第二章矩陣及其運(yùn)算 - 五邑大學(xué)

1、第二章矩陣及其運(yùn)算1已知線性變換：求從變量到變量的線性變換解由已知：故 2已知兩個(gè)線性變換 求從到的線性變換解 由已知所以有 3設(shè), 求解4計(jì)算下列乘積：(1); (2); (3);(4);(5);(6).解(1)(2)(3)(4)(5)(6) 5設(shè), ，問：(1)嗎?(2)嗎?(3)嗎?解(1), 則 (2) 但故(3) 而 故 6舉反列說明下列命題是錯(cuò)誤的:（）若,則;（）若,則或;（）若,且,則.解 (1)取 ,但(2)取 ,但且(3)取 且 但7設(shè),求.解 利用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)時(shí),顯然成立,假設(shè)時(shí)成立,則時(shí)由數(shù)學(xué)歸納法原理知:8設(shè),求.解 首先觀察 由此推測(cè) 用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)

2、時(shí),顯然成立. 假設(shè)時(shí)成立，則時(shí)，由數(shù)學(xué)歸納法原理知: 9設(shè)為階矩陣，且為對(duì)稱矩陣，證明也是對(duì)稱矩陣.證明已知：則 從而 也是對(duì)稱矩陣.10設(shè)都是階對(duì)稱矩陣，證明是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是.證明由已知： 充分性：即是對(duì)稱矩陣.必要性：.11求下列矩陣的逆矩陣：(1)； (2)； (3); (4);(5); (6)解(1) 故 (2) 故存在從而 (3) , 故存在 而 故 (4) 故(5) 故存在而 從而(6)由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知 12解下列矩陣方程：(1); (2);(3);(4).解(1)(2) (3)(4)13利用逆矩陣解下列線性方程組:(1) (2) 解(1)方程組可表示為 故 從而有

3、(2) 方程組可表示為 故 故有 14設(shè)(為正整數(shù)),證明.證明一方面， 另一方面，由有故兩端同時(shí)右乘就有15設(shè)方陣滿足,證明及都可逆,并求及.證明由得兩端同時(shí)取行列式: 即,故所以可逆,而 故也可逆.由又由16設(shè),求.解由可得故17設(shè),其中,求.解故所以 而 故18設(shè)次多項(xiàng)式,記稱為方陣的次多項(xiàng)式.(1)設(shè),證明: ,;(2)設(shè),證明: ,.證明(1) i)利用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí) 命題成立,假設(shè)時(shí)成立,則時(shí) 故命題成立.ii)左邊=右邊(2) i)利用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí)成立假設(shè)時(shí)成立,則時(shí)成立,故命題成立,即 ii) 證明右邊=左邊19設(shè)階矩陣的伴隨矩陣為，證明：(1)若,則;(2) .證明(1)用反證法證明假設(shè)則有由此得這與矛盾，故當(dāng)時(shí)有(2)由于, 則取行列式得到: 若 則若由(1)知此時(shí)命題也成立故有20取,驗(yàn)證檢驗(yàn): 而故21設(shè),求及解，令