焦半徑公式的證明

1、8焦半徑公式的證明尋根 】 橢圓的根在哪里？自然想到橢圓的定義：到兩定點 F1，F(xiàn)（2 | F1 F2|=2 c）距離之和為定值 2a（ 2a>2c）的動點軌跡（圖形）這里，從橢圓的 “根上 ”找到了兩個參數(shù)c 和 a.第一個參數(shù) c ，就確定了橢圓的位置； 再加上另一個參數(shù)a，就確定了橢圓的形狀和大小. 比較它們的 “身份”來， c 比 a 更“顯貴 ” .遺憾的是，在橢圓的方程 里，卻看不到 c 的蹤影，故有人開玩笑地說：橢圓方程有 “忘本 ” 之嫌.為了“正本” ，我們回到橢圓的焦點處，尋找c，并尋找關于 c 的“題根” .用橢圓方程求橢圓的焦點半徑公式數(shù)學題的題根不等同數(shù)學教學的

2、根基，數(shù)學教學的根基是數(shù)學概念，如橢圓教學的根基是橢圓的定義 但是在具體數(shù)學解題時，不一定每次都是從定義出發(fā)，而是從由數(shù)學定義引出來的某些已知結論（定理或公 式）出發(fā)，如解答橢圓問題時，經(jīng)常從橢圓的方程出發(fā) .是橢圓的兩個焦已知點 P（ x， y）是橢圓上任意一點， F1（- c,0 ）和 F2（ c,0）點 . 求證：| PF 1 |= a+； | PF2|= a -分析 】可用距離公式先將 | PF1| 和 | PF2| 分別表示出來 . 然后利用橢圓的方程 “消y” 即可 .解答 】由兩點間距離公式，可知| PF 1|=從橢圓方程 解出(1)(2)代（ 2）于（ 1）并化簡，得| PF1

3、|=（- a x a）同理有 | PF 2|=（- a x a）【說明】 通過例 1，得出了橢圓的焦半徑公式r 1=a+exr2 =a-ex（ e= ）從公式看到，橢圓的焦半徑的長度是點P（x,y ）橫坐標的一次函數(shù) . r 1 是 x 的增函數(shù)， r 2 是 x 的減函數(shù)，它們都有最大值a+c , 最小值a-c . 從焦半徑公式， 還可得橢圓的對稱性質（關于 x,y 軸，關于原點） .二、用橢圓的定義求橢圓的焦點半徑 用橢圓方程推導焦半徑公式，雖然過程簡便，但容易使人誤解，以為焦半徑公式的成 立 是以橢圓方程為 其依賴的 . 為了看清焦半徑公式的基礎性，我們考慮從橢圓定義直接導出公式來 .橢

4、圓的焦半徑公式，是橢圓 “坐標化后”的產(chǎn)物 , 按橢圓定義，對焦半徑直接用距離公式即 可 .例 2】 P（ x,y ） 是平面上的一點， P 到兩定點 F1（ - c， 0），F(xiàn)2（ c， 0）的距離的和為2a（a>c>0）. 試用x，y 的解析式來表示 r 1=| PF1| 和 r 2=| PF2|.r 1 和 r 2的方程組，然后從中得出分析 】 問題是求 r 1=f （x）和 r 2=g（x）. 先可視x 為參數(shù)列出關于r 1 和 r 2.解答 】 依題意，有方程組- 得代于并整理得 r 1- r 2=聯(lián)立，得說 明】 橢圓的焦半徑公式可由橢圓的定義直接導出，對橢圓的方程有自

5、己的獨立 性 . 由于公式中含c 而無 b ，其基礎性顯然三、焦半徑公式與準線的關系x=- 為準線的橢圓上任意一點. PDl 1 于 D.按橢圓的第二定義，則有即 r 1=a+ex , 同理有 r 2=a-ex.對中學生來講，橢圓的這個第二定義有很大的 “ 人為性因此，把橢圓的第二定義視作橢圓的一條性質定理更符合邏輯性. 準線 缺乏定義的 “客觀性例 3】 P（ x，y）是以 F1（ - c，0），F(xiàn)2（c，0）為焦點，以距離之和為2a 的橢圓上任意一點. 直線 l 為x=-， PD1 l 交 l 于 D1.求證：解答】 由橢圓的焦半徑公式| PF 1|= a+ex.說明對| PD1| 用距離

6、公式| PD1|= x-故有】 此性質即是：該橢圓上任意一點，到定點 F1（ - c, 0 ）（F（2 c, 0）與定直線 l 1: x=-（ l 2：x=）的距離之比為定值e（ 0<e<1）四、用橢圓的焦半徑公式證明橢圓的方程現(xiàn)行教材在橢圓部分，只完成了 “ 從曲線到方程 ”的單向推導，實際上這只完成了任務的一半. 而另一半，從 “方程到曲線 ” ，卻留給了學生（關于這一點，被許多學生所忽略了可逆推導過程并不簡單 , 特別 是逆過程中的兩次求平方根） .其實，有了焦半徑公式， “證明橢圓方程為所求 ” 的過程顯得很簡明.【例 4】 設點 P（ x， y）適合方程. 求證：點 P（x，y）到兩定點 F1（ -c, 0）和 F2（c，0）的距離之和為2a（c）.2=a2- b2【分析 】 這題目是為了完成 “從方程到曲線 ”的這一逆向過程 . 利用例 2 導出的焦點半徑公式，很 快可推出結果 .解答 】P（x，y）到 F1（- c,0 ）的距離設作 r 1=| PF1|. 由橢圓的焦點半徑公式可知r 1=a+ex同理還有r 2=a-ex +得r 1+r 2=2a即|PF 1|+| PF2|=2 a.即 P（ x，