三角形數(shù)與平方數(shù)

1、同餘法找因數(shù)主題3-1 :三角形數(shù)與平方數(shù)、授課對象：七年級國中上學期學生撰寫者：陳昭地-311 -二、先備知識:（一）熟悉九九乘法。（二）瞭解自然數(shù)的運算。、教學目標（含核心概念或相關(guān)概念）:（一）理解三角形數(shù)的意義。（二）理解平方數(shù)的意義。（四）理解第n個三角形數(shù)就是1 + 2 + 3+ 口 =邑+1）。（五）強化自然數(shù)的數(shù)感。四、教學時間：45分鐘（一節(jié)課） 五、教學說明:以下用一個黑點或小圓圈代表自然數(shù)1,這些點或圈的個數(shù)代表自然數(shù)，用來認識三角形數(shù)及平方數(shù)，並探索三角形數(shù)與平方 數(shù)的關(guān)係。六、教學活動: 子題一：標記自然數(shù) 活動一：用點標記自然數(shù)第三章代數(shù)（一）步驟1:自然數(shù)1, 2

2、, 3,4, 5,用點標記成如下圖:自然數(shù)12345 1020100 點數(shù)12345 ()()() 步驟2:可用多少個點來表示6?(）個點可用多少個點來表示9?(）個點可用多少個點來表示99?(）個點活動二：對任意給定的自然數(shù) n就可用（）個黑點或（）個小圓圈來表示子題二：何謂三角形數(shù)?活動三：用黑點（或小圓圈標記三角數(shù)）步驟3:三角形數(shù)1, 3, 6, 10, 15,用點（或圈）標記成下圖:1510三角形數(shù)第1個第2個第3個第4個第5個 數(shù)子136()() 步驟4:第7個三角形數(shù)為多少？()第8個三角形數(shù)為多少?第10個三角形數(shù)為多少?活動四:如果第99個三角形數(shù)為a,那麼第100個三角形數(shù)

3、如何用a表示？(般來說，第n個三角形數(shù)記作Tn,那麼下一個三角數(shù)Tn+1 如何用Tn表示？(活動五:三角形數(shù)的一般樣式第一個三角形數(shù)是1；第二個三角形數(shù)是+ 2，即 3；第三個三角形數(shù)是+ 2 + 3，亦即 6;第十個三角形數(shù)是+ 2 + 3 + + 9 + 10，即 55;子題三:第n個三角形數(shù)是+ 2 + 3 + + (n-1) + n何謂平方數(shù)?第三章代數(shù)（一）活動六:九九乘法中，知1 X 1=1, 2X 2=4, 3X 3=9, 4X 4=16, 5X 5=25, 6X 6=36, 7X 7=49, 8X 8=64, 9X 9=81這些都是平方數(shù)；前五個平方數(shù)點記成如下圖:1625活動

4、七:100200之間的平方數(shù)有哪些?10X 10=100, 11X 11=121, 12X 12=144, 13X 13=169 100200之間的平方數(shù)有100, 121, 144, 169, 196 等 5 個活動八:200400之間的平方數(shù)有哪些?14X 14=196 , 15X 15=225 , 16X 16=(),17X 17= () , 18X 18= () , 19X 19=(),20 X 20= () , 21 X 21=() 200400之間的平方數(shù)有 225, 256, 289, 324, 361 , 400 等 6 個?；顒泳?任意給定自然數(shù)n , n自乘二次：記作nX

5、n= n2;n2是平方數(shù)且為第n個平方數(shù)。由於 301+3=43+6=96+10=1610+15=25 歸納觀察出:=30X 30=900, 312=961, 322=1024,所以 11000之間最小的平方數(shù)是()，最大的平方數(shù)是_!共有()個平方數(shù)。子題四：三角形數(shù)與平方數(shù)之間的關(guān)係 活動十：三角形數(shù)依序為1, 3, 6, 10, 15, 21,列出相連兩個三角形數(shù)之和，發(fā)現(xiàn):第1個三角形數(shù)1就是第1個平方數(shù)，第1個三角形數(shù)1加上第2個三角形數(shù)3就是第2個平方數(shù)4,第5個三角形數(shù)15加上第6個三角形數(shù)21就是第6個平方數(shù)36，同樣可得: 第6個三角形數(shù)21加上第7個三角形數(shù)()就是第7 個

6、平方數(shù)()活動:如下圖，標記兩個相連的三角形數(shù):OO O O OO O O O OO O O O第三章代數(shù)(一)第(n-1)個三角形數(shù)1+2+(n-1)與第n個三角形數(shù)1+2+ +(n-1)+n之和為1+2+ +(n-1)+1+2+ +(n-1)+n= n 2如下圖所示:9 O III 0 -o * (一1): 0； ： 20：=nr * J|j * ?In故得出1+2+ +(n-1)+n+1+2+ +(n-1)+n = n 2+n21+2+ +(n-1)+n = n 2+n21+2+(n-1)+n=T(或 n(nr)於是第n個三角形數(shù)是2丄n + no2子題五：主題結(jié)論三角形數(shù)平方數(shù)1,1,

7、1,2,3,4,n2 + n2n2,-(二) 1100之間的三角形數(shù):1, 3, 6, 10, 15, 21,28, 36, 45,55, 66, 78, 911100之間的平方數(shù):1, 4, 9, 16, 25, 36,49, 64, 81,100(三) 101400之間的平方數(shù):121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400(四) 相連兩個三角形數(shù)之和一定是平方數(shù)。教學活動參考解答:步驟活動三：步驟步驟活動八：256,1：2：3：4：10, 20, 1006, 9, 9910, 1528, 36, 55289, 324, 361,活動二:活

8、動四:活動九:n, na+100, Tn+(n+1)1, 961, 31441活動十：28, 49七、指定作業(yè):1. (1)第10個三角形數(shù)是多少?(2) 第20個三角形數(shù)是多少?第100個三角形數(shù)又是多少?2. (1)第10個平方數(shù)是多少?(2) 第20個平方數(shù)是多少?(3) 第100個平方數(shù)又是多少?3. (1)第9, 10兩個三角形數(shù)之和是多少?第三章代數(shù)(一)(2)第19, 20兩個三角形數(shù)之和是多少?(3) 第49, 50兩個三角形數(shù)之和是多少?(4) 第99, 100兩個三角形數(shù)之和又是多少?4. 五邊形數(shù)1, 5, 12, 22, 35,點記成如下圖表(黑點表示平方數(shù)，小圓圈表示

9、三角形數(shù) ):OO OO O OO O O O122235般來說，第n個五邊形數(shù)定義成第n個平方數(shù)加上第(n-1)個三角形數(shù)。試回答下列各問題:(1) 第6個五邊形數(shù)是多少?(2) 第10個五邊形數(shù)是多少?第25個五邊形數(shù)是多少?(4) 第n個五邊形數(shù)是多少？(用n來表示)指定作業(yè)參考解答:1. (1)55 (2)210 (3)50502. (1)100 (2)400 (3)100003. (1)100 (2)4004. (1)62+56 =36+15 = 512(3) 2500 (4)10000(2) 102 +910 =100 + 45 = 1452252 + 2425. = 625+30

10、0 = 92522+2:2=2 2n(3n-1)八、教學注意事項:1.引起動機（2分鐘）:講述高斯小學老師給他做S=1+2+3+100求和的故事:2S=1 + 2 + 3 + 11(+99+100+ 100 + 99 + III + 3 + 2+1101 + 101 + 111+101+101=100X 101S=50502.教學活動、二各約 2分鐘教學活動三:4分鐘教學活動四:2分鐘教學活動五:4分鐘教學活動六、七、八、九各教學活動十約5分鐘教學活動十：5分鐘主題結(jié)論：5分鐘第三章代數(shù)（一）2分鐘指定作業(yè)含提示:5分鐘3. 在各活動間，教師宜巡堂走動，加強瞭解學生學習情形。4. 在各活動進行

11、時，可隨機指定學生作答。答對時給予言語上的獎勵，答錯時另請其他同學作答，再答錯老師應(yīng)加強解說。5. 作業(yè)4有關(guān)五邊形數(shù)的定義方式亦可如下圖:OO OO O O OOO OO O。宀 。 。 O OO 0 O O - OO O <=>. 0 ° O O122225詳見如下教學參考資料2： O九、教學參考資料1. Posamentier A, Jay Ste pelman (1986), Teaching SecondarySchool Mathematics, 2 nd Ed., PP.353359(Sum Deviations with Arrays).2.大學入學考試中

12、心試題（民97年）o指考數(shù)學甲。htt p: /.tw/題目A.用大小一樣的鋼珠可以排成正三角形、正方形與正五邊形陣列，其排列的規(guī)律如下圖所示:已知m個鋼珠恰好可以排成每邊n個鋼珠的正三角形陣列與正方形陣列各一個；且知若用這m個鋼珠去排成每邊 n個鋼珠的正五邊形陣列時，就會多出9個鋼珠。則n=型，m=？第三章代數(shù)(一)試題動機：測驗學生觀察圖形規(guī)律的能力，以及能否充分運用等差級數(shù)求和。詳細解題說明:(1)排成邊n個鋼珠的正三角形陣列的鋼珠數(shù)為1+2 + |+"學(2)排成邊n個鋼珠的正方形陣列的鋼珠數(shù)為1+ 3 + 5 + * + (2n-1) = n ,n

13、+n 2m=+ n =126。2另解觀察每邊n個鋼珠時，正三角形陣列的鋼珠數(shù)與正方形陳列的鋼珠數(shù)之和恰好比正五邊形陣列的鋼珠數(shù)多出個，故n=9。(可排成邊n個鋼珠的正五邊形陣列的鋼珠數(shù)為3n2 n1 + 4 + 7 +出+ (3n- 2)=二2n2+n 2 3門2 - n由廠+ n =2+9，可解得n=9。於是，同餘法找因數(shù)6-313 -3.我們也可用下列圖示方式求出1 + 2 + | + n = n(n+1)f 0I ioI葉 n + 1|11(|O10o*:* =n(n +1)III n即 2(1 + 2 + n)=n(n+1)(1 + 2 + (|+n) = n(n+1)4.前 n 個平

14、方數(shù)之和 12+22+| + n2 = n（n+1）（2n+1）(n+1)3=n3+ 3n2+ 3n+13 n= (n-1)3+3(n-1)2*+ 3(n-1)+133=23+ 3x22+ 3% 2+123=13+ 3沢 12+ 3% 1+16+)(n+1)3 =13+3(12 +22 + | + n2) + 3(1 + 2 + | + n) + n1故 12+22 + n2 = -(n+1)3- (n +1)- 3(1 + 2 + | + n)33n(n+1)l-|(n+1)3- (n+1)-3L2(n+1)/ ，八2 , 3nl(n+1r -132 Jn(n+1)(2n+1)同餘法找因數(shù)第

15、三章代數(shù)(一)5. 前n個三角形數(shù)之和1 + 3 + 6 + III +嚀!= n(n+1)(n+2),C C n(n+1) n j(j +1) 1 n 21n 2 n 、1 + 3+6+ 111 + - = Z - = -Z j +j +2 j Ij丄22 j21 jjJ丿_ 1 f n(n +1)(2n +1) n(n +1)、二一+21 6 2 丿_ n(n+1) r(2n+1)1、=+ 2 16 2 丿n(n+1) "2n+1)+3、=-In(n+1)(n +2)6.(1)第n個三角數(shù)與第n個平方數(shù)的比值為n+1 十 n+11,而 lim= 一 2n Y 2n 2符合直觀結(jié)果。由4、5得前n個三角數(shù)之和與前n個平方數(shù)之和的比值為n + 2 十 n + 21，而 lim=-2n+12n+127.(1)既是三角形數(shù)又是平方數(shù)，即三角平方數(shù)有如下無限多組解1 = 12,竺9 = 62,曲= 352,竺空89 = 2042,2 2 2 2168似 1682 = 11892,9800X 9801 = 693o2，。(2)既是三角形數(shù)又是五邊形數(shù)，即三角五角數(shù)有如下無限多組解:1X (1+1) 3X12_1 420(20 + 1) 3X122 -12 210I ,=厶 I