北師大八年級上勾股定理題型總結(jié)

1、勾股定理典型例題分析、知識要點(diǎn):1 勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為 a、b,斜邊為 c，那么 a2+ b2= c2。公式的變形：a2= c2- b2， b2= c2-a2。2、 勾股定理的逆定理如果三角形 ABC 的三邊長分別是 a，b，c,且滿足 a2+ b2= c2,那么三角形 ABC 是直 角三角形。這個定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應(yīng)用時，同學(xué)們要注意處理好如下幾個要點(diǎn)：1已知的條件：某三角形的三條邊的長度.2滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方.3得到的結(jié)論：這個三角形是直角三角形，并且最大邊的對角

2、是直角4如果不滿足條件，就說明這個三角形不是直角三角形。3、 勾股數(shù)滿足 a2+ b2= c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。常見勾股數(shù)有：（3，4，5?）（5, 12，13?） （?6，8，10?）?（?7, 24，25?）?（?8，15，17?）（9，12，15?）?4、 最短距離問題：主要運(yùn)用的依據(jù)是 兩點(diǎn)之間線段最短。二、考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：利用勾股定理求面積1、求陰影部分面積：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長方形；（3）陰影部 分是半圓.2、如圖，以 Rt ABC 的三邊為直徑分別向外作三個半圓，

3、試探索三個半圓的面積之間的 關(guān)系.3、 如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個正三角形，其面積分別是S、S、S,則它們之間的關(guān)系是（）A. Si- S2= S3B Si+ S2= S3C. S2+S31），那么它的斜邊長是（）A 、2nB、n+1CC n2 1D n217、在 Rt ABC 中, a,b,c 為三邊長，則下列關(guān)系中正確的是（）A.a2bc2B.a2c2二b2C.c2 b2二a2D. 以上都有可能8、 已知 Rt ABC 中, Z C=90 ,若a+b=14cm C=10cm則 Rt ABC 的面積是（）A、24cm2B、36cm2C、48cm2D 60cm22 2 29、已

4、知 x、y 為正數(shù)，且Ix -4I+（y -3）=0,如果以 x、y 的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（）A、5B 25C、7D 15考點(diǎn)三：應(yīng)用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高例、如圖 1 所示,等腰一丄中，丄是底邊上的高，若二-二.J二+【 求 AD 的長；厶 ABC 勺面積.考點(diǎn)四：勾股數(shù)的應(yīng)用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、F列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（A. 1 個 B . 2 個 C . 3 個4、若三角形的三邊之比為 -?：1:1，則這個三角形一定是（2 V2&將直角三角形的三條邊長同時擴(kuò)

5、大同一倍數(shù)，得到的三角形是（）A.鈍角三角形 B. 銳角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 7、若厶 ABC 的三邊長 a,b,c滿足a2b2c2200 =12a 16b 20c,試判斷 ABC 的形狀。8 ABC 的兩邊分別為 5,12，另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是 3 的倍數(shù)，則 c 應(yīng)為_此三角形為 _。例 3:求1、2、A. 4 , 5, 6 B. 2, 3, 4C. 11, 12, 13D. 8,15, 17若線段 a, b, c 組成直角三角形,則它們的比為（B、3 : 4 : 6、 5 ：12 ：133、F面的三角形中:1厶 ABC 中， / C=ZA-ZB;2厶 ABC 中

6、,ZA:ZB:ZC=1: 2:3；3厶 ABC 中, a: b: c=3: 4: 5;厶 ABC 中，三邊長分別為 8, 15, 17.其中是直角三角形的個數(shù)有（).A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等邊三角形5、已知 a, b, cABC 三邊,2 2 2 2 2且滿足(a b)(a +b -c) = 0,則它的形狀為()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形最小角的問題（1）若三角形三條邊的長分別是 7,24,25，則這個三角形的最大內(nèi)角是 度。（2）已知三角形三邊的比為 1：.3: 2,則其最小角某樓梯的側(cè)面視圖如圖 3 所示，其中 A

7、B=5,BC=3 米， 因某種活動要求鋪設(shè)紅色地毯，則在 AB 段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為?.考點(diǎn)六、利用列方程求線段的長（方程思想）1、小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接 觸地面，你能幫他算出來嗎？2、一架長 2.5m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底 0.7m（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑 0.4m,那么 梯子底端將向左滑動_米3、 如圖，一個長為 10 米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 米,如果梯子的頂端下滑 2 米，那么，梯子底端的滑動距離 _ 米.4、 在一棵樹 10 m 高的 B

8、處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹 20m 處的池塘 A 處；另外一只爬到樹頂 D 處后直接躍到 A 外，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相 等，試問這棵樹有多高?5、如圖，是一個外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位: 計算兩圓孔中心 A 和 B 的距離為60考點(diǎn)五：應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題mrh.，一棵8米，另只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹1 I如圖18-15 所示， 某人到一個荒島上去 探寶，在 A 處登陸后，往東走 8km,又往北 3km,再折向 北方走題圖5km 處往東一拐，僅 1km?就找到&如圖：有兩棵樹，8米-：8 米第 6 題圖

9、棵高2米，兩樹相距8米,萍梢， 至少飛了米.C7、i40走遇到障礙后又往西走了寶藏，問：登陸點(diǎn)（A 處）到寶藏埋藏點(diǎn)（B 處）的直線距離是多少? 考點(diǎn)七：折疊問題1、 如圖， 有一張直角三角形紙片， 兩直角邊 重合，折痕為A.25B.4DE 貝 U CD 等于2222C.)7D.4AC=6 BC=8 將厶 ABC 折疊，使點(diǎn) B 與點(diǎn) A532、如圖所示，已知 ABC 中，/ C=90，AB 的垂直平分線交 BC?于 M 交 AB 于 N,若AC=4 MB=2M，求 AB 的長.3、折疊矩形 ABCD 勺一邊 AD,點(diǎn) D 落在 BC 邊上的點(diǎn) F 處,已知 AB=8CM,BC=10C 求 C

10、F 和EC4、如圖，在長方形 ABC 沖，DC=5 在 DC 邊上存在一點(diǎn) E,沿直線 AE 把厶ADE 折疊，使點(diǎn) D 恰好在 BC 邊上，設(shè)此點(diǎn)為卩，若厶 ABF 的面積為 30,求折疊的厶 AED 的面積5、如圖，矩形紙片 ABCD 勺長 AD=9cm,寬 AB=3cm，將其折疊，使點(diǎn) D 與點(diǎn) B 重合，那么折疊后 DE 的長是多少？&如圖，在長方形 ABC 沖，將厶 ABC 沿 AC 對折至二 AEC 位置，CE 與 AD 交于點(diǎn) F。（1）試說明：AF=FC （ 2）如果 AB=3 BC=4 求 AF 的長7、如圖 2 所示，將長方形 ABCDS 直線 AE 折疊，頂點(diǎn) D

11、 正好落在 BC 邊上 F 點(diǎn)處，已知CE=3cm AB=8cm 則圖中陰影部分面積為 _8、如圖 2-3，把矩形 ABC沿直線 BD 向上折疊，使點(diǎn) C 落在 C 的位置上，已知 AB=? 3,BC=7,重合部分厶 EBD 的面積為_ .9、如圖 5,將正方形 ABCDT 疊，使頂點(diǎn) A 與 CD 邊上的點(diǎn) M 重合，折痕交 AD 于 E,交 BC 于F,邊 AB 折疊后與 BC 邊交于點(diǎn) G 如果 M 為 CD 邊的中點(diǎn)，求證：DE DM EM=3 4:5。10、如圖，長方形 ABCD 中, AB=3 BC=4 若將該矩形折疊，使 C 點(diǎn)與 A 點(diǎn)重合，則折疊后痕跡 EF 的長為（）A.

12、3.74 B . 3.75 C . 3.76 D . 3.7711、 如圖1-3-11，有一塊塑料矩形模板ABCD長為10cm寬為4cm將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn) P落在AD 邊上 （不與 A、D 重合），在 AD上適當(dāng)移動三角 板頂點(diǎn)P:能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn) B與點(diǎn)C?若能， 請你求出這時 AP的長;若不能， 請說明理由ADEC1、如圖 1,求該四邊形的面積推，第 n 個等腰直角三角形的斜邊長是 考點(diǎn)九、圖形問題再次移動三角板位置，使三角板頂點(diǎn) P 在 AD 上移動，直角邊 PH 始終通過點(diǎn) B, 另一直角邊 PF 與 DC 的延長線交于點(diǎn) Q 與 BC 交于點(diǎn)

13、 E,能否使 CE=2cr？若能，請你求出這時 AP 的長；若不能，請你說明理由12、如圖所示， ABC 是等腰直角三角形，AB=AC D 是斜邊 BC 的中點(diǎn)，E、F 分別是 AB AC 邊上的點(diǎn)，且 DEI DF,若 BE=12 CF=5 求線段 EF的長。13、 如圖， 公路 MN 和公路 PQ 在點(diǎn) P 處交匯， 且/ QPN= 30， 點(diǎn) A 處有一所中學(xué)， AP =160m假設(shè)拖拉機(jī)行駛時，周圍 100m 以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路 MN 上沿 PN 方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī) 的速度為 18km/h,那么學(xué)校受影響的時間為多

14、少秒？考點(diǎn)八：應(yīng)用勾股定理解決勾股樹問題1、如圖所示，所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5,則正方形 A，B，C, D 的面積的和2、已知 ABC 是邊長為 1 的等腰直角三角形,等腰 Rt ACD 再以 Rt ACM 斜邊BC 的斜邊 AC 為直角邊，畫第二個三個等腰 Rt ADE，依此類BCD2、如圖 2,已知，在 ABC 中，/ A = 45 , AC =2, AB =3+1，則邊 BC 的長為_ 3、某公司的大門如圖所示,其中四邊形ABCD是長方形,上部是以AD為直徑的半圓,其中AE=2.3m, BC=2m,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車,高為 2.5

15、m,寬為 1.6m，問這輛卡 車能否通過公司的大門？并說明你的理由4、 將一根長 24cm的筷子置于地面直徑為 5cm,高為 12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在 杯子外面的長為 hcm,貝Uh 的取值范圍_。5、 如圖，鐵路上 A、B 兩點(diǎn)相距 25km C D 為兩村莊，DA?垂直 AB 于 A, CB 垂直 AB 于B,已知 AD=15km BC=10km 現(xiàn)在要在鐵路 AB 上建一個土特產(chǎn)品收購站 E,使得 C、D 兩 村到E 站的距離相等，則 E 站建在距 A 站多少千米處？考點(diǎn)十、航海問題1、 一輪船以 16 海里/時的速度從 A 港向東北方向航行，另一艘船同 時以 12 海里/時的

16、速度從 A 港向西北方向航行，經(jīng)過 1.5 小時后，它們相距_里2、 如圖，某貨船以 24 海里/時的速度將一批重要物資從 A 處運(yùn)往 正東方向的 M 處，在點(diǎn) A 處測得某島 C 在北偏東 60的方向上。該 貨船航行30 分鐘到達(dá) B 處，此時又測得該島在北偏東 30的方向上，已知在 C 島周圍 9 海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險？試說明理由。3、如圖，某沿海開放城市 A 接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向 260km 的 B 處有一臺風(fēng)中心,沿 BC 方向以 15km/h 的速度向 D 移動，已知城市 A 到 BC 的距離 AD=100km 那么臺風(fēng)中心 經(jīng)過多長時間從 B 點(diǎn)移到 D點(diǎn)？如果在距臺風(fēng)中心 30km 的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的 破壞的危險，正在 D 點(diǎn)休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？考點(diǎn)一、網(wǎng)格問題1、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為 1,則網(wǎng)格上的三角形 ABC 中，邊長為 無理數(shù)的邊數(shù)是（）A. 0 B . 1 C . 2 D . 32、如圖，