單擺振動(dòng)中的等效問(wèn)答

1、單擺振動(dòng)中的等效問(wèn)題（新教材單擺是由一根不能伸長(zhǎng)的細(xì)線，系一個(gè)視為質(zhì)點(diǎn)的擺球構(gòu)成。在擺角）時(shí)，擺球的運(yùn)動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。等效方法是通過(guò)對(duì)問(wèn)題中的某些因素進(jìn)行變換或直接利用相似性，移用某一規(guī)律進(jìn)行分析而得到相等效果，利用等效法不僅可以使問(wèn)題變得 簡(jiǎn)單易解，而且活躍了學(xué)生的思維。在通常情況下，很多物體的運(yùn)動(dòng)模型可等效為單擺模型，單擺振動(dòng)中的等效問(wèn)題包括模型的等效、擺長(zhǎng)的等效、重力加速度的等效及周期的等效。等效單擺的周期公式可以廣義地表0二亦耳示為式中” I為等效擺長(zhǎng)，呂為等效重力加速度。一、等效單擺擺長(zhǎng)所謂擺長(zhǎng)意味著懸點(diǎn)到擺球球心間的距離。單擺的運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)是一小段圓弧，其軌道半徑 與等效擺長(zhǎng)相等，

2、即l=R。對(duì)于形異質(zhì)同的單擺物理模型，不管有無(wú)“懸點(diǎn)”，只要搞清了圓弧軌道的半徑R，單擺的周期即可用計(jì)算。同學(xué)們對(duì)下圖中各擺等效擺長(zhǎng)一看便知（若等效擺長(zhǎng)不易一眼看出，則應(yīng)從數(shù)學(xué)角度計(jì)算）。例1.由長(zhǎng)度依次為L(zhǎng)和2L的AC和BC兩根細(xì)繩懸掛小球 C,如圖4所示，每根細(xì)繩跟豎直 方向的夾角均為30 ，當(dāng)該小球向紙內(nèi)外做微小擺動(dòng)時(shí)，其擺動(dòng)周期為5所示,AB,然后過(guò)擺球L”- 3，故周期：V J簡(jiǎn)析：本題是一個(gè)雙線擺問(wèn)題，解決其周期，首先得確定其等效擺長(zhǎng),C作豎直線交直線 AB于0點(diǎn)，則0C為該擺的等效擺長(zhǎng)，如圖例2.如圖6所示，光滑圓弧槽半徑為R，A為最低點(diǎn)，C到A距離遠(yuǎn)小于R,兩質(zhì)點(diǎn)B和C都由靜止

3、開(kāi)始釋放，問(wèn)哪一個(gè)小球先到 A點(diǎn)？簡(jiǎn)析：B球到A點(diǎn)時(shí)間用自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解，其時(shí)間:C球在光滑圓弧槽內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)可看作等效單擺運(yùn)動(dòng)，半徑 單擺周期公式：顯然,，即B球先到。討論:要使兩球在 A點(diǎn)相遇，可使B球上移，問(wèn)此時(shí)分析:B球下落時(shí)間為:SR為等效擺長(zhǎng)。第一次到達(dá)A點(diǎn)用B球高度h為多少?h值亦應(yīng)有多解:又C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)具有重復(fù)性，兩球相遇時(shí)間必有多解，相應(yīng)的“ + H(” J 2)解得：二、等效重力加速度F）與擺球的質(zhì)量m等效重力加速度的大小等于擺球的視重（擺球相對(duì)懸點(diǎn)靜止時(shí)線的拉力之比,即 加。求宮的基本步驟如下:(1)(2)計(jì)算擺球的視重。(3)利用，求出視重加速度。分析擺球的受力，確定擺球

4、相對(duì)靜止的位置（即平衡位置）。應(yīng)當(dāng)注意，在計(jì)算拉力時(shí)，不能將始終沿懸線方向的力（法線方向）包括在內(nèi)。因?yàn)橹挥袑?duì)回復(fù)力有貢獻(xiàn)的力，才能改變振動(dòng)周期。如圖7幾種情況，振動(dòng)周期不變。9角。若繩長(zhǎng)為I，擺球質(zhì)量為 m，）。例3.如圖8所示的擺球，由于受到橫向風(fēng)力的作用，偏過(guò) 且風(fēng)力穩(wěn)定，當(dāng)擺球在紙平面內(nèi)平衡位置附近振動(dòng)時(shí)，其周期為（A.B.D.解析：平衡時(shí)擺球受重力mg，風(fēng)力熱，線的拉力用，受力分析如圖9所示。由力的平衡可得，擺球的視重為等效重力加速度為所以擺的周期為故選項(xiàng)B正確。的小球拴在盛水容器的例4.如圖10,用一根細(xì)線，長(zhǎng)為I，將一個(gè)密度沁10喝 底部。若使小球稍偏離平衡位置而振動(dòng)，求它的周期

5、是在空氣中周期的幾倍。HBaSTnninS圖10圖11解析：設(shè)擺球的體積為 V,則質(zhì)量為tn= pV力刀1作用，如圖11所示。由力的平衡條等效重力加速度為擺在水中的周期為、fvW。擺球在水中平衡時(shí)受重力mg、拉力昌、碼=片-祝若=f術(shù)呂卩-莊卩g魚-1巾紳況Qcf10x10-1必08x10浮件可得擺在空氣中的周期為原始的單擺模型在振動(dòng)過(guò)程中回復(fù)力來(lái)源于重力的分量，要研究升降機(jī)中單擺的周期問(wèn)題，必須從研究回復(fù)力著手，求出其等效重力，再求等效重力加速度例5.在升降機(jī)中掛著一單擺，擺長(zhǎng)為L(zhǎng),當(dāng)升降機(jī)以加速度的振動(dòng)周期Toa勻加速上升的過(guò)程中，求單擺簡(jiǎn)析：?jiǎn)螖[在擺動(dòng)過(guò)程中，受重力和繩的張力F的作用，當(dāng)

6、升降機(jī)勻加速上升時(shí)，單擺一方面繞懸點(diǎn)振動(dòng)，另一方面沿豎直方向作勻加速直線運(yùn)動(dòng)。根據(jù)力的作用效果，將 F分為尺耳 R三個(gè)力，如圖12所示，在豎直方向上，F(xiàn)3與G的 合力產(chǎn)生向上的加速度 a,切線方向的Fi使單擺返回“平衡”位置，產(chǎn)生切向加速度， 擺線方向產(chǎn)生做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心加速度。F2沿因?yàn)槎?一0 =呦,所以K =咖o又因?yàn)镕丄Fi,所以:岡二堪 sin 舊二 + g) sm &當(dāng)段很小時(shí),sin,有丘 = (g+a)壬LiZj0且方向相反，得厶故單擺在加速上升的升降機(jī)中所受回復(fù)力與位移成正比, 單擺在升降機(jī)中擺動(dòng)周期為:2后噸a勻加速下降，則:，我們稱之為等效重力加速度，同理，若升降機(jī)以

7、加速度可見(jiàn)在升降機(jī)中加速（或加速）上升（或下降），可以等效為重力加速度發(fā)生變化，只要求 出等效重力加速度，則單擺的周期問(wèn)題迎刃而解，現(xiàn)列舉另外幾種常見(jiàn)情形：（1）在水平加速運(yùn)動(dòng)的車廂內(nèi)O變到了 0 ”，如圖13所示，若將單擺懸掛于水平加速向左運(yùn)動(dòng)的車廂內(nèi)，其平衡位置由等效重力加速度為二和十/，則振動(dòng)周期為圖13圖14(2) 在斜面上加速運(yùn)動(dòng)的車廂內(nèi)如圖14所示，當(dāng)小車沿傾角為 為，比小車靜止時(shí)要大。9的光滑斜面自由滑下時(shí)，單擺的周咤的切向分力,(3) 光滑斜面上的單擺 如圖15所示，單擺一端系于傾角為 e的光滑斜面上，產(chǎn)生回復(fù)力的是等效重力加速度為g= 召，周期為圖15圖16(4 )復(fù)合場(chǎng)中的

8、單擺若將帶電量為q的單擺放入電場(chǎng)強(qiáng)度為 E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，如圖16所示，則得到最常見(jiàn)的復(fù)合 場(chǎng)。若擺球帶負(fù)電，則:若擺球帶正電，則:時(shí)，單擺停擺。若電場(chǎng)方向改為水平，同理分析可得。（5）在勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星內(nèi)所以處于完因?yàn)閿[球受到的萬(wàn)有引力全部充當(dāng)了和衛(wèi)星一起環(huán)繞行星運(yùn)動(dòng)所需要的向心力, 全失重狀態(tài)，單擺停擺。三、等效單擺周期對(duì)懸點(diǎn)下方有固定釘子的單擺及組合單擺來(lái)說(shuō)，還存在等效周期的問(wèn)題:例6、一個(gè)單擺如圖17所示，擺長(zhǎng)I = 150厘米，懸點(diǎn)0的正下方有一個(gè)固定的釘子 A , OA = 50厘米，設(shè)擺角0很小，試求此擺的 周期。解析:此單擺的一次全振動(dòng)中，一半由擺長(zhǎng)為li=150cm的單擺的半

9、 個(gè)全振動(dòng)組成,一半由擺長(zhǎng)為l2=100cm 的單擺的半個(gè)全振動(dòng)組成 因此此組合單擺的周期T=十拓F（屈十用二叫（膚+廊）T=3.14 x(0.3912+ 0.3194) =2.23s.例7、如圖10中兩單擺的擺長(zhǎng)均為 L=1m，平衡時(shí)，兩鋼球剛好接觸,現(xiàn)將擺球A在兩擺線所在的平面向左拉開(kāi)一小角度釋放，碰撞后兩球分開(kāi)各自做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，以 rn分別表示兩擺球A、B的質(zhì)量，g取3紙面的向內(nèi)、向外方向上作微小振動(dòng).這時(shí)擺球A10m/s 2，則（）A.如果，下次碰撞發(fā)生在平衡位置的右側(cè)B.如果，下次碰撞發(fā)生在平衡位置的左側(cè)C.該組合擺的周期 T合=n秒D.無(wú)論擺球質(zhì)量之比是多少，下次碰撞都不可能發(fā)生在平

10、衡位置的左側(cè)解析：因兩擺擺長(zhǎng)相等，故兩擺球的周期相等，所以兩球同時(shí)到達(dá)平衡位置，在平衡位置發(fā) 生第二次碰撞，且每隔T/2即n秒時(shí)間，該組合擺完成一次全振動(dòng)。故答案應(yīng)選C、D。四、等效單擺模型小結(jié)常見(jiàn)的等效單擺模型很多，上述各圖中的模型就是典型的例子。除此以外，同學(xué)們還會(huì)遇到其它情況。從近幾年高考試題看，命題人的指導(dǎo)思想很明確，那就是力求所命題目的創(chuàng)意新、背景新、過(guò)程新。但從題目所對(duì)應(yīng)的物理模型來(lái)看，其本質(zhì)上講還是萬(wàn)變不離其宗。等效法是科學(xué)思維的基本方法之一，要提高解決綜合問(wèn)題的能力，從根本上講還是提高構(gòu)建物理模型的能力，要學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，進(jìn)而對(duì)物理模型進(jìn)行等效轉(zhuǎn)化。鞏固檢測(cè)1、如圖19，是

11、記錄地震裝置的水平擺示意圖.擺球m固定在邊長(zhǎng)為I、質(zhì)量可忽略的等邊三角形的頂點(diǎn) A處.它的對(duì)邊BC與豎直線成不大的a角.擺球可沿固定軸BC擺動(dòng)，則擺球做微小振動(dòng)時(shí)周期為多大 ？（答案:T=2解析：此裝置擺動(dòng)時(shí)圖形成擺球A以BC為轉(zhuǎn)軸，以紙面上的 0A為平衡位置,在近于垂直可視為擺長(zhǎng)為OA的單擺，其等效擺長(zhǎng)為1= 炳/2.當(dāng)擺球處在“平衡位置不擺動(dòng)”時(shí)，沿 等效擺長(zhǎng)AO方向的等效擺線的拉力 T=mgsin a,即為等效重力 G =mgsi n a,故此擺的周期2、汽車的重量一般支撐在固定于軸承上的若干彈簧上，彈簧的等效勁度系數(shù) k=1.5 x105N/m ,汽車開(kāi)動(dòng)時(shí)，在振幅較小的情況下，其上下自由振動(dòng)的頻率滿足2jr V （I為車廂在平衡2Hz，已知汽車位置時(shí)彈簧的壓縮的長(zhǎng)度），若人體可以看成一個(gè)彈性體，其固有頻率約為的質(zhì)量為600kg，每個(gè)人的質(zhì)量為70kg，則這