概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式集錦

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式集錦一、隨機(jī)事件與概率公式名稱(chēng)公式表達(dá)式德摩根公式aUb = a" B，TB = aU B古典概型m A包含的基本事件數(shù)P （A）n基本事件總數(shù)幾何概型p（a）= A），其中卩為幾何度量（長(zhǎng)度、面積、體積）求逆公式P (A) =1 - P(A)加法公式P(A U B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng) P(AB) = 0 時(shí)，P(A U B)=P(A)+P(B)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB), B U A 時(shí) P(A-B)=P(A)-P(B)條件概率公式與乘法公式P 倒厲=¥(好P(AB)= P(A)P (B|A) = P(B)P (AB)P

2、 (ABC) = P(A)P (B|A) P(C|AB)全概率公式nP(A)=送 P (Bi) P(A|Bi)i zt貝葉斯公式（逆概率公 式）,P(Bi)P(AlBi)P(Bi|A)_ni' iZ P(Bi)P(A|Bi)i 二兩個(gè)事件相互獨(dú)立P(AB) =P(A)P(B) ； P(b|a)= P(B) ; P(Ba) = P(耳入;二、隨機(jī)變量及其分布1、分布函數(shù)p(x =兀)F(x) = P(X <x) =/-, P(a<X <b) =F(b) F(a)I xlLcf(t)dt2、離散型隨機(jī)變量及其分布分布名稱(chēng)分布律0 -1分布X Lb(l,p)k1 _kP(X

3、 =k) = p (1-p) , k =0,1二項(xiàng)分布P(X =k) =cn pk(1- p)z, k =0,1，,nX 匚 b(n, p)泊松分布-kP(X =k)=人 e卞 k =0,1,2, IIIX P 仏)k!小3、續(xù)型隨機(jī)變量及其分布分布名稱(chēng)密度函數(shù)分布函數(shù)均勻分布X Lu（a,b）1,a ex cbf (x) = b-a0,其他r 0,X calx aF(X)=2,a <x cbb -a1,X >b分布名稱(chēng)密度函數(shù)分布函數(shù)指數(shù)分布xL e 仏）1 Ze, x> 0f (x)詔0,x< 0p, x>0 F (x) 0,x< 0正態(tài)分布xL N(4

4、,b2)1f/y、一n2 CT1 x卓C / w _ .rc 2fy H +T (x 丿一 e7V2兀b一處 < X < XcF ( x) 一J e 7 d tvZjicj-皿標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X】N（0,1）1x2x )=e 丁一處< X < +處不1XJt2(x)= f e 2 dt J 2兀y4、隨機(jī)變量函數(shù) Y=g（x）的分布離散型：P (Y=yi)=S p j,i =1,2,111，g(Xj)=y連續(xù)型：分布函數(shù)法，公式法fY(y) = fx(h(y) Z(y)(x = h(y)單調(diào))三、多維隨機(jī)變量及其分布1、離散型二維隨機(jī)變量及其分布分布律：P(X =Xi,Y

5、=yj) =p ij ,i, j =1,2, III 分布函數(shù) F(X,Y) =2 Z Pj邊緣分布律：Pi ”=p(X =x) =2 PijPj =P(Y =yj)Pijj i條件分布律:P(X=x|y =yj) =_,i=1,2,111,P(Y=yj |x =Xi)=旦，j=1,2,111PtPi .2、連續(xù)型二維隨機(jī)變量及其分布 聯(lián)合分布函數(shù)及性質(zhì)y分布函數(shù)：F (x, y) = f f f (u , v)dudv =P (X<=x,Y<=y )性質(zhì)：P(x,y)P=GJf(x,y)dxdy 邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)x -be-be分布函數(shù)：Fx(x) = r r f (u

6、, v) dvdu 密度函數(shù)：fx(x)=f f (x,v)dv-befY(y) tf(u，y)duy 咼Fy (y) = f f f (u,v)dudv 條件概率密度f(wàn)x(x)fY|x(y|x)wy， fx|Y(xy) =fxy)，qvxc+zi3、隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立二F(x,y) =Fx(x)FY(y)，離散型：Pij =Pi.P.j ，連續(xù)型：f(x,y) =fx(x)fY(y) 4、二維隨機(jī)變量和函數(shù)的分布離散型： p (z =Zk)=送 P(x =x,Y =yj)Xi 中j zzk連續(xù)型：f z (z) = J* f (x,z - x)dx = J* f (z -

7、 y，y)dy四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望定義：離散型E(X弋xkPk，連續(xù)型E(X)=JJ(x)dx性質(zhì)：E(C) =C, EE(X) =E(X)，E(CX)=CE(X)，E(X ±Y) =E(X)±E(Y)E(aX ±b)=aE(X)±b，當(dāng) X、Y 相互獨(dú)立時(shí)： E(XY) =E(X)E(Y) 2、方差定義： D(X) =E(X -E(X)2 =E(X2)-E2(X)性質(zhì)：D(C) =0 , D(aX ±b) =a2D(X)， D(X ±Y) = D(X) +D(Y) ±2Cov(X,Y)當(dāng) X、Y 相互獨(dú)立時(shí)：

8、D(X ±Y)=D(X)+D(Y) 3、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 協(xié)方差：Cov(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y)，當(dāng) X、Y 相互獨(dú)立時(shí)：Cov(X,Y) =0相關(guān)系數(shù)： p - CoWX")，當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí)：Pxy=0(X,Y不相關(guān)) XY jDRJDY)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：Cov(X,X) = D(X)，Cov(X,Y) =Cov(Y,X)Cov(Xi +X2,Y) =Cov(Xi,Y) +Cov(X2,Y) , Cov(aX +GbY+d) =abCov(X,Y)4、常見(jiàn)隨機(jī)變量分布的數(shù)學(xué)期望和方差分布數(shù)學(xué)期望方差0-1 分布 b(1, P)PP(1- P)

9、二項(xiàng)分布b(n, P)npnp (1- P)泊松分布P(X)ZZ均勻分布U(a,b)a +b(b-a)2212正態(tài)分布N (卩,b2)kc 2指數(shù)分布*)丄1 2AA五、大數(shù)定律與中心極限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) =4,D(X) =cr2,對(duì)于任意& >0有 P|X E(X)| >$ <衛(wèi)兇2、大數(shù)定律： 切比雪夫大數(shù)定律：若 X1Xn相互獨(dú)立,1 n 1 nEKTdMT2 且X “，則：亠二送 EW) 伯努利大數(shù)定律：設(shè)nA是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)，P是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率y PS >0，有：lim P1 n辛欽大數(shù)定律：若X1,川

10、，Xn獨(dú)立同分布，且E ( Xi )=4，則-Z Xi±43、中心極限定理列維一林德伯格中心極限定理：獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Xi (i =1,2,川)，均值為卩，方差為 c >0，當(dāng) n 充分大時(shí)有：Yn =(!； Xk _二 N(0,1)棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理：隨機(jī)變量XB(n, p)，則對(duì)任意x有:t2X"nP <x “ "dO(x)1叫2胚lim P ,FJnp (1 p)近似計(jì)算：P(a <送xk <b)止(匕$)(竺芝)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式整理1、總體和樣本的分布函數(shù)n設(shè)總體XL F(x)，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù) F(X1,X2

11、Xn) =n F(Xk)2、統(tǒng)計(jì)量1 2 1 2樣本均值：X =-E Xi，樣本方差：s2=送(Xi X)2 n ； “n 7 i二二送(Xi2-nX2) ni y樣本標(biāo)準(zhǔn)差：，樣本k階原點(diǎn)距:i 二樣本k階中心距：Bk =丄送(Xi X)k,k =1,2,3山n y三大抽樣分布(1)卩分布：設(shè)隨機(jī)變量X j L N (O,1) (i = 1,2川I, n)且相互獨(dú)立，則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量= xj+X2屮"Xj服從自由度為n的X2分布，記為Z2Z" n)性質(zhì)：E/2(n) = n,D'/2(n) =2n 設(shè)X/rm'Y尸(n)且相互 獨(dú)立，則X 秤/2(m +n)t分

12、布：設(shè)隨機(jī)變量 XN(O,1),Y/2(n)，且 X與丫獨(dú)立，則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量:自由度為n的t分布，記為T(mén)t(n)nd性質(zhì)： E(T)=0 (n >1),D(T(n >2) |仁g =®(x)=為 e2x2"F分布：設(shè)隨機(jī)變量 X72(m),Y尸(n)，且X與Y獨(dú)立，則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量F(m,門(mén))=三畀服Y/n從第一自由度為 m，第二自由度為n的F分布，記為FF (m, n)，性質(zhì):設(shè) F F(m, n),則 F（n,m）七、參數(shù)估計(jì)1.參數(shù)估計(jì)A定義：用0（X1,X2,L ,Xn）估計(jì)總體參數(shù)A9,稱(chēng)9 （X1,X2,L ,Xn）為0的估計(jì)量，相應(yīng)的6（x,X2，卅,Xn）

13、為總體8的估計(jì)值。當(dāng)總體是正態(tài)分布時(shí)，未知參數(shù)的矩估計(jì)值=未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值2.點(diǎn)估計(jì)中的矩估計(jì)法:基本思想：用樣本矩來(lái)估計(jì)相應(yīng)的總體矩求法步驟：設(shè)總體X的分布中包含有未知參數(shù)日1,2,川，它的前k階原點(diǎn)日1,日2川,，矩片-E&ki =1,2,川,k）中包含了未知參數(shù)即R =gi（q,&2,川,6）（! =1,2,|）|,k）；又設(shè)Xi,X2,L ,Xn為總體X的n個(gè)樣本值，用樣本矩代替片，在所建立的方程組中解出的k個(gè)未知參數(shù)即為參數(shù) q,£2H,s的矩估計(jì)量注意：分布中有幾個(gè)未知參數(shù)，就求到幾階矩。3. 點(diǎn)估計(jì)中的極大似然估計(jì)設(shè)X1,X2,L Xn取自X的樣

14、本，設(shè)Xf（x,£）或X - P（x,日），求法步驟:nn似然函數(shù)：L（日）=n f （Xi）（連續(xù)型）或L（日）=n P（Xi,日）（離散型）i =1irnnn取對(duì)數(shù)：In L（巧=S In f （Xi,巧 或 In L（巧=2 In pi（x ,日）i =1i =1E cIn L c ,cin L 解方程：=0丄,.L. C.L- Ceg少kA A日1 =£l(X1,X2，川，Xn)=0,解得：illlil! A AM =6(Xi，X2，川，Xn)4.估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)估無(wú)偏性A AA設(shè)£= 0(Xi,X2,L ,Xn)為未知參數(shù)9的估計(jì)量。若E(日)=8，計(jì)則

15、稱(chēng) $為0的無(wú)偏估計(jì)量。量有效性AAAA設(shè) 01 =8l(Xi, X2,L , Xn)和 0 2 =82(X1,X2丄,Xn)是未知參數(shù)的AAAA0的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。 若D(d) V D2)，則稱(chēng)01比02有效。評(píng)AA設(shè)直n是日的一串估計(jì)量，如寸名 0，有JimP( l&n£ |名)一0價(jià)一致性A則稱(chēng)9 n為0的一致估計(jì)量(或相合估計(jì)量)。標(biāo)準(zhǔn)5.單正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間條件估計(jì)參數(shù)樞軸量樞軸量分布置信水平為1-a的置信區(qū)間已知kN(0,1)(b -b '(x皺yn,x色7；丿未知c2kTS/需t(n-1)卜卅T忌匸+妙T空已知CT2Z2 _丈伏-町 £ C

16、T丿/2(n)f nnrS (Xi A)2 s (Xi A)2i總! -Qn) y)<J未知22¥(n -i)Sf =2cX2( ni)1 (n _i)S2 (n _i)S2C八、假設(shè)檢1.假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念基本假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想是小概率原理。思想小概率事件的概率就是顯著性水平a,常取a=0.05 , o.oi或o.io。提出原假設(shè) Ho；選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 g(X1,L ,Xn)；對(duì)于a查表找基本分位數(shù)入，使P(g(Xi丄,Xn)己W) =a，從而定出拒絕域 W；步驟由樣本觀測(cè)值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量實(shí)測(cè)值g(Xi|(,Xn)；并作出判斷：當(dāng)實(shí)測(cè)值落入 W時(shí)拒絕Ho,否則認(rèn)為接受 Ho。當(dāng)H

17、o為真時(shí)，而樣本值卻落入了拒絕域，應(yīng)當(dāng)否定Ho。這第一類(lèi)時(shí)，我們把客觀上 Ho成立判為Ho為不成立(即否定了真實(shí)錯(cuò)誤的假設(shè))，稱(chēng)這種錯(cuò)誤為“棄真錯(cuò)誤”或第一類(lèi)錯(cuò)誤，記a為犯此類(lèi)錯(cuò)誤的概率，即:P拒絕Ho|Ho為真= a ；當(dāng)Hi為真時(shí)，而樣本值卻落入了接受域，應(yīng)接受Ho。這時(shí),兩類(lèi)錯(cuò)誤第二類(lèi)錯(cuò)誤我們把客觀上Ho不成立判為Ho成立(即接受了不真實(shí)的假設(shè))，稱(chēng)這種錯(cuò)誤為“取偽錯(cuò)誤”或第二類(lèi)錯(cuò)誤，記此類(lèi)錯(cuò)誤的概率，即：P接受Ho|Hi為真= P 。兩類(lèi)錯(cuò)人們當(dāng)然希望犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率同時(shí)都很小。但是，當(dāng)誤的關(guān)容量n 定時(shí)，a變小，則P變大；相反地，P變小，則a變大。取定a要想使P變小，則必須增加樣本容量。2.單正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)條件原假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量分布拒絕域已知CT 2Ho： 4=%z-X-% b A/nN(o,1)H0：4<%z>ZaH0：4>%zw-%2未知bHo：%T - X