能的單位是，也就是力乘上位移。在邊界上，我們一般施加面力，或者指定位移，單位為。一般來(lái)說(shuō),我們希望附加形式是“面力乘上長(zhǎng)度"。同樣的方式可以對(duì)體力進(jìn)行處理F。在數(shù)學(xué)上,結(jié)構(gòu)場(chǎng)的邊界條件分為兩類(lèi)。第一類(lèi)直接定義邊界上的力：其中第一項(xiàng)由定義域內(nèi)的方程所

17、確定，第二項(xiàng)稱(chēng)為彈簧常數(shù)q,等式右邊是面力g。這種邊界條件就是我們通常說(shuō)得流量或者Nuemann邊界條件。第二類(lèi)邊界條件就是定義一個(gè)固定的或者Dirichlet邊界條件。如果h是矩陣的形式,r就是定義了邊界上的指定位移。固定邊界條件不能直接加入泛函中去,但是可以通過(guò)反力間接加上去。當(dāng)指定位移邊界時(shí),可以描述一個(gè)反力（）,也就是彈性體可以在固定處保持不變。反力就是我們這里用到的Lagrange乘子，通過(guò)添加反力到力作用處的邊界,可以忽略到固定邊界類(lèi)型。這時(shí)候我們可以形成統(tǒng)一的邊界條件：這里R是原始的固定邊界，是需要計(jì)算的反力。在前面的簡(jiǎn)化形式中，和都是常數(shù)，所以上式可以變化為：記住,方程中的每一

18、項(xiàng)都是矢量，表示各個(gè)方向的面力.為了得到所做的功（能量)，必須點(diǎn)乘上位移u。通過(guò)合并一些系數(shù)項(xiàng)，將外力寫(xiě)成,可簡(jiǎn)化表達(dá)式，這時(shí)邊界條件可以寫(xiě)成:對(duì)于其他物理場(chǎng)，可能P代表邊界上的源項(xiàng)。注意到上式和Navier方程非常接近：將能量泛函展開(kāi)：關(guān)鍵推導(dǎo)這個(gè)時(shí)候,我們又要在u上添加上，可得：零階項(xiàng)就是泛函本身,第一階項(xiàng)是:這個(gè)方程是非常重要的一項(xiàng)。從前面的討論可知,我們應(yīng)該重新組合多項(xiàng)式，保證帶有的被積函數(shù)成為一項(xiàng)。如果可以做到,因?yàn)槭侨我獾?事實(shí)上必須是在容許范圍內(nèi))，我們知道這一項(xiàng)必須為零。這是我們能找到極值點(diǎn)的唯一方法.右邊第一項(xiàng)需要進(jìn)一步處理得到我們需要的形式。第一項(xiàng)我們可以根據(jù)Green公式

19、（有時(shí)候可能采用的是Stokes原理）進(jìn)行分部積分：利用c的對(duì)稱(chēng)性，我們可以得到：利用Green公式得到：將體積項(xiàng)和邊界項(xiàng)合并起來(lái)：確定極值點(diǎn),必須有:上式應(yīng)該對(duì)于任何都成立.因此體積項(xiàng)必須有：邊界項(xiàng)上有：現(xiàn)在我們又回到PDE問(wèn)題上了,這說(shuō)明泛函的理論解就是PDE方程的解，即通過(guò)能量最小化原理又重新推回到了PDE形式上！這也是說(shuō)明最小能量化和PDE形式本質(zhì)上是統(tǒng)一的一個(gè)數(shù)學(xué)證明。GJ:要注意的是，實(shí)際有限元的求解不是從泛函又導(dǎo)回PDE方程，而是通過(guò)網(wǎng)格劃分離散化，得到數(shù)值近似解。而通過(guò)建立的泛函求解數(shù)值近似解應(yīng)該算是比較完備的方法,這里說(shuō)完備，是和弱形式對(duì)比來(lái)的，兩者的區(qū)別后面會(huì)說(shuō)。弱形式GJ

20、:上面是利用能量最小化形式或者變分原理建立的泛函，即PDE的等效積分形式，下面說(shuō)的是弱形式建立。那么，到底什么是弱形式呢？Navier方程的弱形式實(shí)際上已經(jīng)在前面的推導(dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)過(guò)了，即一階變分的原形式：如果我們回到COMSOL Multiphysics的文檔（或者是關(guān)于有限元和弱形式的書(shū)籍中），會(huì)發(fā)現(xiàn)所謂的試函數(shù)相當(dāng)于擾動(dòng)，彈性靜力學(xué)PDE方程的弱形式為了更好的理解弱形式，我們必須丟棄前面討論的能量最小化原理，轉(zhuǎn)向一種更加抽象的方法.弱形式之所以比能量最小化原理更強(qiáng)大，是因?yàn)樗€可以應(yīng)用到一些沒(méi)有得到較好的能量定義的問(wèn)題中。首先我們考慮彈性靜力學(xué)的PDE方程邊界條件是：抽象的過(guò)程如下：乘上容

21、許范圍內(nèi)的試函數(shù)v，在感興趣的域內(nèi)積分可得：對(duì)左側(cè)利用Green公式進(jìn)行分部積分：應(yīng)用PDE方程的邊界條件，可以得到：整理可得:這就是PDE方程的弱形式。如果在積分區(qū)域內(nèi)對(duì)于試函數(shù)v都是有效的，則上式和PDE方程是等效的。PDE方程的解稱(chēng)為強(qiáng)解，而弱形式的解稱(chēng)為弱解。二者唯一的區(qū)別是弱形式對(duì)于積分參數(shù)的連續(xù)性要求比PDE形式低。由于變形梯度和彈性張量在弱形式里面都不需要微分，所以對(duì)函數(shù)連續(xù)性要求沒(méi)有那么嚴(yán)格，而在PDE形式中,所有的變量都處在散度的算子下,這要求這些變量必須是可微的。在弱形式中對(duì)于可微的要求放松了（一階)。同時(shí)，注意到弱形式和前面的一階變分形式保持了一致，弱形式也可以作為虛功原

22、理的一種推廣。只是虛功原理中的位移u換成了更加抽象的試函數(shù)v。如果弱形式解和能量最小化原理不一致的時(shí)候，極值點(diǎn)變成了鞍點(diǎn)。也就是，在弱形式中，仍可以將試函數(shù)理解為一種推廣了的虛位移。一般性問(wèn)題的弱形式正如前面所提到的，弱形式只是PDE方程的一種推廣形式，它對(duì)變量的連續(xù)性要求比較低。那么能量方法呢？如果有一個(gè)定義好了的能量來(lái)最小化，那么能量法和弱形式是一致的。但是，在下列情形下，弱形式更具有適用性：假如PDE方程沒(méi)有相對(duì)應(yīng)的能量可以進(jìn)行最小化。在這種情況下，弱形式仍然是適用的。由于弱形式對(duì)解的要求較低，所以說(shuō)弱形式比PDE和能量最小化適用范圍更廣泛。GJ:弱形式和最小能量形式的區(qū)別就在于虛位移u

23、與試函數(shù)v的差別，如下面兩式也就是說(shuō)，泛函求極值即為泛函的變分為0，如上面的式子1,所以泛函的有限元解對(duì)任意擾動(dòng)u成立,而從式子2可以看到,弱形式的解只是對(duì)自己設(shè)定的試函數(shù)v成立。所以泛函求極值得到近似函數(shù)是弱形式的特殊形式，即弱形式的試函數(shù)v可以任意取而求得的近似函數(shù)，所以從這種意義上說(shuō)泛函形式求得的近似解更完備。但很多情況下無(wú)法得到PDE問(wèn)題的泛函形式（變分原理里提到,只有滿(mǎn)足一定條件的算子才有對(duì)應(yīng)的泛函），而此時(shí)PDE的弱形式是始終存在的,所以弱形式比泛函更廣泛。另外還會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者的一個(gè)區(qū)別是泛函的網(wǎng)格離散化不是轉(zhuǎn)化為泛函變分后求解的，而是直接在泛函中帶入帶未知參數(shù)的近似函數(shù),從而轉(zhuǎn)化為函

24、數(shù)的極值，進(jìn)而得到未知參數(shù)的方程，求得未知參數(shù)，而弱形式的離散化則是在弱形式下直接離散化。前面提到泛函形式的解相當(dāng)于對(duì)弱形式的任意試函數(shù)成立的解，這個(gè)任意性隱藏在了泛函變分里。下面給出一個(gè)沒(méi)有對(duì)應(yīng)能量最小化的PDE的例子。對(duì)流擴(kuò)散PDE問(wèn)題對(duì)流擴(kuò)散PDE問(wèn)題沒(méi)有與之相對(duì)應(yīng)的可最小化的能量：這里c是擴(kuò)散系數(shù)，是對(duì)流系數(shù),是反應(yīng)/吸收系數(shù)，是源項(xiàng)。變量是標(biāo)量函數(shù)，代表濃度（在COMSOL Multiphysics手冊(cè)中的Convection-Diffusion模塊中，濃度是用變量c表示，擴(kuò)散系數(shù)用D表示)。在這里我們考慮Neumann邊界：所有困難將集中在剛度K的提取上，主要是對(duì)u和Lagrang

25、e乘子的線(xiàn)性表達(dá)式的集成。為了得到弱形式，將PDE方程乘以一個(gè)試函數(shù)v，積分：這里的試函數(shù)v是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)。將第一項(xiàng)分部積分，并將所有的項(xiàng)都移到左邊，可得到:加上邊界條件,得到:這就是對(duì)流擴(kuò)散PDE方程的弱形式。這個(gè)弱形式不能像前面一階變分那樣進(jìn)行重排。因?yàn)樗膶?duì)流項(xiàng)，使得整個(gè)系數(shù)無(wú)法重排.具體說(shuō)來(lái)，解函數(shù)u和試函數(shù)v必須在弱形式中的形式保持一致才能和能量泛函的形式保持一致.但是，在對(duì)流項(xiàng)中,u前面帶有梯度乘子，而試函數(shù)前面卻沒(méi)有任何微分算子的.沒(méi)有什么分部積分可以改變這種形式了。當(dāng)然,我們也可以看到，實(shí)際上弱形式的解和PDE形式的解是保持一致的。對(duì)流項(xiàng)非對(duì)稱(chēng)的行為通過(guò)數(shù)值離散擴(kuò)展到有限元?jiǎng)偠?/p>

26、矩陣上：和能量最小化保持一致的弱形式可以推導(dǎo)出一個(gè)對(duì)稱(chēng)的剛度矩陣,但是對(duì)流擴(kuò)散方程推導(dǎo)出來(lái)的卻是一個(gè)非對(duì)稱(chēng)的矩陣.在COMSOL Multiphysics中應(yīng)用弱形式用戶(hù)界面的時(shí)候，可以輸入任意的表達(dá)式，包括未知函數(shù)u和試函數(shù)v的零階和一階導(dǎo)數(shù)。你所鍵入的是弱形式積分中的微分項(xiàng)。COMSOL Multiphysics的弱形式用法本章介紹如何在COMSOL Multiphysics中輸入弱形式表達(dá)式.對(duì)流擴(kuò)散PDE問(wèn)題假設(shè)我們要在COMSOL Multiphysics的用戶(hù)界面下輸入表達(dá)式:約定：COMSOL Multiphysics將所有的項(xiàng)要放在等號(hào)右邊.可得到：區(qū)域積分和邊界積分可分別在S

27、ubdomain Setting 和Boundary Setting對(duì)話(huà)框下設(shè)置.另外，假設(shè)我們已經(jīng)將系數(shù)定義為常數(shù)或者表達(dá)式:l 系數(shù)c，P，a和f分別由c，P,a和f表示.l 矢量的分量由bx,by和bz表示。在COMSOL Multiphysics中未知函數(shù)（因變量)u和試函數(shù)v標(biāo)記如下：l 未知函數(shù)的標(biāo)記為ul 的分量標(biāo)記為ux，uy和uz。l 試函數(shù)的標(biāo)記為u_test。l 的分量標(biāo)記為ux_test，uy_test，uz_testl 只需要輸入被積函數(shù)，它將被COMSOL Multiphysics自動(dòng)積分處理。每一個(gè)子域的弱形式可以有不同的表達(dá)式，COMSOL Multiphysi

28、cs會(huì)將各個(gè)子域的弱形式整合起來(lái)。輸入對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題的弱形式：選擇PDE mode下的Weak Form， Subdomain.在Physics->Subdomain Setting，在Weak Term編輯框中輸入：邊界設(shè)定,PhysicsBoundary Setting，Weak Term編輯框中輸入：COMSOL Multiphysics將邊界設(shè)置和子域設(shè)置分開(kāi)，因?yàn)樽佑蚝瓦吔缟峡梢栽O(shè)置不同的數(shù)值積分算法。弱項(xiàng)如果想要擴(kuò)展內(nèi)建的經(jīng)典PDE模板或者物理應(yīng)用模式(比如傳熱），也可以在Physics-Equation System中對(duì)應(yīng)的對(duì)話(huà)框中輸入相同的表達(dá)式。弱形式方程會(huì)自動(dòng)添加在控制

29、方程中。（通過(guò)設(shè)置所有的PDE或材料參數(shù)為0，選擇齊次Neumann邊界(流量=0），可以去掉應(yīng)用模式自動(dòng)創(chuàng)建的弱形式。）Dirichlet或者固定邊界，在Boundary setting對(duì)話(huà)框中的constr編輯框輸入弱形式，COMSOL Multiphysics會(huì)添加相應(yīng)的Lagrange乘子(參見(jiàn)用戶(hù)手冊(cè)中的邊界條件章節(jié)）。結(jié)構(gòu)力學(xué)PDE問(wèn)題靜態(tài)結(jié)構(gòu)力學(xué)的基本方程是Navier方程：邊界條件：對(duì)流擴(kuò)散方程中的標(biāo)量項(xiàng)現(xiàn)在全部成了矢量和張量,Navier方程的弱形式為：約定標(biāo)記如下：l 矢量u的分量：u，v和w.l 位移矢量梯度的分量：ux，uy,uz，vx，vy，vz,wx，wy,wz。l

30、 試位移矢量v的分量：u_test，v_test,w_test。l 試位移矢量梯度的分量：ux_test，uy_test,uz_test，vx_test，vy_test，vz_test，wx_test，wy_test,wz_test.l 彈性張量的分量：c11,c12，c13,c14，c15，c16，c22，c23，c24，c25,c26，c33，c34，c35，c36，c44，c45,c46，c55，c56，c66l 體力矢量F的分量：Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z.l 邊界面力矢量P的分量：Px，Py,Pz.在子域內(nèi)，弱形式輸入為：其中這些表達(dá)式定義了應(yīng)變分量(ex，ey，。.）和應(yīng)力分量（sx,sy，

31、。.。）.后面帶有_test后綴的，COMSOL Multiphysics都會(huì)和上式一樣建立相應(yīng)的試函數(shù)和試函數(shù)梯度的表達(dá)式。比如，exy_test等效于0.5（uy_test+vx_test）。另一種方式是test(）,其中test(xy）表示0.5（test（uy）+test（vx）)，也就相當(dāng)于0。5*（uy_test+vx_test).對(duì)于其他一些張量表述如有疑問(wèn)，可以參考COMSOL Multiphysics 中的Anisotropic Structural Analysis 的Matrix Notation .如果想更直觀(guān)的表述弱形式，我們可以用原始定義代替變量，最后變成:ux_t

32、est*（c11ux+c12*vy+c13*wz+c14*(uy+vx)+c15（vz+wy)+c16(uz+wx)vy_test*（c12*ux+.。對(duì)于各向同性體，其實(shí)cij就是楊式模量和泊松比的簡(jiǎn)單函數(shù)。詳情參考COMSOL Multiphysics文檔.在邊界上，對(duì)于載荷類(lèi)邊界條件，弱形式可以在weak編輯框中寫(xiě)成標(biāo)量的形式:Px*u_test+Pyv_test+Pzw_test如果采用固定邊界,我們必須在其中一個(gè)constr編輯框中輸入相應(yīng)的表達(dá)式。對(duì)于多物理場(chǎng)仿真，約束和載荷在weak和constr中的形式非常重要,尤其是采用弱約束的時(shí)候。更多詳情可以參考COMSOL Multip

33、hysics文檔以及和Lagrange乘子相關(guān)的技術(shù)文檔。盡管弱形式是一個(gè)標(biāo)量表達(dá)式，但是COMSOL Multiphysics中,弱形式有和PDE系統(tǒng)一樣多的未知量需要文本輸入。原因在于不同的多物理場(chǎng)問(wèn)題可能需要不同的有限元分析類(lèi)型和保證其數(shù)值穩(wěn)定型的積分算法。對(duì)于3D結(jié)構(gòu)分析，弱形式中有三個(gè)文本輸入框。但是，在離散之前,采用了同樣的有限元單元和積分類(lèi)型進(jìn)行合并，這樣就可以選擇不同的弱形式進(jìn)行操作.例如你可以在第一個(gè)域內(nèi)選擇弱形式,而其他的域內(nèi)設(shè)置為空白。對(duì)于流動(dòng)問(wèn)題的Navier-stokes方程，情況又稍微有些不同。和未知的速度場(chǎng)相比，未知的壓力采用一個(gè)低階有限元來(lái)離散。這種情況下，不能

34、將所有的弱項(xiàng)全部在同一個(gè)弱域內(nèi)輸入。為了保證數(shù)值穩(wěn)定型，必須依靠混階有限元（mixed finite element)?；祀A有限元并不是COMSOL Multiphysics特別制定，而是數(shù)值算法所需要的。有限元方法本章說(shuō)明弱形式如何利用有限元方法來(lái)進(jìn)行離散。假設(shè)我們需要離散以下擴(kuò)散問(wèn)題:這是一個(gè)對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題的特殊情況，其中,.有限元的基本實(shí)現(xiàn)是將整個(gè)計(jì)算域離散為多個(gè)特別簡(jiǎn)單的形狀的小單元，比如2D中的三角形，3D中的四面體等等。相應(yīng)的網(wǎng)格，例如三角形，由邊和節(jié)點(diǎn)組成。下一步就是要選擇一個(gè)比較容易實(shí)現(xiàn)的一些近似方法，其中一種比較簡(jiǎn)單的方法就是將解表示為采用線(xiàn)性多項(xiàng)式插值的所謂基函數(shù)的和?；瘮?shù)

35、的構(gòu)造方法是指定某個(gè)節(jié)點(diǎn)為1，而相鄰的節(jié)點(diǎn)為0，二者之間的值就是從0到1線(xiàn)性變化。這里說(shuō)的相鄰指的是中間有一條邊將其連接起來(lái)。遍歷三角形網(wǎng)格的所有節(jié)點(diǎn)(從1到N）。定義節(jié)點(diǎn)i的基函數(shù)為，也就是在節(jié)點(diǎn)i處其值為1，其他點(diǎn)處值為0.注意只是在節(jié)點(diǎn)i及其相鄰的三角形內(nèi)不為零?，F(xiàn)在假設(shè)真實(shí)值u可以用基函數(shù)的求和來(lái)近似描述:參數(shù)是在節(jié)點(diǎn)i的值。同樣，我們可以對(duì)試函數(shù)進(jìn)行類(lèi)似處理：下標(biāo)h表示離散函數(shù)屬于由所有三角形邊中最長(zhǎng)邊表示的具有確定的網(wǎng)格尺寸h的網(wǎng)格。由于我們可以任意選擇試函數(shù)，因此可以將除了j點(diǎn)以外的所有的設(shè)置為零,接下來(lái)我們將所有的試函數(shù)（j1,.。.,N)輸入到弱形式中去，每個(gè)試函數(shù)都可以得到

36、一個(gè)方程。這樣可以生成一個(gè)線(xiàn)性代數(shù)系統(tǒng),系統(tǒng)矩陣就是我們所說(shuō)的剛度矩陣。為什么我們可以自由選擇試函數(shù),不妨回想一下前面提到的弱形式需要對(duì)所有可取的試函數(shù)成立.選擇試函數(shù)是有限元方法的重要環(huán)節(jié)，因?yàn)樗诤艽蟪潭壬嫌绊懼鴦偠染仃嚒Ｓ捎趧偠染仃囍泻芏囗?xiàng)為零,所以一般是稀疏矩陣.當(dāng)我們使用試函數(shù)的時(shí)候，生成的有限元?jiǎng)偠染仃噾?yīng)該是一個(gè)方陣.如果弱形式本身定義良好的話(huà),剛度矩陣應(yīng)該是非奇異的,也就是說(shuō)系統(tǒng)有一個(gè)唯一解?，F(xiàn)在考慮擴(kuò)散方程的弱形式：將表達(dá)式寫(xiě)成離散形式：方程重新排列：采用矩陣標(biāo)注可得：或者：在這里剛度矩陣K是：解矢量U的單元為,載荷矢量L的單元為，現(xiàn)在我們明白為什么選擇基函數(shù)和試函數(shù)很關(guān)鍵了.

37、如果我們關(guān)注剛度矩陣，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中很多元素為零，因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)提到每個(gè)都是大部分為零，同樣的梯度也是大部分為零的。有很多有效的算法去求解這類(lèi)稀疏矩陣，COMSOL Multiphysics提供一套稀疏線(xiàn)性系統(tǒng)求解器。有限元方法同樣適用于非線(xiàn)性問(wèn)題。非線(xiàn)性方法一般來(lái)說(shuō)采用迭代的算法，每一次迭代就是求解一個(gè)與上面類(lèi)似的線(xiàn)性弱形式方法。抽象和幾何解釋為什么有限元可以解決問(wèn)題，它是如何解決問(wèn)題的?前面的討論中可以找到一些答案。為了有一個(gè)更清晰的答案，我們需要了解一些更多的泛函的概念。我們將發(fā)現(xiàn)有限元方法通過(guò)一種優(yōu)化方法將解投影到一個(gè)有限維函數(shù)空間來(lái)求解。標(biāo)量積為了得到有限元方法的幾何解釋?zhuān)蚰X海中的意象，我們需要