數(shù)值分析第一章研習小結(jié)

1、-!數(shù)值分析第1章 緒論學習小結(jié)本章學習體會通過本章的學習，讓我初窺數(shù)學的又一個新領域。數(shù)值分析這門課，與我之 前所學聯(lián)系緊密，區(qū)別卻也很大。在本章中，我學到的是對數(shù)據(jù)誤差計算，對誤 差的分析，以及關于向量和矩陣的范數(shù)的相關內(nèi)容。誤差的計算方法很多，對于不同的數(shù)據(jù)需要使用不同的方法，或直接計算, 或用泰勒公式。而對于二元函數(shù)的誤差計算亦有其獨自的方法。 無論是什么方法, 其目的都是為了能夠通過誤差的計算，發(fā)現(xiàn)有效數(shù)字、計算方法等對誤差的影響。而對誤差的分析，則是通過對大量數(shù)據(jù)進行分析，從而選擇出相對適合的算 法，盡可能減少誤差。如果能夠找到一個好的算法，不僅能夠減少計算誤差，同 時也可以減少計

2、算次數(shù)，提咼計算效率。對于向量和矩陣的范數(shù)，我是第一次接觸，而且其概念略微抽象。因此學起 來較為吃力，僅僅知道它是向量與矩陣“大小”的度量。故對這部分內(nèi)容的困惑 也相對較多。本章的困惑主要有兩方面。一方面是如何能夠?qū)ふ乙粋€可靠而高效的算法。雖然知道算法選擇的原則，但對于很多未接觸的問題，真正尋找一個好的算法還 是很困難。另一方面困惑來源于范數(shù)，不明白范數(shù)的意義和用途究竟算什么。 希 望通過以后的學習能夠漸漸解開自己的疑惑。本章知識梳理緒論F數(shù)值分析的研究對象Vy> 誤差知識與算法知識丿Z向量范數(shù)與矩陣范數(shù)/2.1數(shù)值分析的研究對象J方法的構造LJ研究對象Ar求解過程的理論分析1 ,數(shù)值分

3、析是計算數(shù)學的一個重要分支， 研究各種數(shù)學問題的數(shù)值解法，包括 方法的構造和求解過程的理論分析。它致力于研究如何用數(shù)值計算的方法求解各 種基本數(shù)學問題以及在求解過程中出現(xiàn)的收斂性，數(shù)值穩(wěn)定性和誤差估計等內(nèi)容。2.2誤差知識與算法知識玄綣對誤差、相對謀差與有字忑腿估計的基本方法4。算法及計算復雜性2.2.1誤差來源誤差按來源分為模型誤差、觀測誤差、截斷誤差、舍入誤差與傳播誤差五種。其中模型誤差與觀測誤差屬于建模過程中產(chǎn)生的誤差，而截斷誤差、舍入誤差與 傳播誤差屬于研究數(shù)值方法過程中產(chǎn)生的誤差。2.2.2絕對誤差、相對誤差與有效數(shù)字1. ( 1)絕對誤差e指的是精確值與近似值的差值。絕對誤差限：I

4、電1比渾=a+E(2) 相對誤差是指絕對誤差在原數(shù)中所占的比例。e相對誤差：X a_uX a廠或E相對誤差限：即主面"結(jié)論：凡是經(jīng)過四舍五入而得到的近似值， 其絕對誤差不超過該近似值末位 的半個單位。(3) 有效數(shù)字的定義有效數(shù)字的第一種定義：設a是x的近似值，如果a的誤差絕對值不超過x 的第k位小數(shù)的半個單位，即I玄一狂11x107則稱近似值a準確到小數(shù)點后第 k位。從小數(shù)點后的第k位數(shù)字直到最左邊非零數(shù)字之間的所有數(shù)字都叫有效數(shù) 字。有效數(shù)字第二種定義：設數(shù)x的近似值x* = +0.xXa"-x X其中m是整 數(shù)，乳1咒2”是0,1,2，9中的任意數(shù)，但陽M 0 ,若k

5、算*1釵10皿7貝臨*具有k位有效數(shù)字。通過學習總結(jié)出下面幾個結(jié)論:(1) 若a是經(jīng)過四舍五入而得到的近似值，則從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù) 字都是有效數(shù)字。(2) 將任何數(shù)乘以10p (p=0,± 1 ,± 2,)等于移動該數(shù)的小數(shù)點，并不影 響其有效數(shù)字。(3) 有效數(shù)字相同的兩個近似值的絕對誤差不一定相同。(4) 準確值被認為具有無窮多位有效數(shù)字。從有效數(shù)字的定義可以知道，由準確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值， 從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字。2. ( 1)相對誤差與有效數(shù)字的關系:若近似數(shù) 疋= ±QXi驚r "聲E1 X L0E具有n位

6、有效數(shù)字，則其相對誤差1肛巧O'!若近似數(shù)塞* =±0.x洋廠2工,其10的相對誤差X則該II*1+3_近似數(shù)至少具有n位有效數(shù)字。結(jié)論：有效數(shù)字位數(shù)越多，相對誤差越小。(2)絕對誤差與有效數(shù)字的關系:若吐=±2岸工勿個k X 1QE其中m是整數(shù)，應=12”對是0到9中的一個數(shù)字，吐# 0.如果a作為數(shù)x的近似值，且 a具有n位有效數(shù)字，則若& = 士業(yè)巧弧X 10其中m是整數(shù)= 対是0到9中的一個數(shù)字，収如果a作為數(shù)x的近似值，如果|&町iMixityk" (n<fr )則a具有n位有效數(shù)字。結(jié)論：有效數(shù)字位數(shù)越多，絕對誤差越小。2

7、.2.3誤差估計的基本方法1. ( 1)對于一元函數(shù):e(/(a)«rCa)eCa>君fa哄同(2) 二元函數(shù):心詢)志！勢心)dx(f(a,b)f(a,b)xf(a, b)y(b)(3) n元函數(shù):iD£烷)設 = /(&)存在足夠高階的導數(shù)，a是自變量x的近似值，則U = /(a)是 ii = fOc)的近似值。如果f'(町=FMf9鞏町=0,嚴唧何豐6且比值嚴d不是很大,則e/U)恕'f)* 05)嚴出)陽2.算數(shù)運算誤差:E(a + b)= E(a) + E(b)E(ab) |a|c(b) + |b lefa)Ib|2*eW + eW*

8、 b)= la-blEr(ab)用 Ep(b) + E,(a)224算法及計算復雜性在數(shù)值計算中，要注意遵循一些原則，以保證數(shù)值穩(wěn)定性。能控制舍入誤差的傳播。合理安排量級相差懸殊數(shù)間的運算次序，防止大數(shù)將小數(shù)吃掉。避免兩個相近的數(shù)相減。(4)避免接近零的數(shù)做除數(shù)，防止溢出。(5)簡化計算步驟，盡量減少運算次數(shù)。2.3向量范數(shù)與矩陣范數(shù)2.3.1向量范數(shù)1.向量范數(shù)滿足三個條件:(1) 正定性(2) 齊次性(3) 成立三角不等式2.對于R“中的任一向量* =(電吃一兔丁則有1-范數(shù)(列范數(shù))1x111 =叫2-范數(shù)(歐氏范數(shù))IxlbP-范數(shù)llm II玄II = Ih,|p->a3 P1

9、x11.三 m瓷 13. 在空間R口中可以引進各種向量范數(shù)，且它們都滿足下述向量定理:設卜INU是上的任意兩種向量范數(shù)，則存在與向量x無關的數(shù)m和M（0<m<M ,使下列關系成立。也就是說，向量x的某一范數(shù)可以任意?。ù螅r，該向量的其它任意一種 范數(shù)也會任意?。ù螅?32矩陣范數(shù) 1.定義在上的實值函數(shù)1111稱為矩陣范數(shù)，如果對于中任意的矩陣A和B,陣范數(shù)滿足下列條件:非負性齊次性(3)成立三角不等式(4) 相容性2.當一個問題中需要向量范數(shù)和矩陣范數(shù)時，向量范數(shù)和矩陣范數(shù)應該是相容 的。對于給定的向量范數(shù)和矩陣范數(shù)，如果對于任一個x 戌，A扌n，滿足llAxll< l

10、lAllbll，則所給的向量范數(shù)和矩陣范數(shù)是相容的設在R口中給定了一種向量范數(shù)，對任意矩陣，令IIAll = Hl空 llAxll，由此定義的矩陣范數(shù)與給定的向量范數(shù)相容，將這種范數(shù)稱為從屬于所給定的向量范數(shù)的矩陣范數(shù)。3.設口，貝U： 矩陣A的列范數(shù)n=豊囂I致,f矩陣A的譜范數(shù)IIIL = Priu(AAJ矩陣的行范數(shù)n弗羅貝尼烏斯范數(shù)t|劃|日=烹彳口4.設矩陣衛(wèi)e討乂的某種范數(shù)llAli < 1,貝91 + A為非奇異矩陣，并且當這種范數(shù)為算子范數(shù)時，還有 11(1 土 AT II 匚話 成立。本章思考題問題:向量和矩陣有多種范數(shù)，如1范數(shù)、2范數(shù)、X范數(shù)。而作為向量和矩陣“大 小”的度量，為什么要用這么多種范數(shù)來度量，而不是專門指定一種范數(shù)? 個人理解： 1.對于不同向量和矩陣，從運算等方面考慮，某一種或幾種范數(shù)在計算上較為簡單方便； 2.對于不同領域，某一種或者幾種范數(shù)，其應用價值和使用價值更高