水質(zhì)檢測數(shù)學(xué)模型

1、水質(zhì)指標(biāo)評價問題的數(shù)學(xué)模型摘要生活用水一直是關(guān)系到民生的根本問題，是國家和政府一直在重點(diǎn)保護(hù)和治理的項目之一。近年來，隨著工業(yè)化、信息化步伐的加快，水質(zhì)污染問題越來越突出。本文通過對商丘某縣四口水井水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)建模分析，希望為該村，為其他有類似問題的地方，提供水質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)和預(yù)防污染的借鑒方法。針對問題一，通過主成分分析和R型聚類分析兩種方法，在減少指標(biāo)的同時保留盡量多的原始信息。對主成分分析法，通過計算機(jī)模擬、軟件求解，得出四口井的得分，據(jù)此得出結(jié)果；對聚類分析法，通過聚類減少指標(biāo)量，然后根據(jù)密切值法得出四口井的排名。主成分分析模型的結(jié)果南井第一，北井第二，東井第三，西井第四；R型聚類分析模型結(jié)

2、果為東井第一，南井第二，西井第三，北井最后。針對問題二，首先提取水質(zhì)檢測數(shù)據(jù)和水質(zhì)分級標(biāo)準(zhǔn)表中都有的指標(biāo)，然后剔除水質(zhì)分級標(biāo)準(zhǔn)中各水質(zhì)類型均相同的指標(biāo)，確定八個指標(biāo)為本問題的原始指標(biāo)。將水質(zhì)分級標(biāo)準(zhǔn)表中的I類、II類、III類三類數(shù)據(jù)當(dāng)作水井樣本，和原來四口水井一起，組成一個樣本容量為七、指標(biāo)個數(shù)為八的新樣本組合，利用問題一的主成分分析模型，通過軟件求解，得出七個井的得分，對這七口井進(jìn)行排名，然后根據(jù)排名確定水質(zhì)分級。針對問題三，結(jié)合問題一二的計算結(jié)果，從描述四口水井的概況開始，有針對性的分析污染原因，以及污染影響和對應(yīng)的整治措施，為村民們提供較好的處理污染的方法，根據(jù)一些健康的飲水常識，為村

3、民今后的飲水健康提出幾點(diǎn)有意義的建議。關(guān)鍵詞：聚類分析法；主成分分析法；密切值法；水污染檢測；指標(biāo)；無量綱化；1問題的重述河南省商丘地區(qū)某村內(nèi)有各相距500米以上的四口水井，分別位于村東、村西、村南和村北，由于農(nóng)業(yè)和生活排放廢物使地下淺表水遇到污染，水質(zhì)監(jiān)測資料如表1所示. 表1：水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)2009 年10月15日商丘某村井水水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)報告編號：商水監(jiān)/ SM089-2009 監(jiān)測日期：2009.10.15 樣品類別樣品編號pH溶解氧總硬度SO42-Cl-鐵錳銅鋅揮發(fā)酚高錳酸鹽指數(shù)化學(xué)需氧量mg/L東井DB0110158.10 5080.17<DL0.150

4、.00623.851.4西井DB0210158.346.93271381600.110.19<DL0.150.00316.265.1 南井DB0310157.496.4524 232 162 0.070.20 <DL0.27<DL1.9 <10北井DB0410157.157.21020 209 312 1.080.65<DL0.19<DL1.7 <102009 年10月15日商丘某村井水水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)報告編號：商水監(jiān)/ SM089-2009 監(jiān)測日期：2009.10.15 樣品類別樣品編號總磷硝酸鹽氮亞硝酸鹽氮氨氮氟化物氰化物汞砷鎘六價鉻鉛糞大腸菌群mg

5、/L（個/L）東井DB0110150.781.350.02610.71.48<DL<DL0.0026<DL<DL<DL900西井DB0210150.982.630.01213.0 1.72<DL<DL0.0178<DL<DL<DL1805南井DB0310150.15 18.40.3210.050.53<DL<DL0.0025<DL<DL<DL600北井DB0410150.03 0.320.004<DL2.18<DL<DL0.0211<DL<DL<DL968 請你們完成以

6、下問題：（1）請用2種以上的數(shù)學(xué)方法對該村的四個井水的水質(zhì)進(jìn)行排序，并比較是否由于方法的不同導(dǎo)致存在著異，以及差異產(chǎn)生的原因。（2）請對該村的四個井的地表水分別進(jìn)行水質(zhì)等級判斷。（水質(zhì)分級標(biāo)準(zhǔn)參考附錄一，或自己查有關(guān)資料）（3）請結(jié)合你們的計算結(jié)果給該村村民寫一篇關(guān)于健康用水和保護(hù)水源方法的短文。2 符號約定、：為第項、第項指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)。：為第主成分的特征值；：為第水井密切值。3 問題的分析3.1問題一的分析問題一要求用兩種數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，為此我們選擇使用R型聚類分析法和主成分分析法。我們考慮到簡化數(shù)據(jù)，故將“<DL”的6項指標(biāo)銅、氰化物、汞、鎘、六價鉻、鉛忽略，只考慮其他18個指標(biāo)

7、。（1）主成分分析法。本文使用主成分分析法，它是把各變量之間的復(fù)雜關(guān)系進(jìn)行簡化，研究指標(biāo)體系的少數(shù)幾個線性組合，并且這幾個線性組合所構(gòu)成的綜合指標(biāo)將盡可能多地保留原來指標(biāo)變異方面的信息。具體方法是化多個指標(biāo)為少數(shù)綜合指標(biāo)，根據(jù)綜合指標(biāo)的方差貢獻(xiàn)率，對四個水井進(jìn)行分析、排序。由題建立模型，根據(jù)主成分分析的基本步驟來解決問題。首先確定分析標(biāo)量，即四口水井對應(yīng)的指標(biāo)，列出原始樣本資料陣，再對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化（無量綱化），得到標(biāo)準(zhǔn)陣，再通過SPSS軟件求出方差貢獻(xiàn)率、累積方差貢獻(xiàn)率，最后確定主成分的得分，對水井進(jìn)行排序。（2）R型聚類分析法，對井水水質(zhì)的各項指標(biāo)進(jìn)行分類，其相似性程度通常用相關(guān)系數(shù)來

8、描述。由題建立模型，根據(jù)聚類分析法的基本步驟來解決問題。首先確定樣本分析指標(biāo)，由數(shù)據(jù)直接計算原始數(shù)據(jù)的相關(guān)矩陣，然后將相關(guān)系數(shù)最大的一對指標(biāo)聚為一類，合并相似指標(biāo)，對相關(guān)矩陣進(jìn)行降維，最終求得五個大的指標(biāo)分類，然后運(yùn)用密切值法對水井進(jìn)行排序。3.2 問題二的分析根據(jù)水質(zhì)分級標(biāo)準(zhǔn)表，首先剔除分級標(biāo)準(zhǔn)表中沒有的指標(biāo)和水質(zhì)類型均相同的指標(biāo)，確定8個指標(biāo)為本問題的原始指標(biāo)，將分級表中的I類、II類、III類指標(biāo)當(dāng)作水井樣本，和原來四口水井一起，組成一個樣本容量為7、指標(biāo)個數(shù)為8的新樣本組合，利用問題一的主成分分析模型，通過計算方差貢獻(xiàn)率，進(jìn)行打分排名，根據(jù)排名確定水質(zhì)分級。4 模型的假設(shè)根據(jù)題目，提出

9、以下幾個假設(shè)：（1）假設(shè)相距500米以上的四口水井互相不存在影響。（2）DL是指“測量太小，無法統(tǒng)計”。在題目數(shù)據(jù)中，東西南北四個井水的銅、氰化物、汞、鎘、六價鉻、鉛六項指標(biāo)均“<DL”，為簡化數(shù)據(jù)，我們不妨忽略這樣的指標(biāo)，即我們只考慮其他18項指標(biāo)。5 問題一模型的建立5.1問題的進(jìn)一步分析5.1.1主成分分析法四口水井水樣數(shù)據(jù)，共監(jiān)測了18項指標(biāo)進(jìn)行分析。根據(jù)主成分分析法，先對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化處理，再求相關(guān)系數(shù)矩陣，由相關(guān)系數(shù)矩陣計算特征值。題中給出4個樣本各24個指標(biāo)，首先要確定分析標(biāo)量，即四口水井對應(yīng)的指標(biāo)，列出原始樣本資料陣，再對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化（無量綱化），得到標(biāo)準(zhǔn)陣，

10、再通過SPSS軟件求出方差貢獻(xiàn)率、累積方差貢獻(xiàn)率，最后確定主成分的保留，根據(jù)特征向量，求出主成分綜合評價分?jǐn)?shù)，得出排名結(jié)果。5.1.2 R型聚類分析法R型聚類分析是將指標(biāo)相關(guān)系數(shù)最大的一對聚為一類，通過這種方法反復(fù)對相關(guān)矩陣進(jìn)行降維處理，每一聚合降維，總是找到相關(guān)系數(shù)最大的一對，到最后只剩五大類指標(biāo)。在每類指標(biāo)中，列出本類中所有指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)矩陣，計算每個指標(biāo)與其他指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)平方和的平均數(shù)，然后比較各指標(biāo)所求的值，選擇所求值最大的那個指標(biāo)作為五大類的代表性指標(biāo)。根據(jù)五個代表性指標(biāo)，利用密切值法，對四口水井進(jìn)行打分排序。5.2模型的建立和求解5.2.1主成分分析法：首先我們根據(jù)原始數(shù)據(jù)表，列

11、出原始樣本資料陣：為了使四個水井樣本指標(biāo)有更直觀的比較，現(xiàn)將四個井水的指標(biāo)統(tǒng)一到一個標(biāo)準(zhǔn)上，即對水井的每個指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理， （5.1）其中，分別為第列元素的樣本均值和樣本方差 ， （5.2）則采用矩陣形式寫出的標(biāo)準(zhǔn)化后的的樣本資料陣為下面通過標(biāo)準(zhǔn)化后的資料陣求解方差貢獻(xiàn)率，使用SPSS軟件，各主成分貢獻(xiàn)率與累計貢獻(xiàn)率見總方差表：表1：解釋的總方差成份初始特征值提取平方和載入合計方差的 %累積 %合計方差的 %累積 %19.89454.96954.9699.89454.96954.96926.29634.97989.9486.29634.97989.94831.80910.0521001.

12、80910.05210046.92E-163.85E-1510054.31E-162.39E-1510063.48E-161.93E-1510072.66E-161.48E-1510081.74E-169.67E-1610098.94E-174.97E-16100103.86E-172.15E-16100111.91E-171.06E-1610012-3.72E-17-2.07E-1610013-1.17E-16-6.50E-1610014-1.94E-16-1.08E-1510015-2.66E-16-1.48E-1510016-3.18E-16-1.77E-1510017-3.56E-16

13、-1.98E-1510018-5.79E-16-3.22E-15100提取方法：主成份分析。確定主成分?jǐn)?shù)目的保留，方法一般選取累計貢獻(xiàn)率達(dá)85一95的主成分，或特征值的主成分，只要有主成分滿足這個條件，就選取出來。由表 1 可知，前三個主成分的方差分別為9.894、6.296、1.809均大于1，而它們的累計貢獻(xiàn)率已達(dá) 100%，故只需求出第一、二、三主成分即可，它們已能夠充分地反映四口水井的水水質(zhì)綜合水平。為了更加直觀的看出第一第二第三的主成分對整體所占的比重，畫出碎石圖。 圖1：從碎石圖中，我們也可看出這3項指標(biāo)的特征值均大于1，也遠(yuǎn)大于其他指標(biāo)，再佐證了表1中得到的結(jié)論。三個主成各指標(biāo)的

14、特征向量，即成分矩陣為：表2: 成分矩陣成份123pH0.981-0.0780.175溶解氧-0.5150.4890.704總硬度-0.8560.498-0.141SO42-0.834-0.45-0.319Cl-0.6720.706-0.2276鐵-0.6640.731-0.157錳-0.710.691-0.133鋅-0.73-0.6510.207揮發(fā)酚0.882-0.005-0.471高錳酸鹽指數(shù)0.9420.033-0.335化學(xué)需氧量0.9820.1650.091總磷0.9890.0660.13硝酸鹽氮-0.374-0.870.32亞硝酸鹽氮-0.421-0.880.222氨氮0.986

15、0.1550.065氟化物0.0750.988-0.133砷-0.1770.8950.41糞大腸菌群0.6130.5480.569第一主成分與原始變量pH、高錳酸鹽指數(shù)、化學(xué)需氧量、總磷以及氨氮有一定的正相關(guān)。說明這 5 項是這一污染類型的主要污染因子，其余幾項指標(biāo)污貢獻(xiàn)率較??；在第二主成分中，氟化物、砷以及亞硝酸鹽氮的貢獻(xiàn)率較大，其余幾項指標(biāo)污貢獻(xiàn)率較??；第三主成分中，溶解氧對其的貢獻(xiàn)率較大，其余幾項指標(biāo)污貢獻(xiàn)率較小。圖2：根據(jù)特征向量，求出主成分表達(dá)式：， 因此，以各成分對應(yīng)的方差貢獻(xiàn)率為權(quán)數(shù)建立主成分綜合模型： （5.3）代入數(shù)據(jù)得到第一主成分第二主成分第三主成分主成分總分排名東井0.8

16、2-0.22-1.240.253西井0.900.441.120.764南井-0.69-1.280.38-0.791北井-1.021.06-0.26-0.222所以最終排序為西井第一，東井第二，北井第三，南井第四。5.2.2 R型聚類分析法現(xiàn)在用R型聚類分析模型求解問題。R型聚類分析，就是對指標(biāo)進(jìn)行分類，其相似性程度通常用相關(guān)系數(shù)來描述，目的就是按照變量的相關(guān)關(guān)系將它們分為若干類，方法就是將相關(guān)系數(shù)最大的聚為一類。首先由原始樣本資料陣直接計算原始數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)：為指標(biāo)與指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)，則相關(guān)系數(shù)陣為從相關(guān)矩陣的數(shù)據(jù)我們可以看出，將第6項指標(biāo)與第7項指標(biāo)相關(guān)系數(shù)最大，類聚為新一類，得，降維合并后的

17、新相關(guān)矩陣為從相關(guān)矩陣的數(shù)據(jù)我們可以看出，將第19項指標(biāo)與第5項指標(biāo)相關(guān)系數(shù)最大，類聚為新一類，得，降維合并后的新相關(guān)矩陣為從相關(guān)矩陣的數(shù)據(jù)我們可以看出，將第9項指標(biāo)與第10項指標(biāo)相關(guān)系數(shù)最大，類聚為新一類，得，如此反復(fù)降維，通過以上一遍一遍的聚合，最終得到一個簡單的聚類陣陣由最終的聚類陣可以看出，水井水質(zhì)指標(biāo)可以的分為五大類，一類由pH、化學(xué)需氧量、總磷、氨氮、糞大腸菌群構(gòu)成；一類由溶解氧構(gòu)成；一類包含總硬度、Cl、鐵、錳指標(biāo)；一類由鋅、硝酸鹽氮、亞硝酸鹽氮、氟化物構(gòu)成；還有一類由砷構(gòu)成。下面我們通過計算比較每個指標(biāo)對其余指標(biāo)的均方相關(guān)系數(shù)的大小，從以上分出的五大類指標(biāo)中選擇代表性指標(biāo)。利用

18、公式 （5.4）對于第一大類指標(biāo)中，故第一大類代表性指標(biāo)為，即錳指標(biāo)。用同樣的方法，求解第二大類指標(biāo)的代表性指標(biāo)為，即溶解度；第三大類代表性指標(biāo)為，即總磷；第四大類代表性指標(biāo)為，即砷；第五大類代表性指標(biāo)為，即亞硝酸鹽氮。綜上，用聚類分析法得到的代表性指標(biāo)為錳指標(biāo)、溶解度、總磷、砷、亞硝酸鹽氮， 這樣問題的分析就從比較18項指標(biāo)降到比較5項重要指標(biāo)上了，問題經(jīng)過模型后被簡化了。最后，給四口水井打分，來定排名。先確定評定指標(biāo)的“最優(yōu)點(diǎn)”和“最劣點(diǎn)”：在五項代表性指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)陣中，“最劣點(diǎn)”為每一列指標(biāo)的最小值，即為模擬的水質(zhì)最差的檢測斷面；“最優(yōu)點(diǎn)”為每一列指標(biāo)的最大值，即為模擬的水質(zhì)最優(yōu)的檢測斷面

19、；由矩陣，“最優(yōu)點(diǎn)max”為，“最劣點(diǎn)min”為。根據(jù)公式， （5.5）， （5.6）為井的標(biāo)號，水井對應(yīng)指標(biāo)的標(biāo)號。求各井與最優(yōu)點(diǎn)距離和最劣距離如下表表3：東井西井南井北井d22.4210.9215.0111.23l3.4913.848.417.33然后計算各井的密切值： 令;即則密切值；所求值如下表：表4:東井西井南井北井c1.850.20.890.03解得東井第一，南井第二，西井第三，北井最后。5.3模型結(jié)果的分析由主成分分析法所得的結(jié)果是南井第一，東井第二，北井第三，西井最后；R型聚類分析模型結(jié)果為東井第一，南井第二，西井第三，北井最后。主成分分析法是通過抽象出一種新的指標(biāo)作為衡量標(biāo)準(zhǔn)

20、，這種方法較為準(zhǔn)確，抽象出的主成分對所有指標(biāo)均有一定的代表性；而聚類分析法是通過相關(guān)系數(shù)聚合原指標(biāo)，找到原指標(biāo)中叫有代表性的指標(biāo)作為衡量的標(biāo)準(zhǔn)，這種方法缺點(diǎn)是夸大了代表性指標(biāo)對水井的評價影響，同時完全忽略了其他指標(biāo)的評價作用。6 問題二6.1問題二的求解根據(jù)水質(zhì)分級標(biāo)準(zhǔn)表，建立的新樣本的指標(biāo)和水井樣本列表如下：表5溶解氧鋅揮發(fā)酚高錳酸鹽指數(shù)化學(xué)需氧量總磷氨氮糞大腸菌群東井5.10.150.00623.851.40.7810.7900西井6.90.150.00316.265.10.98131805南井6.40.2701.900.150.05600北井7.20.1901.700.030968I類7

21、.50.050.0022150.020.15200II類610.0024150.10.52000III類510.0056200.2110000用問題一的主成分分析法，無量綱化求出標(biāo)準(zhǔn)陣，通過SPSS求出方差貢獻(xiàn)率、特征值，確定主成分個數(shù)，列出成分矩陣：表6成份矩陣成分1成分2溶解氧-.716.616鋅-.119-.855揮發(fā)酚.936-.047高錳酸鹽指數(shù).971-.139化學(xué)需氧量.968.196總磷.978.016氨氮.987.052糞大腸菌群.777.336由上表可以看出，第一主成分與揮發(fā)酚、高錳酸鹽指數(shù)、化學(xué)需氧量、總磷、氨氮有一定的正相關(guān)，說明這5個指標(biāo)為第一主成分的主要污染因子；第

22、二主成分中，溶解氧的方差貢獻(xiàn)率較大，其他指標(biāo)的貢獻(xiàn)率較小。根據(jù)對應(yīng)的方差貢獻(xiàn)率代入問題一公式（5.3），求出所得分?jǐn)?shù)，見下表5：表7溶解氧鋅揮發(fā)酚高錳酸鹽化學(xué)需氧量總磷氨氮糞大腸菌群第一主成第二主成總得分指數(shù)分得分分得分東井-1.619-0.8171.5081.3600.7540.7310.798-0.3760.943-0.3470.710西井0.623-0.8170.3020.5591.2191.2271.1831.6470.8441.3410.930南井0.0001.633-0.905-0.949-0.987-0.830-0.987-1.047-0.878-1.318-0.960北井0.9

23、960.000-0.905-0.970-0.987-1.128-0.995-0.224-0.9100.325-0.690I類1.298-1.414-0.707-1.225-0.707-1.177-1.147-0.908-1.0001.216-0.600II類-0.1620.707-0.7070.000-0.707-0.091-0.143-0.485-0.306-0.707-0.380III類-1.1360.7071.4141.2251.4141.2681.2901.3931.306-0.5090.980所以最終的分?jǐn)?shù)排名為南井、北井、I類、II類、東井、西井、III類，所以南井和北井為I類水井

24、，東井和西井為III類水井。7 問題三：致XX村全體：親愛的各位領(lǐng)導(dǎo)、村民你們好！根據(jù)本次調(diào)查的各井的水質(zhì)狀況，我們查閱資料給出如下井水的保護(hù)及使用建議：健康用水水是生命之源，使人類賴以生存發(fā)展的不可缺少重要物質(zhì)之一，據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)全世界的長壽人群中有96.28%的人居住在有優(yōu)良水質(zhì)的地方。例如俄羅斯高加索地區(qū)的一個長壽村是世界上唯一沒有發(fā)生過癌癥的地方，經(jīng)科學(xué)家研究證明其主要原因就在于其飲用的井水屬于小分子團(tuán)水，具有延緩人體細(xì)胞衰老等效果。所以飲用水的健康直接關(guān)系到我們的健康水平。節(jié)約用水和合理利用生活廢水水資源是大自然饋贈給我們的有限的禮物，我們應(yīng)加以珍惜合理運(yùn)用，節(jié)約清水使用更是重中之重。飲用水保存應(yīng)做到及時及量，飲用水不宜長時間儲存，科學(xué)表明長期飲用此類水，會阻礙幼兒身體骨骼及智力的發(fā)育，對于成人健康也極其不利，故建議盡量現(xiàn)用現(xiàn)取保證飲用水的活性，同時也避免浪費(fèi)。生活用水很多情況下都是可以再利用的，例如淘過米的水富含多種營養(yǎng)物質(zhì)可用于農(nóng)田的灌溉及牲畜的喂養(yǎng)，并且較一般井水對農(nóng)作物及家畜具有更佳效果；洗菜的水由于有少許農(nóng)藥殘留對土地不建議用作灌溉，但可用來洗衣服或擦拭家具地面等等井水使用及分配建議根據(jù)本次水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)，我們