曲線積分與曲面積分

1、第七講 曲線積分與曲面積分空間曲線的參數(shù)化若積分曲線r的參數(shù)方程r x = x(t),y = y(t),z = z(t),氓jP,則曲線積分的計(jì)算公式為JPdx + Qdy + Rd H P(x(t), y(t), z(t)x(t)r+ Q(x(t), y(t),z(t)y'(t) + R(x(t), y(t),z(t)z'(t)d Jf(x,y,z)ds= Ff(x(t),y(t),z(t)Jx'2(t) + y2(t) + z2(t)dt，仔僅，打 ar曲線積分計(jì)算的關(guān)鍵是如何將積分曲線r參數(shù)化。下面將給出積分曲線參數(shù)化的某些常用方法。1.設(shè)積分曲線r|G(x，y，

2、z)-0,從中消去某個自變量，例如z，得到r在xoy平面的投影曲線，這些投影曲線常常是園或是橢圓，先將它們表示成參數(shù)方程 X = x(t), y = y(t),然后將它們代入 F (x, y,z) = 0 或 G(x, y,z) = 0 中，解出 z= z(t)由此得到 r的參數(shù)方程：X = x(t),y = y(t),z = z(t), “ G, P。例1將曲線r：xxy ,(其中a >0)用參數(shù)方程表示。解：從r的方程中消去y,得到xoz平面上的投影曲線2x2 + Z2 = a2，這是橢圓,它的參數(shù)方程為X= asint," 0,2兀,將其代入r的方程，得到X =早 cos

3、tV2acost,所以r的參數(shù)方程為：廠石8比"0,"。z = asint2. 若r的方程中含有園、橢圓或球的方程時(shí)，要充分利用園、橢圓或球的所熟知的參數(shù)方程先將其參數(shù)化，再代入 r的另一方程，求出另一變量的參數(shù)表達(dá)式。21將曲線:2（x + y = 2 ay（其中a > 0）用參數(shù)方程表示。解:r在xoy平面的投影曲線為X2十y2 = 2ay ,這是一個圓，先將其參數(shù)化。因?yàn)閄2 +y2 =2ay= x2+（y -a）2=a2,所以它的參數(shù)方程為x = acost22y = a + asint，0,2叮，將其代入z=x+y得2 2 2z= (acost) +(a +

4、 asint) =2a(1+sint), "0,2口X = acost所以r的參數(shù)方程為r： y = a + asint '"o,2兀。2z = 2a (1 + sint)例3對例1加一個條件X > 0，求它的參數(shù)方程。2 2 2 2解：x+y +z =a是球面，引入球坐標(biāo),'x = asin Wcos 日« y = asin護(hù)sin9，日亡0,2江，申亡0,兀z = acos®兀I由于 y= X得 sin = cos = ,(x 色 0) , 故 y =X = asin 屮2as in w,®- 0,兀2z = acos

5、®二、曲線積分的計(jì)算1.注意到曲線積分的被積函數(shù)f（x,y）是定義在積分曲線上的，因此它的自變量應(yīng)滿足積分曲線方程，所以首先可用積分曲線方程L:（X, y） = 0去化簡被積函數(shù)。2.對稱性的應(yīng)用（以第一類平面曲線積分為例）（1）曲線L關(guān)于X軸對稱，是指 珥x,y）r（x,-y）,換句話說，若（x,y）壬L,則它的對稱點(diǎn)（X,-y）- L ；曲線L關(guān)于y軸對稱，是指 珥x,y）N（-x,y）,換句話說，若（x,y）壬L,則它的對稱點(diǎn)（-x,y）- L ；曲線L關(guān)于原點(diǎn)對稱，是指W（X, y） = w（-x,-y），換句話說，若（x,y嚴(yán)L,則它的對稱點(diǎn)（-X,-y）- L ；曲線L關(guān)

6、于直線y二X對稱（或直線y X對稱），是指申（x,y）N（y,x）,（或W（X, y）二珥-y廠X）,換句話說，（x,y）與（y,x）互為對稱點(diǎn)，（x,y）與（-y,-x）互為對稱點(diǎn)。若曲線積分J f （X, y）dS的被積函數(shù)f（X, y）在任意的對稱點(diǎn)處的函數(shù)值互為L相反數(shù)，則ff （x, y）d0 ；在任意的對稱點(diǎn)處函數(shù)值都相等，則LJf（x,y）ds = 2Jf（x,y）ds，其中L1是相應(yīng)對稱積分曲線的一半。LL12 2例 1 計(jì)算（1） J（x 十 X + y ）ds,其中 L： X2 + y2 = a2（aA0）；L2 2 2 222X yX y J2xy + 3x +4y +s

7、i（ + 勺ds,其中 l:匚+專=1,周長為 a。L4343解：（1）由于L關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)X在對稱點(diǎn)處的函數(shù)值互為相反數(shù),所以 Jxds= 0。L由于L關(guān)于直線y = X對稱，函數(shù)/ - y2在對稱點(diǎn)處互為相反數(shù)，所以2 2 2 2J（x - y ）ds = 0,即 Jxds= Jy ds，從而有LLLJx2ds = - J（x2 中 y2）ds = - /a2ds =兀a3L2l2l由于L的參數(shù)方程為x=acos日,y = sin日,0 "0,2兀，所以42 兀 44 /22225 2兀45 兀 4f y ds= fa sin 日 Jacos 日+ a sin 日 d日=

8、a fsin 日d日=2a fsin 日d日J(rèn)0臨0L=2a5 3缺a5佝品皿5君專號a522 222X y(2) f2xy + 3x +4y +sin (+ )dsL4322.2=【2xyds + 12j(牛 + 勺+ sin% (弓LL 431241= 0 + 121(1 + si n 兀)ds = 12aL 122+ "s其中L關(guān)于x軸對稱，且2xy在對稱點(diǎn)處的值互為相反數(shù)，所以.dxyds 0 .Ley-x例2設(shè)心滬00囂T，求弧長的曲線積分；f(x'y)ds，其中L為正方形|x| + |yF1的邊界。解：如圖 Jf(x,y)ds =LJey-xds，由于折線ABEF

9、G對關(guān)于直線y = -x對稱，且在ABEFG對稱點(diǎn)上有f (x, y) = f (-y,-X)，所以Jf(x,y)ds=2 Jey-xds = 2( Jey-xds+ Jey-xds)LABEABBEAB : X X , X ¥,1, Jey-xds = J； e1-2x72dx = (e-1 -1)； ly = jx2 AB22BE J X"X , xq-1,。, Jey-Xds= J；e72dx = e, ly=1+x2 BE三2原式=2 Jey-xds = 2( Jey-xds+ Jey-xds) = 72(e + e-1 -1)。ABEABBE例 3 計(jì)算 q(j2

10、y2+z2 +y2)ds ,其中 r：rI2,2,2 2!x+y+ z=a/“,(a > 0)。一 y = X解：(1)由于在r上y = x ,所以q(j2y2 +z2 + y2)ds = q( Jx2 + y2 + z2 + y2)ds =J Ja2ds+ q y2ds = 2兀a +q y2dsrrrrraa由例1的參數(shù)方程為r： xpcost，yp沁Z"sint"0K,則兀a322 兀 a2 I a2 a22 a 2 兀 2qyds= t (石cost) (厲cost)' +(石cost)* +(asintdt J。cos tdt =所以 q(j2y2

11、+z2 +y2)ds = 2殆2 +ya3。 r23. 格林公式的應(yīng)用qP(x,y)dx+Q(x,y)dy =仃(竺-仝)dxdyLD馭勿(1) 若積分曲線不是封閉，則可添加若干條直線(或曲線)使之構(gòu)成封閉曲線,再應(yīng)用格林公式;若封閉曲線L所圍成的區(qū)域D內(nèi)有“奇點(diǎn)，則在奇點(diǎn)外成立等式CX cy的條件下，有 qP(X, y)clx+Q(x,y)dy = qP(x,y)dx + Q(x, y)dy 成立，其中 LLF是圍繞奇點(diǎn)的正向簡單閉曲線，通常是園或橢圓等。例1設(shè)D =(x,y),0Wx<1,0蘭1,記L為它的正向邊界曲線。證明:, siny .-sinx . -siny .sinx .

12、* -q xe dy - ye dx =寸 xe dy - ye dx 2LL證：由格林公式得rz -siny r z sinx、qxesinydy - yesinxdx =川叱 )yedxdy =川(e-siny + esinx)dxdyLD°X勺Dr r r/ -sinx , sinx、.r r / -sinx sinx .,=JJ(e+e )dxdy3 2jWe e dxdy = 2DD其中Uesinxdxdy = Uesinydxdy ,是由于D是關(guān)于直線 廠x對稱，即DDJJ f(X, y)db = f (y,x)dcr。同理可證 qxesinydy - ye-sinxdx

13、 > 2。兩積分相等可由格林DDL公式得出。例2計(jì)算?冷，其中L是以(1,0)為中心Rg)為半徑的正向圓周。X- yc(2 )22 c( 2 )解：首先驗(yàn)證4X +y = -4X 蔦2= 4X +y 成立。ex(4x +y )點(diǎn)y由于在L為邊界的閉區(qū)域D內(nèi)， ry 2有不連續(xù)點(diǎn)(0,0)，因此在4x + y 4x + yD內(nèi)部作正向閉曲線L名：4x2+y2=/，其中E充分小，所以炸斧卩討哈嚴(yán)ydx令怦=2例3.已知關(guān)于坐標(biāo)的曲線積分僥晉訕常數(shù))，其中函數(shù)護(hù)(X)可導(dǎo)，且1 )函數(shù)®(X)的表達(dá)式;9(1) =1, L是圍繞(0,0)的任一分段光滑正向閉曲線，求(2) A的值。解

14、：(1)為了應(yīng)用格林公式求出®(x)，先計(jì)算對于任一不包含原點(diǎn)的分段光滑 的正向閉曲線C都有佬晉=0 (因?yàn)?#174;(x)未知，所以原點(diǎn)有可能為被積函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn))如圖:xdy - ydx xdy - ydx 十 xdy - ydx _ h(x)+y2 Jhg + y2Am/P(xr y2A冷-a*=A»0®(x)+y2成立，即驗(yàn)(二 2) 由此可知對(x,y)H(0,0)有 (X) y(X)+ y2 -X®(x) = -®(x) + y2，解此微分方程得 ®(x)=Cx2，由于 (1)=1,所以 C=1所求的叫X)=X2。(2)

15、取 L1 為正向圓周 X2 +y2 =1，則 A = q xdy - ydx = xdy - ydx = 2 仃 dxdy =2兀。 r(X) + y qx2 書204. 利用曲線積分來計(jì)算曲面的面積(1 )柱面Ii： F(x,y)=0被曲面工：z=z(x,y)截下部分的面積。計(jì)算公式為S= Jz(x,y)ds，其中F(x,y)=0在xoy面上的投影曲線.C33求柱面x2+y2 =1位于球面x2+y2+z2=1之內(nèi)的側(cè)面工的面積S。解:由于關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，所以S=8S0(S)是S位于第一卦限部分的面積)由對弧長的曲線積分的幾何意義，知道S0 = jjl -X2 -y2ds = r Jl

16、-(cos3t)2 -(Sin3t)2 (cos3/ -(sin3ty2dtC丑,=0v3cos2tsin2t 3costsintdt =33兀2 cos2*02L 匹 2433tsin td，3奴02(sin t-sin 則二石兀所以S=8S0普兀(2) 由坐標(biāo)面上的平面曲線繞某軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積。例如yoz平面上的曲線C: Z = f (y)(a蘭y蘭b)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積計(jì)算公式為S=2兀JI f(y)|dsC例2設(shè)01：X2中y2中z2=1，Q2：X2+y2+z2蘭2z，求01的表面位于02內(nèi)部分的工的面積。解：如圖：01的表面位于O2內(nèi)部分的曲面工可以看成

17、是由AB繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)的側(cè)面，AB:y = J1-z2 (f <z")，所以S =2 兀 J| f (y)|ds =2 兀 £ J1 z2ds = 2 兀丿1 - z21 + y；2dzC22=2兀 H J1 - z、”十z_ dz = 2兀 1 dz =兀.21-z2三、曲面積分的計(jì)算1.第一類曲面積分fff（x,y,z）dS的對稱性I（1）曲面I：關(guān)于xoy平面對稱，是指若（x,y,z）-i:,則它關(guān)于xoy平面的對稱點(diǎn)（x,y,-z）T ；曲面關(guān)于原點(diǎn)對稱，是指（x,y,z）- I,則它的對稱點(diǎn)（-X,-y,-z）-E ； 曲面工關(guān)于平面y = x對稱

18、，是指（x,y,z）-.則它的對稱點(diǎn)（y,x,z）-工；若被積函數(shù)f（X, y,z）的在對稱點(diǎn)處的函數(shù)值互為相反數(shù)，則仃f（x,y,z）ds=o；在對稱點(diǎn)處函數(shù)值相等，則II f（x,y,z）df（x,y,z）dS，I工s其中夏1是相應(yīng)對稱積分曲面的一半。例1求下列曲面積分(1) ff(x JJ(x + y + z+ 1)2dS = JJ(x2 +y2 +z2 + 1)dS +2jj(x( y+z+ 1)dS 昱丫£+ 2Uy(z + 1)dS +2UzdS +y2 + z2)dS，其中 $1： X2 + y2+z2=2Rz ；(2) JJ(x + y+z+ 1)2dS，其中工 2：

19、 X2 + y2 +z2=R2(z>0)；解: ( 1) U(x2 +y2 +z2)ds= Jj2RzdS=2RU(z-R)dS + 2RjjRdS葢SLZ由于E1關(guān)于平面Z - R對稱,且函數(shù)Z - R在對稱點(diǎn)處的值互為相反數(shù)，故U(z-R)dS= 0，所以 U(x2 +y2 + zjdS =2r2 JJdS = 2R2 4ir2 =8 兀 R打(x2 +y2 +z2 + 1)dS= U(r2 +1)dS = (R2 +1) 2tR2R2(R2 +1)。III川x(y+z+1)dS=0, y(z+1)dS=0,JJzdS= JJ Jr2 -x2 -y2(1 + zj+z2dxdy =

20、R JJdxdy =；iR3 雖X2#/2X2刊2色2故 ff(x +y + z+1)2dS=2；rR2(R2 +1) +2兀R3.雖2.第二類曲面積分JJR(x,y,z)dxdy的對稱性及高斯公式I(1)設(shè)曲面邑關(guān)于xoy平面對稱，若被積函數(shù)R(x, y, z)的在對稱點(diǎn)處的函數(shù)值互為相反數(shù)，則；R(x,y,z)dxd 2n R(x,y,z)dxdy ；在對稱點(diǎn)處函數(shù) 工E值相等，則JJR(x, y, z)dxdy =0，其中工1是相應(yīng)對稱積分曲面的一半。1若x與y互換，工的方程及側(cè)不變，則JJQ(x,y,z)dzdx = JJQ(y,x,z)dydz， JJP(x, y, z)dydz =

21、 JJP(y,x,z)dzdxI1II若x與z互換，工的方程及側(cè)不變，則JjP(x, y,z)dydz = JJ P(乙 y, x)dxdy， JjQ(x, y, z)dzdx = JjQ(z, y, x)dzdxIIII(2)當(dāng)工不是閉曲面時(shí)，適當(dāng)添上一塊外側(cè)曲面工1,使得工+工1組成閉曲面(所圍成的閉區(qū)域?yàn)? )，于是高斯公式為cP cQ cRffPdydz + Qdzdx + Rdxdy =川(一 + + )dv - ffPdydz + Qdzdx + Rdxdy IQ泳科 EzL(3) 當(dāng)F是外側(cè)閉曲面，0是它所圍的閉區(qū)域， ，在0的內(nèi)部有 ex 列 cz不連續(xù)點(diǎn)P (xo,yo,zo

22、)時(shí)，可以作位于。內(nèi)部的外側(cè)閉曲面 匚,將點(diǎn)P(xo,yo,zo)包圍 起來，這個閉曲面5常常是小球面、小橢球面，于是高斯公式為JJP dydz +Qdzdx +Rdxdy = JJP dydz +Qdzdx + Rdxd y + JJP dydz +Qdzdx + Rdxdy I矗-S點(diǎn) P cQ cR=川(一 + + )dv+ ff Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Q次卸在i當(dāng)在。上除點(diǎn)叫心。）外處處有&牛牛。時(shí),ff P dydz + Qdzdx + Rdxdy = J J P dydz + Qdzdx + Rdxdy23(4x2 +4y2 +z2)2解：I = fj

23、xdydydzdzdxdyJJxdydz +ydzdx +zdxdy工/八2+八2+/'28 I3(4x2 +4y2 +z2)2例2心jjxdydz + ydzdx+zdxdy,其中工是上半橢球面X2 +y2 +- =1的外側(cè)。y 222 二4由于x與y互換，夏的方程及側(cè)不變，且工關(guān)于yoz平面對稱，且被積函數(shù)在對稱點(diǎn)處的值互為相反數(shù)，所以ff xdydz + ydzdx + zdxdy =2 JJ xdydz + ff zdxdy =4 J J xdydz + J J zdxdy iI i s i其中工1是工的x>0部分，前側(cè)，Dyz是工1在yoz平面上的投影）4 (橢球 X2

24、 + y291的體積）=£""亠rJJzdxdy =2 Jjj1 -x2 -yIDxy2dxdy= 2（上半球體X2 + y2 + Z2蘭1的體積）="4兀。故原式1冷中烽）送.例3.計(jì)算曲面積分=HYxcos xdydz +12 dzdx dxdycos yzcos z其中F是球面X2 +y2 +z2=1的外側(cè)。解：由于邑關(guān)于xoy平面對稱，函數(shù)-在對稱點(diǎn)處的值相等，所以cos yJJ廠dzdx=o。當(dāng)x與y互換時(shí)，工的方程及側(cè)不變，所以 嚴(yán)OS y2 12 111 = xco贏dydz g莎?zdxdy pzcos2zdxdy £融2dxd

25、y= g 茹zdxdy1dxdy22=2Er歹6心宀嚴(yán)：x+y m2兀1rdr=20d"cos272=5 仙1其中邑1： z=ji-x-y是邑的z>o的部分，且在對稱點(diǎn)處的值互為相反ZCOS z數(shù)，所以有JJ工1q 2 dxdy=2 f f dxdy。V zcoszy zcosz2例4計(jì)算I =JJ竺芋異理,其中I：是柱面x2 + y2=R2及兩平面z=R,z = -RIx2+y2+z所圍立體0表面的外側(cè)。解：邑是外側(cè)曲面，但原點(diǎn)。在內(nèi)部,2x2+：2+z2，x2+：2+z2 都不連續(xù)，從而不能應(yīng)用高斯公式。工關(guān)于xoy平面對稱,2z22 2x +y +z2在對稱點(diǎn)處的值相等，所以口 2zdxdy 2=0.工 X +y +z于是口 xdydz口 xdydz 口 xdydz爼 x+y+z荃 x+y+z 冥 x+y+z其中糾：z = R，工2： z=-R，壬3： x2+y2=R2，由積分性質(zhì)，有由于邑3關(guān)yoz平面對稱,xdydzx2