高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 橢圓 新人教B版

1、名師伴你行名師伴你行名師伴你行橢圓橢圓1.了解橢圓的實(shí)際背景了解橢圓的實(shí)際背景.2.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及簡(jiǎn)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用單應(yīng)用.名師伴你行 從近兩年的高考試題來(lái)看，橢圓的定義、橢圓的幾從近兩年的高考試題來(lái)看，橢圓的定義、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度屬中等偏高，但試題難度較前幾年大大降低，不再難度屬中等偏高，但試題難度較前幾年大大降低，不再作為作為“壓軸壓軸”題目；客觀題主要考

2、查對(duì)橢圓的基本概念題目；客觀題主要考查對(duì)橢圓的基本概念與性質(zhì)的理解及應(yīng)用；主觀題考查較為全面，在考查對(duì)與性質(zhì)的理解及應(yīng)用；主觀題考查較為全面，在考查對(duì)橢圓基本概念與性質(zhì)的理解及應(yīng)用的同時(shí)，又考查直線橢圓基本概念與性質(zhì)的理解及應(yīng)用的同時(shí)，又考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力、運(yùn)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的能力、運(yùn)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想. 預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)2012年高考仍將以橢圓的定義、性質(zhì)和直線年高考仍將以橢圓的定義、性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查運(yùn)算能力與邏與橢圓的位置關(guān)系為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查運(yùn)算能力與邏輯推理能力

3、輯推理能力. 1. 1.橢圓的定義橢圓的定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大的距離的和等于常數(shù)（大于于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這這 叫做橢叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的 . 兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn) 焦距焦距 名師伴你行 2. 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖形圖形性性質(zhì)質(zhì)范圍范圍 x x yy x x yy對(duì)稱性對(duì)稱性對(duì)稱軸：對(duì)稱軸：對(duì)稱中心：對(duì)稱中心：0)0)b b1(a1(ab by ya ax x2 22 22 22 2=+0 0) )b b1 1(

4、(a ab bx xa ay y2 22 22 22 2=+-a a -b b-b b-a a x軸軸,y軸軸 原點(diǎn)原點(diǎn) 名師伴你行性性質(zhì)質(zhì)頂點(diǎn)頂點(diǎn)A A1 1 ,A,A2 2 B B1 1 ,B,B2 2A A1 1 ,A,A2 2B B1 1 ,B,B2 2軸軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)軸A A1 1A A2 2的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 短軸短軸B B1 1B B2 2的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為焦距焦距| | F F1 1F F2 2|=2c(c= )|=2c(c= )離心率離心率e= ,e= ,其中其中c=c=c c(-a,0) (a,0) (0,-b) (0,b) (0,-a) (0,a) (-b,0) (b,0) 2a 2b 2

5、 22 2b b- -a a(0,1) 2 22 2b b- -a a名師伴你行一動(dòng)圓與已知圓一動(dòng)圓與已知圓O1：（：（x+3）2+y2=1外切，與圓外切，與圓O2：（x-3）2+y2=81內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程. 兩圓相切時(shí)，圓心之間的距離與兩圓的兩圓相切時(shí)，圓心之間的距離與兩圓的半徑有關(guān)，據(jù)此可以找到動(dòng)圓圓心滿足的條件半徑有關(guān)，據(jù)此可以找到動(dòng)圓圓心滿足的條件.名師伴你行兩定圓的圓心和半徑分別為兩定圓的圓心和半徑分別為O1（-3，0），），r1=1；O2（3，0），），r2=9.設(shè)動(dòng)圓圓心為設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為），半徑為R， 則由題設(shè)條件可得則由

6、題設(shè)條件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R. |MO1|+|MO2|=10. 由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，M在以在以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)的橢圓上，為焦點(diǎn)的橢圓上，且且a=5，c=3. b2=a2-c2=25-9=16. 故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 .1 11616y y2525x x2 22 2=+名師伴你行 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于的距離之和等于常數(shù)常數(shù)2a，當(dāng)，當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓；當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓；當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；當(dāng)；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，時(shí)

7、，軌跡不存在軌跡不存在.名師伴你行已知已知ABC中，中，A（-1，0），），C（1，0），且邊），且邊a，b，c成等差數(shù)列，求頂點(diǎn)成等差數(shù)列，求頂點(diǎn)B的軌跡方程的軌跡方程.名師伴你行設(shè)設(shè)B（x，y），），a+c=2b，|BC|+|BA|=4.又又A，C為定點(diǎn)，為定點(diǎn)，由橢圓定義知，動(dòng)點(diǎn)由橢圓定義知，動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是的軌跡是以以A，C為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為 ，c=1，a=2，b2=3，橢圓方程為橢圓方程為 .又又A，B，C不共線，不共線，y0,即即x2.所求所求B點(diǎn)的軌跡方程為點(diǎn)的軌跡方程為 (x2).1 1b by ya ax x2 22 22 22 2=+1 13 3

8、y y4 4x x2 22 2=+1 13 3y y4 4x x2 22 2=+名師伴你行利用待定系數(shù)法求橢圓方程利用待定系數(shù)法求橢圓方程.（1）已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸是短軸的）已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并且過(guò)點(diǎn)倍，并且過(guò)點(diǎn)p(3,0),求橢圓的方程求橢圓的方程.（2）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（ ，1） P2（- ,- ）,求橢圓的方程求橢圓的方程.6 63 32 2名師伴你行（1）若焦點(diǎn)在）若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為軸上，設(shè)方程為 （ab0）. 橢圓過(guò)橢圓過(guò)P（3，0），）， . 又

9、又2a=32b,a=3,b=1,方程為方程為 . 若焦點(diǎn)在若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為軸上，設(shè)方程為 （ab0）. 橢圓過(guò)點(diǎn)橢圓過(guò)點(diǎn)P（3，0），）， 又又2a=32b,a=9,b=3. 方程為方程為 . 所求橢圓的方程為所求橢圓的方程為 或或 .1 1b by ya ax x2 22 22 22 2=+1 1b b0 0a a3 32 22 22 22 2=+1 1y y9 9x x2 22 2=+1 1b bx xa ay y2 22 22 22 2=+1.1.b b3 3a a0 02 22 22 22 2=+1 19 9x x8181y y2 22 2=+1 1y y9 9x x2 22

10、2=+1 19 9x x8181y y2 22 2=+名師伴你行（2）設(shè)橢圓方程為）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1（m0,n0且且mn）.橢圓經(jīng)過(guò)橢圓經(jīng)過(guò)P1，P2點(diǎn)，點(diǎn)，P1，P2點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程，點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程， 6m+n=1， 3m+2n=1， m= , n= .所求橢圓方程為所求橢圓方程為則則兩式聯(lián)立，解得兩式聯(lián)立，解得9 91 13 31 11 1. .3 3y y9 9x x2 22 2=+名師伴你行運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,即設(shè)法建立關(guān)于即設(shè)法建立關(guān)于a，b的方程組，先定型、再定量，若位置不確定時(shí)，考慮的方程組，先定型、再定量，若位置不確定時(shí)

11、，考慮是否兩解，有時(shí)為了解題需要，橢圓方程可設(shè)為是否兩解，有時(shí)為了解題需要，橢圓方程可設(shè)為mx2+ny2=1（m0,n0,mn），由題目所給條件求），由題目所給條件求出出m，n即可即可.名師伴你行名師伴你行（1）已知點(diǎn)）已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，且在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，且P到兩焦到兩焦點(diǎn)的距離分別為點(diǎn)的距離分別為5，3，過(guò)，過(guò)P且與長(zhǎng)軸垂直的直線恰過(guò)橢圓且與長(zhǎng)軸垂直的直線恰過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程；的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程；（2）中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率為）中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率為 ，長(zhǎng)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為軸長(zhǎng)為8.21名師伴你行 【解析】【解析】（1）設(shè)所求

12、的橢圓方程為）設(shè)所求的橢圓方程為 (ab0)或或 (ab0), 由已知條件得由已知條件得 2a=5+3 (2c)2=52-32，解得，解得a=4,c=2,b2=12, 故所求方程為故所求方程為 或或 . (2)由已知得由已知得 = a=4 2a=8 c=2, b2=16-4=12. 焦點(diǎn)可在焦點(diǎn)可在x軸上軸上,也可在也可在y軸上軸上, 所求橢圓方程為所求橢圓方程為 或或 . 1byax 2222 1bxay 2222 112y16x 22 112x16y 22 21ac112y16x 22 112x16y 22 名師伴你行已知橢圓已知橢圓 (ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-

13、c，0），），F(xiàn)2（c，0）.若橢圓上存在點(diǎn)若橢圓上存在點(diǎn)P使使 ,則該橢圓的離心率的取值范圍則該橢圓的離心率的取值范圍為為 .1byax2222 1221FPFsincFPFsina 名師伴你行【分析】【分析】利用正弦定理得利用正弦定理得|PF1|，|PF2|的關(guān)系，結(jié)合定的關(guān)系，結(jié)合定義可得義可得|PF2|，再根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最大、最小值建立不，再根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最大、最小值建立不等關(guān)系等關(guān)系.【解析】【解析】在在PF1F2中，由正弦定理知中，由正弦定理知 ,即即|PF1|=e|PF2| 又又P在橢圓上，在橢圓上，|PF1|+|PF2|=2a，將，將代入得代入得|PF2|= (a-c,a+c)

14、,同除以同除以a得得1-e 1+e,得得 -1e1.,|PF|PF|FPFsinFPFsin121221 1221FPFsincFPFsina e1ca|PF|PF|12 1e2a 1e2 2名師伴你行 (1)求橢圓離心率的題目大致分為兩類：一類利用求橢圓離心率的題目大致分為兩類：一類利用橢圓定義及性質(zhì)直接得出離心率橢圓定義及性質(zhì)直接得出離心率e的式子（或與橢圓的的式子（或與橢圓的統(tǒng)一定義有關(guān)）；另一類利用條件（題設(shè)條件）獲得統(tǒng)一定義有關(guān)）；另一類利用條件（題設(shè)條件）獲得關(guān)于關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，最后化歸為關(guān)于的關(guān)系式，最后化歸為關(guān)于a,c（或（或e）的關(guān)）的關(guān)系式（關(guān)于系式（關(guān)于a,c的齊

15、次方程），再依的齊次方程），再依e= 化成關(guān)于化成關(guān)于e的的方程，利用方程思想求離心率方程，利用方程思想求離心率. (2)橢圓性質(zhì)的挖掘橢圓性質(zhì)的挖掘 設(shè)橢圓設(shè)橢圓 =1(ab0) 上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)P(x,y),則當(dāng)則當(dāng)x=0時(shí)時(shí),|OP|有最小值有最小值b,這時(shí)這時(shí),P在短軸端點(diǎn)處在短軸端點(diǎn)處;當(dāng)當(dāng)x=a時(shí)時(shí),|OP|有最大值有最大值a,這時(shí)這時(shí)P在長(zhǎng)軸端點(diǎn)處在長(zhǎng)軸端點(diǎn)處.2222byax ac名師伴你行橢圓上任意一點(diǎn)橢圓上任意一點(diǎn)P(x,y)(y0)與兩焦點(diǎn)與兩焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)構(gòu)構(gòu)成的成的PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形稱為焦點(diǎn)三角形,其周長(zhǎng)為其周長(zhǎng)為2(a+c).橢圓的一

16、個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，其中形，其中a是斜邊，是斜邊，a2=b2+c2.過(guò)焦點(diǎn)過(guò)焦點(diǎn)F1的弦的弦AB，則，則ABF2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為4a.(3)離心率離心率e= ，在求法中要有整體求值思想或變形為，在求法中要有整體求值思想或變形為 ac2)ab( -1e 已知已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF2=60.(1)求橢圓離心率的范圍；求橢圓離心率的范圍；(2)求證：求證：F1PF2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).名師伴你行 設(shè)橢圓方程為設(shè)橢圓方程為 （ab0

17、）,|PF1|=m,|PF2|=n.在在PF1F2中中,由余弦定理可知由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60.m+n=2a,m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn,4c2=4a2-3mn.即即3mn=4a2-4c2.又又mn =a2(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào)),4a2-4c23a2, ,即即e .e的取值范圍是的取值范圍是 ,1）.1 1b by ya ax x2 22 22 22 2=+2 2) )2 2n nm m( (+4 41 1a ac c2 22 22 21 12 21 1名師伴你行【解析】【解析】(2)證明證明:由由(1)知知mn= b2,

18、= mnsin60= b2,即即PF1F2的面積只與短軸長(zhǎng)有關(guān)的面積只與短軸長(zhǎng)有關(guān).3 34 4 S S2 21 1F FPFPF2 21 13 33 3名師伴你行名師伴你行2010年高考課標(biāo)全國(guó)卷設(shè)年高考課標(biāo)全國(guó)卷設(shè)F1,F2分別是橢圓分別是橢圓E:工程工程 (0bb0)的右焦點(diǎn)為的右焦點(diǎn)為F,過(guò)過(guò)F的直線的直線l與橢圓與橢圓C相交于相交于A,B兩點(diǎn)，直線兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為的傾斜角為60，AF=2FB.(1)求橢圓求橢圓C的離心率；的離心率；(2)如果如果|AB|= ，求橢圓，求橢圓C的方程的方程.1byax2222 415名師伴你行【解析】【解析】設(shè)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)

19、,由直線由直線l的傾斜角為的傾斜角為60及及AF=2FB知知y10.(1)直線直線l的方程為的方程為y=3(x-c),其中其中 .聯(lián)立聯(lián)立y= (x-c) 得得(3a2+b2)y2+2 b2cy-3b4=0.解得解得22b-ac 31,byax2222 3.b3a2a)-(cb3-y,b3a2a)(cb3-y22222221 名師伴你行因?yàn)橐驗(yàn)锳F=2FB,所以所以-y1=2y2,即即得離心率得離心率e= .(2)因?yàn)橐驗(yàn)閨AB|= |y2-y1|,所以所以 .由由 得得b= a.所以所以 a= ,得得a=3,b= .所以橢圓所以橢圓C的方程為的方程為 .b3a2a)-(cb3-2b3a2a)

20、(cb3222222 32ac 311 415b3aab3432222 32ac 3545415515y9x22 名師伴你行2009年高考廣東卷年高考廣東卷已知橢圓已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在在x軸上，離心率為軸上，離心率為 ，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和和F2，橢圓，橢圓G上一點(diǎn)到上一點(diǎn)到F1和和F2的距離之和為的距離之和為12.圓圓Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(kR)的圓心為點(diǎn)的圓心為點(diǎn)Ak.（1）求橢圓）求橢圓G的方程；的方程；（2）求）求AkF1F2的面積；的面積；（3）問(wèn)是否存在圓）問(wèn)是否存在圓Ck包圍橢圓包圍橢圓G？請(qǐng)說(shuō)明理由？請(qǐng)說(shuō)明

21、理由.23名師伴你行【分析】【分析】由由e= ，2a=12，求，求a,b，方程可求；，方程可求；AkF1F2的面積代入的面積代入S= ah;只要橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)在圓只要橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)在圓Ck內(nèi)，則圓內(nèi)，則圓Ck包圍橢圓包圍橢圓G.【解析】【解析】（1）設(shè)橢圓）設(shè)橢圓G的方程為的方程為 (ab0)，半，半焦距為焦距為c,則則 2a=12 ，解得，解得 c=3 ,所以所以b2=a2-c2=36-27=9.所以所求橢圓所以所求橢圓G的方程為的方程為 .23211byax2222 a=623ac 319y36x22 名師伴你行(2)點(diǎn)點(diǎn)Ak的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-k,2). = |F1F2|2= 6 2= .(3)若若k0，由，由62+02+12k-0-21=15+12k0，可知右端，可知右端點(diǎn)（點(diǎn)（6，0）在圓）在圓Ck外外;若若k0,可知左端可知左端(-6,0)在圓在圓Ck外外.所以不論所以不論k為何值為何值,圓圓Ck都不能包圍橢圓都不能包圍橢圓G.2133621kFFAS 21名師伴你行 探索性問(wèn)題主要考查