導(dǎo)數(shù)結(jié)合“洛必達(dá)法則”巧解恒成立問(wèn)答

1、導(dǎo)數(shù)結(jié)合“洛必達(dá)法則”巧解恒成立問(wèn)題第一部分：歷屆導(dǎo)數(shù)高考?jí)狠S題1.2006年全國(guó)2理設(shè)函數(shù)f(x) =(X +1)1 n(x+ 1)，若對(duì)所有的x>0，都有f(x)ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2.2006全國(guó)1理1 X已知函數(shù) f X e ax1 X(I)設(shè)a 0，討論y f X的單調(diào)性;(n)若對(duì)任意 x 0,1恒有f X 1，求a的取值范圍.3.2007全國(guó)1理設(shè)函數(shù)f(x) ex ex(I)證明：f(x)的導(dǎo)數(shù)f(X)> 2 ；求a的取值范圍.ax，求a的取值范圍.(n)若對(duì)所有 x> 0都有f (x) > ax ,4.2008全國(guó)2理設(shè)函數(shù)f (x) Sin

2、X2 cosx(I)求f(X)的單調(diào)區(qū)間;(n)如果對(duì)任何 x > 0 ,都有f (x) <5.2008遼寧理In X設(shè)函數(shù) f(x) ln X ln(x 1).1 X求f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值；是否存在實(shí)數(shù) a，使得關(guān)于x的不等式f(X)a的解集為(0,)?若存在,求a的取值范圍;若不存在,試說(shuō)明理由.6.2010新課標(biāo)理設(shè)函數(shù) f (x) = ex 1 x ax2.(I)若a 0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)若當(dāng)x>0時(shí)f (x)0,求a的取值范圍7.2010新課標(biāo)文已知函數(shù)f(x) x(ex 1) ax2.(I)若(n)當(dāng)x 0時(shí)，f (x)0，求a的取值范圍.8.2

3、010全國(guó)大綱理f (x)在x1時(shí)有極值，求函數(shù) f (x)的解析式;設(shè)函數(shù)f (x)1 e(I)證明：當(dāng)x1時(shí),(n)設(shè)當(dāng)x 0時(shí),f(x)-xx1,求a的取值范圍.ax9.2011新課標(biāo)理已知函數(shù)-，曲線xf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為 x 2y 30.(I)求b的值;Gn)如果當(dāng)x 0，且x 1時(shí),ln x kf(x) 一，“求k的取值范圍.x 1 x10.自編3自編：若不等式sinx x ax對(duì)于x (0,)恒成立，求a的取值范圍.第二部分：新課標(biāo)高考命題趨勢(shì)及方法1.新課標(biāo)高考命題趨勢(shì)近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試題逐步做到科學(xué)化、規(guī)范化，堅(jiān)持了穩(wěn)中求改、穩(wěn)中創(chuàng)新的原則，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)作

4、為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既重視考查中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度,又注重考查進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。 為此，高考數(shù)學(xué)試題常與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)接軌,以高等數(shù)學(xué)為背景的命題形式成為了熱點(diǎn)2.分類(lèi)討論和假設(shè)反證許多省市的高考試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類(lèi)重點(diǎn)考查的題型.這類(lèi)題目容易讓學(xué)生想到用分離參數(shù)法，一部分題用這種方法很奏效，另一部分題在高中范圍內(nèi)用分離參數(shù)的方法卻不能順利解決，高中階段解決它只有華山一條路一一分類(lèi)討論和假設(shè)反證的方法3.洛必達(dá)法則0-型及一型函數(shù)未定式的一種解法0雖然這些壓軸題可以用分類(lèi)討論和假設(shè)反證的方法求解,但這種方法往往討論多樣、過(guò)于繁雜，學(xué)生掌握起來(lái)非

5、常困難.研究發(fā)現(xiàn)利用分離參數(shù)的方法不能解決這部分問(wèn)題的原因是出現(xiàn)了 0 ”型的式子，而這就是大學(xué)數(shù)學(xué)中的不定式問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的有效方法就是洛必達(dá)法則.第三部分：洛必達(dá)法則及其用法1.洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則：設(shè)函數(shù)f (x)、g(x)滿足:lim f(X) lim g(x) 0 (1)xa / xa八/(2)在 U''(a)內(nèi)，f (x)和 g(x)都存在，且 g(x) 0 ；lim 3A(3)xag(x)( A可為實(shí)數(shù)，也可以是lim 通 lim 3 A則xag(x) xag(x).(可連環(huán)使用)求極限得最值。2.2011新課標(biāo)理的常規(guī)解法上L 上/ aInx 已知函數(shù)f (

6、x)-，曲線xy f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為 x 2y 30.(I)求 a、b的值;(” n)如果當(dāng)x 0，且x 1時(shí),f(x)Inxn(I)略解得(n)方法一：分類(lèi)討論、假設(shè)反證法由(I)知 f (x)x 1丄，所以xf(x)(In x2k)亠(2lnx (k 1)(x1).x 1 x考慮函數(shù)h(x) 2ln x則 h'(x)(k 1)(x21) 2x(i)當(dāng) k0 時(shí)，由 h'(x)k(x21) (x 1)2知,1時(shí),h'(x)0 .因?yàn)?h(1)0 ,所以當(dāng)x (0,1)時(shí)，h(x)0，可得11 x2h(x)(1,)時(shí)，h(x) 0，可得h(x) 0

7、 ,從而當(dāng)x1 x1時(shí),f(x)In(7 1k-)x(ii )當(dāng)0 k 1時(shí)，由于當(dāng)(1,丄)時(shí)，(k1 k1)(x21)2x0,故 h'(x)0，而h(1) 0，故當(dāng)x (1,丄)時(shí),1 kh(x) 0,可得-1.h(x)與題設(shè)矛盾.(iii )當(dāng) k 1 時(shí)，h'(x)0,而 h(1)0 ,故當(dāng) x (1,)時(shí)，h(x) 0，可得h(x) 0，與題設(shè)矛盾綜上可得，k的取值范圍為(，0.1 x注：分三種情況討論： k 0 :0 k 1 :k 1不易想到尤其是0 k 1時(shí),許多考生都停留在此層面，舉反例x (1,丄)更難想到而這方面根據(jù)不同題型涉及的解法1 k也不相同，這是高中

8、階段公認(rèn)的難點(diǎn)，即便通過(guò)訓(xùn)練也很難提升3.運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解2011年新課標(biāo)理當(dāng)x 0，且x1 時(shí)，f(x)In x1 ln x也即kx 12xln x1 x21，記 g(x)x x2xln x1 x2則 g '(x)2(x21)ln x 2(12 2x2)2(x2 1)(1 x )(122x )(In xV2) x2 1)記 h( x)In x，則 h'(x)4x從而h(x)在(0,)上單調(diào)遞增,22x )1+x (1+x2)2x(1+x2)2(1且h(1)0，因此當(dāng)x (0,1)時(shí),h(x) 0,當(dāng) x (1,)時(shí)，h(x) 0 ;當(dāng) x (0,1)時(shí)，g'(x)0

9、,當(dāng) x(1,)時(shí)，g'(x)0 ,所以 g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,)上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有l(wèi)im g (x) lim(x 1x 112xln x1) 12xl nxlim2x 1 1 x22x即當(dāng)x 0，且x1時(shí),g(x) 0 .因?yàn)閗 g(x)恒成立，所以k 0 .綜上所述，當(dāng)x 0，且 x 1 時(shí)，f (x)ln x k蘆;成立，k的取值范圍為(,0.注：本題由已知很容易想到用分離變量的方法把參數(shù)k分離出來(lái).然后對(duì)分離出來(lái)的函2x ln x數(shù)g(x) 仝罟 1求導(dǎo)，研究其單調(diào)性、極值1 x此時(shí)遇到了“當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g(x)值沒(méi)有意義”這一問(wèn)題，很多考生會(huì)陷入困

10、境.如果考前對(duì)優(yōu)秀的學(xué)生講洛必達(dá)法則的應(yīng)用，再通過(guò)強(qiáng)化訓(xùn)練就能掌握解決此類(lèi)難題的這一有效 方法.當(dāng)然這一法則出手的時(shí)機(jī)：(1 )所構(gòu)造的分式型函數(shù)在定義域上單調(diào)(2)是0型。04.運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解2010新課標(biāo)理x設(shè)函數(shù)f (x) e 1 x2 ax .(I)若a 0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)當(dāng) x 0時(shí)，f(x) 0,求a的取值范圍.應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)(n)當(dāng) x 0時(shí)，f(x) 0,即 ex 1 xax2.當(dāng)x0時(shí)，a R；當(dāng)x0 時(shí)，ex2x ax等價(jià)于axe 1 x2x記 g(x)x .e 1x2xx (0,+)，則 g '(x)(x 2)ex x 2記 h(x)x(x

11、 2)ex 2 x (0,+ ),則 h'(x) (x 1)ex當(dāng) x (0,+ )時(shí)，h ''(x)xex 0，所以h'(x) (x 1)ex 1在(0,+ )上單調(diào)遞增，且h'(x)h'(0)0，所以h(x) (x 2)ex x 2在(0,+ )上單調(diào)遞增，且h(x) h(0)0 ,因此當(dāng)x (0,+ )時(shí)，g'(x)啤x0，從而g(x)ex1 x2一 在(0,+ )上單調(diào)遞增.x由洛必達(dá)法則有,!叫 g(x)limx .e 1x2xxlim ex 0 2xxlim x 0 2即當(dāng)x0時(shí),g(x)-，所以當(dāng)x2(0,+)時(shí)，所以g(x

12、)丄，因此a2綜上所述,且 x 0 時(shí)，f (x)20成立.5.運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解自編題(0,)恒成立，求a的取值范圍.解：應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)當(dāng)x (o,2)時(shí)，原不等式等價(jià)于sin x廠3sin x xcosx 2xx3 4 、 x sinxz 記 f(X)3，則 f '(x) x記 g(x) 3sin X xcosx 2x，貝y g'(x) 2cosx xsinx 2 .因?yàn)?g”(x) xcosx sinx cosx(x tanx),g'''(x)xsinx 0 ,所以 g''(x)在(0,)上單調(diào)遞減，且g''(

13、x)0 ,2所以g'(x)在(0,)上單調(diào)遞減，且g'(x)0.因此g(x)在(0,)上單調(diào)遞減,2 2且 g(x) 0 ,故 f '(x)啤0，因此xf(x)x sin x在(0,)上單調(diào)遞減.x3由洛必達(dá)法則有l(wèi)im f(x) lim Xx 0x 0 x1 cosx lim 2 x 0 3xlimx 0 6xcosx limx 06即當(dāng)x 0時(shí)，g(x)16，即有f (X)x (0,)恒成立.13故a 一時(shí)，不等式sinx x ax對(duì)于6通過(guò)以上例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達(dá)法則解決的試題應(yīng)滿足: 可以分離變量; 用導(dǎo)數(shù)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調(diào)性; 出

14、現(xiàn)“ 0 ”型式子.6.運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解2010年新課標(biāo)文2010海南寧夏文(21) 已知函數(shù) f(x) x(ex 1) ax2.(I)若f (x)在x 1時(shí)有極值，求函數(shù) f (x)的解析式;(n)當(dāng)x 0時(shí)，f(x) 0，求a的取值范圍.解: (I)略(n)應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)0時(shí)，f(x) 0，即 x(e，求a的取值范圍.ax 1解：(I)略(n)應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)由題設(shè)x 0 ,此時(shí)f(X)0. 1) ax2.當(dāng)0 時(shí)，a R;當(dāng)0 時(shí)，x(ex 1)ax2等價(jià)于ex1 ax，也即a記 g(x),x (0, x)，則 g'(x)(x 1)ex 1記 h( x)(x 1)ex

15、 1, x(0,)，則 h'(x) xex0,因此 h(x)(x1)ex 1 在(0,)上單調(diào)遞增，且h(x)h(0)0，所以 g'(x)凹x0 ,從而g(x)在(0,)上x(chóng)0 .單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有xelim 一x 0 1即當(dāng)x 0時(shí)，g(x)所以g(x) 1，即有a1.綜上所述，當(dāng)a 1，xf (x)0成立.7.運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解2010年大綱理2010全國(guó)大綱理(22)(I)證明：當(dāng)x 1時(shí),設(shè)函數(shù)f (x)1 e x.f(x) ；(n)設(shè)當(dāng) x 0時(shí)，f(x)x 1當(dāng)a 0時(shí)，若x當(dāng)a 0時(shí)，當(dāng)X;0, f(x) ax 1xf(x)，即 1ax 1axX -不成立;

16、1X，1ax0,則a0,則14X等價(jià)于r旦ax 1X，即ax 1XXxe e 1Xxe XX記g(x)絲X .e 1Xxe X2x 2，則 g'(X)XX .! 2e 1(xeX/ XX7(eX22x e ).記 h( x) exX2 2 e x，則 h'(x)ex 2x e,h''(x)X x e +e因此，h'(x)ex 2x e x在(0,)上單調(diào)遞增,且 h'(0)0 ,所以h'(x)即 h(x)在(0,)上單調(diào)遞增，且h(0)0,所以h(x) 0.因此 g '(X)= x(xe x)Xe訥(X)0 ,所以g(x)在(0,

17、)上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有l(wèi)im g(x) limx 0x 0xXxe e 1Xxe XX00二 lXm0 2e-XXe xeXXi xe1，即當(dāng)x 0時(shí),21 1g(x)2，即有 g(x)1所以a -綜上所述，a的取值范圍是2(E.8.運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解2008年全國(guó)2理設(shè)函數(shù)f (x) sinX2 cosx(I)求f(X)的單調(diào)區(qū)間;(n)如果對(duì)任何f (x) < ax，求a的取值范圍.解：(I) f(X)(2 cosx)cosx sin x( sin x)2(2 cos x)2cos X 1(2 cosx)當(dāng) 2k n X3當(dāng) 2k n 3 X32k n2k n¥( k Z )時(shí),34 n(k Z )時(shí),3cosxcosx1-,即卩f(X)21,即卩f(X)2因此f(x)在每一個(gè)區(qū)間 2k2 冗,2k n32 n三匸(k Z )是增函數(shù),3f (x)在每一個(gè)區(qū)間 2knjn3(k Z )是減函數(shù).(n)應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)f(x)sin x2ax cosx則 sinx2 cosxax等價(jià)于asin xx<2，即 g(x) cosx)sin xx(2 cosx)g'(x)2xcosx 2sin X sin xcosx x2 2x (