課例數(shù)列的遞推公式

1、課例：數(shù)列的遞推公式（高一數(shù)列復(fù)習(xí)課）1 回顧回顧一：復(fù)習(xí)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義式（遞推公式）及通項(xiàng)公式，為后面由遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式做鋪墊。回顧二：必修5中2.1的例2：謝賓斯基三角形（1）介紹數(shù)學(xué)史 上世紀(jì)初，波蘭的數(shù)學(xué)家謝賓斯基想要找到一個(gè)圖形，當(dāng)它的面積無(wú)限減小時(shí)，它的周長(zhǎng)則無(wú)限增大。用幾何畫(huà)板進(jìn)行迭代演示。（2）數(shù)一數(shù)將上述迭代過(guò)程逐一展示，讓學(xué)生數(shù)數(shù)在每個(gè)圖形中綠色三角形的個(gè)數(shù)依次為多少？引出該等比數(shù)列的遞推式及通項(xiàng)公式。2 探究（3）再數(shù)一數(shù)：每個(gè)圖形中綠色、黑色三角形的總個(gè)數(shù)依次為多少?學(xué)生容易先得出前三項(xiàng)為1，4，13。探究一：第4項(xiàng)是多少？（從特殊到一般，引出遞推公式）方

2、法一（幾何方法）從第二個(gè)圖象起，每一個(gè)圖象可以看成由前一個(gè)圖象的三份縮影加上中間一個(gè)黑三角形。因此，。方法二（代數(shù)方法）從前三項(xiàng)的數(shù)值上也可以發(fā)現(xiàn)：，方法三（代數(shù)方法） （）方法四（幾何方法）從第二個(gè)圖象起，每一個(gè)圖象是在前一個(gè)圖象的每個(gè)綠三角形中挖走一個(gè)中心三角形，這樣如圖所示的圈內(nèi)一個(gè)三角形就變?yōu)樗膫€(gè)三角形，增加三個(gè)三角形。在第個(gè)圖形中，綠三角形的個(gè)數(shù)為，所以，即。 歸納：當(dāng)我們面對(duì)較為一個(gè)復(fù)雜的數(shù)列時(shí)，很難一眼看清其全貌的話，可以先得出其遞推關(guān)系，這就是本堂課復(fù)習(xí)的重點(diǎn)數(shù)列的遞推公式。遞進(jìn)：然而，我們得到該數(shù)列的遞推公式便滿足了嗎？請(qǐng)問(wèn)，它的第5項(xiàng)是幾？第6項(xiàng)是幾？（學(xué)生輕松回答。）那么

3、，第100項(xiàng)是幾呢？（學(xué)生一時(shí)語(yǔ)塞，隨即提筆思考。） 探究二：第100項(xiàng)是多少？（引出求通項(xiàng)公式的方法） 方法一的引導(dǎo)：教師讓學(xué)生觀察遞推公式， 提問(wèn)：從而，誘導(dǎo)出利用“累加法”來(lái)解決此問(wèn)題。 教師小結(jié)以上解法：其一，用了累加法，此法早在等差數(shù)列中由定義式推導(dǎo)通項(xiàng)公式就曾用過(guò)，類似的還有累乘法；其二，用了等比數(shù)列求和公式。 方法二的引導(dǎo)：教師再讓學(xué)生觀察遞推公式。在遞推式中，若去1，就是等比數(shù)列；若改3為1，則是等差數(shù)列。是否可構(gòu)造以3為公比的等比數(shù)列呢？如何把常數(shù)1進(jìn)行分配呢？假設(shè)等式左邊分得m，則右邊就得3m。所以有：小結(jié)：這可謂“殊途同歸”！同一個(gè)數(shù)列有兩個(gè)不同的遞推公式，兩個(gè)不同的遞推

4、公式推出同一個(gè)通項(xiàng)公式，雖分別用了“累加法”和“構(gòu)造法”，但卻都是化歸為等差或等比數(shù)列的有關(guān)概念來(lái)解決！ 探究三 請(qǐng)?jiān)囉蛇f推公式推得數(shù)列的通項(xiàng)公式。給學(xué)生些許思考時(shí)間。部分學(xué)生均只能由已知條件求出第3項(xiàng)為9，第4項(xiàng)為13，則猜想就是前面的數(shù)列。教師則引導(dǎo)從開(kāi)始出發(fā)，是否可再構(gòu)造等比數(shù)列？即即為探究二中的兩個(gè)遞推公式，當(dāng)然此數(shù)列就是前面的數(shù)列。3鞏固思考意圖：一、讓學(xué)生再次經(jīng)歷特殊到一般的歸納過(guò)程，培養(yǎng)合情推理的能力；二、從歸納的結(jié)果中發(fā)現(xiàn)通項(xiàng)的分母為等差數(shù)列的通式，從而為嚴(yán)格論證的開(kāi)啟思路。變式訓(xùn)練：4 歸納小結(jié) 當(dāng)我們研究一個(gè)較為復(fù)雜的數(shù)列時(shí)，若不能馬上得出它的通項(xiàng)公式，可以先通過(guò)其特殊項(xiàng)或

5、其蘊(yùn)含的幾何背景來(lái)發(fā)現(xiàn)它的遞推公式，然后利用累加法、累乘法、構(gòu)造法等，將遞推公式化歸為等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題，從而最終求出數(shù)列的通項(xiàng)公式！化歸為等差數(shù)列、等比數(shù)列 特殊項(xiàng) 通項(xiàng)公式發(fā)現(xiàn) 遞推公式 幾何背景5 課外作業(yè)本課例參加了2007年3月14-15日在浙江麗水市進(jìn)行了一次校本培訓(xùn)活動(dòng)，共兩天。以上是第一天的課堂設(shè)計(jì)，課堂效果不明顯，前段后段較好，中間探究部分還不能很好引起學(xué)生的共鳴。在專家的指導(dǎo)下，給學(xué)生留了恰當(dāng)?shù)奶骄刻荻?，做了如下的修改，收效甚好?修改后（為了便于前后對(duì)照，下面的編號(hào)與前面的一致。） 2探究 探究二：第100項(xiàng)是多少？（引出求通項(xiàng)公式的方法）一開(kāi)始，教師先不引導(dǎo)，

6、而是給學(xué)生一定的思考時(shí)間。（老師的行為改變了，學(xué)生的反映也隨即發(fā)生了變化） 不久，學(xué)生甲在其草稿紙上寫(xiě)下： 教師小結(jié)以上解法：其一，其二，同上，其三，從結(jié)果中含看，應(yīng)有可能為等比數(shù)列。（為另一遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式埋下伏筆。） 探究三先給學(xué)生充分的思考時(shí)間。學(xué)生甲：我求得了所以我猜測(cè)就是前面的數(shù)列，即當(dāng)然這有一定的局限性。學(xué)生乙：我根據(jù)式子的特征，將一個(gè)移到等號(hào)左邊，得：，則為以3為公比的等比數(shù)列。教師小結(jié)：其一，對(duì)于乙的解法，教師先給與充分肯定，再提出思考，你怎么看出從等號(hào)右側(cè)移一個(gè)到左側(cè)呢？一般情況下，如何解決呢？引出利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列的方法（見(jiàn)原設(shè)計(jì)）。 其二，前面的遞推式我們均能從幾何背景找到它們的解釋，對(duì)于此遞推公式，仍能從謝賓斯基