導(dǎo)數(shù)的基本概念及性質(zhì)應(yīng)用

1、導(dǎo) 數(shù) 的 基 本 概 念 及 性 質(zhì) 應(yīng)考點：1、掌握導(dǎo)數(shù)的基本概念及運算公式，并能靈活應(yīng)用公式求解2、能運用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間及極值、最值3、理解并掌握極值及單調(diào)性的實質(zhì)，并能靈活應(yīng)用其性質(zhì)解題。 能力：數(shù)形結(jié)合 方法：講練結(jié)合新授課:知識點總結(jié):導(dǎo)數(shù)的基本概念與運算公式1、導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y =f(x)的導(dǎo)數(shù)f(X)，就是當(dāng) X 0時，函數(shù)的增量 y與自變量的增量 X的比半 的 X極限，即 f (X) = lim 鴛=lim f(x X)-f(X)Ax 0Ax 0說明：分子和分母中間的變量必須保持一致2、導(dǎo)函數(shù)函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a, b )內(nèi)每一點的導(dǎo)數(shù)都存在，就說在區(qū)f(X)間(

2、a, b )內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)也是(a ,b )內(nèi)的函數(shù)，叫做f (X)的導(dǎo)函數(shù)，記作f(X)或yx，函數(shù)f(X)的導(dǎo)函數(shù)f(X)在X x0時的函數(shù)值f (x0)，就是f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)。3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義M(X0,y。)設(shè)函數(shù)y = f(x)在點x0處可導(dǎo)，那么它在該點的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)所表示曲線在相應(yīng)點處的切線斜率。4、求導(dǎo)數(shù)的方法c 0(xm)m 1mx (m(sin x) cosx(cos x)sin X.X .X(e ) ez X.(a )X . a In a(In X) 2(log：)1 xl na(1)基本求導(dǎo)公式Q)(2)導(dǎo)數(shù)的四則運算(u v) u v(uv) U v uvu(v

3、0)(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)u g(x)在點X處可導(dǎo)，y =在點f (X)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) fg(x)在點X處可導(dǎo),fx (X) f (U)(X)導(dǎo)數(shù)性質(zhì):1函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y= f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f(X)> 0,貝y f(x)為增函數(shù)；若f(X)< 0則為減函數(shù)。求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步聚和方法。 確定函數(shù)f (x)的定義區(qū)間 求f(X)，令f (X) = 0,解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根。 把函數(shù)f (x)的間斷點(即f (X)的無定義點)的橫坐標(biāo)和上面的各個實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間。 確定f(X

4、)在各小開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f(X)的符號判定函數(shù)f (x)在各個相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性。說明：原函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性無關(guān)，只與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)號有關(guān) 2.可導(dǎo)函數(shù)的極值極值的概念設(shè)函數(shù)f(X)在點X0附近有定義，且對X0附近的所有點都有f(X) < f(X0) (或 f (x) >f(X0)，則稱f(X0)為函數(shù)的一個極大(小)值點。稱X0為極大(小)值點。求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟。求導(dǎo)數(shù)f (X)求方程f (X)= 0的根檢驗f (X)在方程f(X)= 0的根左右的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù) y= f (X)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)

5、 為正，那么函數(shù)y= f(x)在這個根處取得極小值。說明：極值點的導(dǎo)數(shù)為0，導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點(隱含條件，說明某點是極值點，相當(dāng)于給出了一個 f(X)= 0的方程3.函數(shù)的最大值與最小值設(shè)y= f(x)是定義在區(qū)間a ,b 上的函數(shù)，y= f(x)在(a ,b )內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)y = f(x)在a ,b 上的最大值與最小值，可分兩步進行。求y= f(x)在(a ,b )內(nèi)的極值。將y= f(x)在各極值點的極值與 f(a)、f (b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。f(b)為函數(shù)的最大值;f (b)為函數(shù)的最小值。若函數(shù)y= f(X)在a ,b 上單調(diào)增加，則f(a

6、)為函數(shù)的最小值,若函數(shù)y= f (x)在a ,b 上單調(diào)減少，則f (a)為函數(shù)的最大值,說明：極大值小于等于最大值，極小值大于等于最小值例題講解題型一導(dǎo)數(shù)的概念【例1】設(shè)f(x)在點xo處可導(dǎo)，a為常數(shù)，則lim f(x0 ax 0X) f(X0 a X)等x于()A.f/(X0)B.2afC.afD.0【變式】設(shè)f(x)在xo處可導(dǎo)lim f(xo -) f(xo)x 0題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義2x【例2】(1)求曲線y 在點(1, 1)處的切線方程；X 1t 1(2)運動曲線方程為 S2t2，求t=3時的速度。t2分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在X

7、o處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點P(X0，y0)處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時間的 導(dǎo)數(shù)。題型三利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間【例3】求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間f(x)1x2 2x 5x21k2(k0)2x2In題型四:利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最(極)值【例4】求函數(shù)f (x) x3 3x 1在閉區(qū)間-3 ，0上的極值、最大值、最小值題型五：原函數(shù)圖像與導(dǎo)函數(shù)圖像(A)(B)(C)(D)(II)過點A(0,16)作曲線yf(x)的切線，求此切線方程。2、函數(shù)f (x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f(X)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點()C. 3個題型六：

8、利用極值的本質(zhì)及單調(diào)性求解析式【例6】已知函數(shù)f(x) ax3 bx2 3x在X 1處取得極值。(I)討論f (1)和f ( 1)是函數(shù)f (X)的極大值還是極小值;【例7】已知函數(shù)經(jīng)過點(1, 0),0 )如圖所示.求:(1) X0 的值；(2) a、b、c的值.【例8】已知函數(shù)f (X)=x3+ax2+bx+c,當(dāng)x= 1時，取得極大值 7;當(dāng)x=3時，取得極小值.求這個極小值及a、b、c的值32ax bx ex在點xo處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y f X的圖象y x 2 (1)求y f(x)的解析式；(2)求y f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間【例9】已知f (x) ax4bx2 c的圖象經(jīng)過點(0

9、,1)，且在x 1處的切線方程是題型七：含參數(shù)的討論【例10】(1)如果函數(shù)f(x)=x3+ax的圖象上各點處的切線斜率都為正數(shù)，則實數(shù) a的取值范圍是A.(0,+)B.0,+)C.(3,+)D.3,+)(2)如果函數(shù)f(x)=x3+ax的圖象上有平行于x軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是【例11】已知函數(shù)f xax3 x2 bx 2 a, b, cR且a 0在區(qū)間,0上都是增函數(shù)，在(0, 4)上是減函數(shù).(1 )求b的值;(2)求 a的取值范圍題型八：綜合應(yīng)用【例12】平面向量a(雖r1),b1 43(,)，若存在不同時為0的實數(shù)2 2r r ,.2x a (t2 3)b,ykcatb,且x

10、y，試確定函數(shù)k f (t)的單調(diào)區(qū)間例題答案:【例11 解:(1) f X在x=1處由增變減，故f 1為極大值，即xo=1.xlim f(X0 a x) f(X0) f(X0) f(X0 a x)x 0.f(X0 a x) f(X0 a x)limx 0X f(x0a X) f(X0)a lim a X 02af/(X0)f(x0 a x) f(X0) mx 0故選（C）【變式1：-1【例21（ 1）y2(x21) 2x2xy'|x(x21)22 2x2(X 1)0，即曲線在點（1,1）處的切線斜率k=0因此曲線y2x-在（1, 1）處的切線方程為1y=1(2) S'(2t2

11、)' t2 2t(t 1)t44t24t【例31( 1)3x2 X22712 11。27(3x 2)( x1)3)(1,)時 y 0（討-(1,X21,0),(0,k)(k,k ,0)(0,k) y 0,k),(k,(k,0),(0,k)【例4】【例5】【例6】(4) y 4xXX1 4x21 定義域為(o,1x(o 匚)y o略，注意強調(diào)學(xué)生的步驟完整性1、C2、 A分析:X (r(1)分析x= ± 1處的極值情況，關(guān)鍵是分析x= ± 1左右f(X)(2)要分清點A( 0，16)是否在曲線上.解:(1)f ( X)=3ax2+2bx 3,依題意，f (1) = f

12、(-1) =0，即3a3a2b2b3 o,3 o.解得a=1,b=0./ f (X) =x3 3x,f (X)=3x2 3=3( x+1)( X 1).令 f (x) =0,得x= 1, x=1.若 X ( m, 1 )U( 1 , + s),則 f (x)> o,故f (x)在( s, 1 )上是增函數(shù)，f (乂)在(1 , +s)上是增函數(shù).若 X ( 1, 1)，則 f (x)< o，故 f (X)在(一1, 1) 上是減函數(shù).所以f ( 1) =2是極大值，f (1) = 2是極小值.yo=xo3 3x.(2)曲線y=x3 3x,點A (o, 16)不在曲線上，設(shè)切點 M

13、(Xo, yo),則 f (Xo) =3xo2 3,切線方程為 y yo=3 (xo2 1) ( x xo).代入 A (o, 16)得 16 Xo3+3xo=3 (xo2 1) ( o Xo).解得 xo= 2,.M ( 2, 2),切線方程為 9x y+16=o.評述：過已知點求切線，當(dāng)點不在曲線上時，求切點的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵 【例7】解：函數(shù)f X的增減變化如下表:X,111,222,f X+o-o+f X極大極小【例【例【例【例（2）由于8】解:f' (x)理得極小值2x 3ax 2bx3a12a2b c 0 4b c 0 b c2912=3x2+2ax+b.2a3b3據(jù)題意

14、，1, 3是方程3x2+2 ax+b=0的兩個根，由韋達(dá)定a= 一 3, b= 一 9 f (x) =x3- 3x2 9x+c-f ( 1) =7， c=2f (3) =33 3X32 9X3+2= 25極小值為25, a= 3, b= 9, c=291 解：(1) f (x) ax4f (x) 4ax3切點為（1,1），f(x) |x4(2) f (x)2bx,k則 f (x)bx2f'(1)ax41,得 a |,b10x3單調(diào)遞增區(qū)間為（101( 1) A(2)9x 0,c的圖象經(jīng)過點（0,1），則c 1 ,4abx23怖10(-，0：2b 1,c的圖象經(jīng)過點（1,1)0,或x37

15、101011】解：由條件知x0是函數(shù)y的極值點.c2x 3ax2xb，令Sax22x .令 f x 0 ,得 x0,2 .由條件知x 0'3a為極大值點，則23a應(yīng)為極小值點.又知曲線在區(qū)間（0, 4）上是減函數(shù).2一 4, 3a6a3a10,得 a 0,61rr 1/3r r【例 12】解：由 a(73, 1),b(,九、口 2 2)得 agb 0, ar2, b【a (t23)bq ka tb)0, kOj2 tejgb k(t2 3)agb t(t2 3)b204k t3 3t'3 2f(t) 4t0,k扣433 0,得 t41 33t), f(t) -(t3 3t)41

16、,或 t 1;3t243-0,得 1 t 14所以增區(qū)間為(,1),(1,);減區(qū)間為1,1)。課堂演練:1.若曲線y=f (X)在點(X0, f (X0)處的切線方程為2x y 1=0，則A . f' (X0)>0B . f' (X0) <0 C. f' (X0) =0D. f' (X0)不存在2.函數(shù)f(X)2x2X3在區(qū)間0,6上的最大值是(332y3函數(shù)16B.3y=x3 3x的極大值為m，極小值為C.124.已知函數(shù)f(x)32X ax 3x 9 在 Xn,貝U m+n為5.在函數(shù)y6.三次函數(shù)3時取得極值，則實數(shù)a的值是(C. 48X的圖

17、象上，其切線的傾斜角小于4的點中,C. 1坐標(biāo)為整數(shù)的點的個數(shù)是()y=f (X)=ax3+x 在 x (8, +8)內(nèi)是增函數(shù)，則A . a>0B . a<07.與直線2x 6y+1=0垂直，且與曲線1 a=3y=x3+3x2 1相切的直線方程是C . a=18.已知a為實數(shù)，f(x) (X2 4)(x求導(dǎo)數(shù)f(X)；若f ( 1)0 ,求f(x) 在 2, 2上的最大值和最小值;若f(x)在(一8, 2)和2 , +8上都是遞增的，求 a的取值范圍1-6AAADAA , 7.3x+y+2=08.解：由原式得f(x) x32 2ax 4x 4a, f (x) 3x 2ax 4.1

18、 2一,此時有f (x) (x2 24 或 x=-1 ,31) |,f( 2) 0, f (2)9由f ( 1)由 f ( 1)又 f（4）所以f(x)在2,2上的最大值為一，最小值為21 24)(x -), f (x) 3x x 4.0,5027解法一 :f (x) 3x22ax 4的圖象為開口向上且過點（0, 4）的拋物線，由條件得 f ( 2)0, f (2)0,4a 8 08 4a 02< aw 2.所以a的取值范圍為-2,2.2解法二：令f（X）0即3x 2ax 40,由求根公式得：a Ja2 12 補一3(Xl X2)四、課堂小結(jié):導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容， 是解決實際問題的強有力的數(shù)學(xué)工具，運用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識，研究函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、極值和最值是高考的熱點問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，也經(jīng)常以解答 題形式和其它數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來，綜合考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值。知識點需要熟悉，但是更重要的是掌握其本質(zhì)，并能靈活應(yīng)用于各種題型。五、課下作業(yè):1、函數(shù)y二3X +X的遞增區(qū)間是（)A. (0,)B.(,1)C.(,)D. (1,)2、 f(X)ax3