曲面及其方程

1、曲面及其方程常用二次曲面的方程及其圖形1、球面設P0(X0,y0,Z0是球心，R是半徑，Fpx, y, z是球面上任一點，貝U PoP =R，即2 2 2 2(X X0 ) + (y y。)+ (zZ0) =RX 2.2 務=1，(單)z7_ ca +y2 + z2 = R22 2 22、橢球面務+篤+二=1 a b c3、旋轉曲面設L是x0z平面上一條曲線;?00，L繞z旋轉一周所得旋(0,0,z 0)轉曲面：f(± Jx2 +y2 ,z)= 0(xo，yo,o)(x,y,z)/2 2 2X0+y +(zZ0)=Jx2 +y2, z=Z0X0=±Jx2+y2 Z0 =z代

2、入方程f(x,z)=0得 f(± Jx2 +y2 ,z)= 0例 1、Z = X2 +yz =a(x2+ y2 )稱為旋轉拋物面旋轉雙曲面:2 2x +y2a4、橢圓拋物面2 2Z = ax + by ab > 05、單葉雙曲面6、雙葉雙曲面2 222, 22'a b c2 22丄丄2, 22'a b c7、二次錐面2 2 2x 丄 y z c + 丄=02. 22 Ua b c圓錐面2 2.2 2 2,. 2 z = X + yz = ax 十 by8、柱面拋物柱面2y = ax(a A 0)橢圓柱面X2y22 中2 二1 ab圓柱面x2 +y2 =r2多元函

3、數微分學10二元函數及其極限與連續(xù)1、Z = f（x, y，定義域為平面上某一個平面域2、例幾何上z = f（X, y ）為空間一張曲面。二元函數極限討論函數1、4x2y4f(X, y )= t (y4 + x2I 0X2 +y2 HOX2 +y2在（0,0）極限是否存=0在。解:,244x ylim 虧=lim2X(y4 +x2 2 t(k4x4 +x2)4x2、K4x4,1/2 24K x=lim = 0T (x2K4 +1 $444lim y 匕2 = 4f(x y )在(0,0)極限不存在.：?(yF423、連續(xù)20多元函數的偏導數與全微分1、偏導數定義:z =f（X, y ）在點（X

4、0,y0處對X的偏導數,<zX之0 ,x=x0 ,p Zxexy書0ex80記作:xo ,gofi'(Xo,yo )即:同理:+ Ax, yo )f(xo, y。)fy'(X0,y0)pmfX0，y0+3)fX0，y0)fx：fy'在(X0, yo 存在，稱 z=f(x,y)在(X0,y0 可導。例1、z= xy,求dzcx<z點；解垃y J=yx冬=xylnx 點y例 2、設 z =(y-1)/l+ x2sin(x,y)+x3,求 zX(2,1)解：z(x,1)=x3, z；(2,1)=警X/ i22、高階偏導數62z _2 exVex )蘭住=fXX(x

5、, y )=zXX=f;2czf' NNxy = z xyer_"yx厶；cycxox 5 丿yxJyxc (cz'I 今匕y丿fx；,fy；,連續(xù)，則 fXy =fy：3、全微分女口比Z=f(X+&,y+ Ay) f (xy )= Ax+ Biy+o( p)z =f(X, y )在(X, y 可微全微分dz=fdx +竺 dy<x列偏導數exf/可導I連續(xù)-可微連續(xù)例 3、設 u(x, y ) = Xny+ ylnx -1 貝U du = flny + -冷x + 倍 + Inx dy< X)V；丿例 4、由方程 xyz + Jx2 +y2 +

6、z2 = 42確定 z =z(x, y 在點(1,0,T )全微分 dz = dx - V2dy3°復合函數微分法定理：v = v ( x, y ) z = f ( u, v ) = F ( x, y )z = f (u, v) u = u ( x, y.)£u +cvexdv exczcfcycucucfcv+ Tcv ex例5、設z = ( 1 + x22 Xy+ y )+czcz求excyczcx=(1 +x2 +y2)xy yin(1 +x22+y2)+1+2：y 21 + x +ycz點y=(1 +x2 +y2)xy xln(1 +x2解 z =f(x2+y2,x

7、y ), y=X + W(xz =f(2x2 +2x®(x )+W2(x ),x2 +x®(x)=f(u ,v)=F(x )說 汙 4x+2半(X)+2xA(x)+2®(x)A(x)】+蘭 2xZ(x)+x佇X) cv2x + (X)+x0(x) + ®(x) 0(x)】+ bx + (X)+xW(x)】dvexcucu例7、z=y2 +f (x2 -y2 )，其中 f (u 河微，則y 竺 + =2 xyf '(u )-2yf '(u )+2y&cyxcz例 8、z=x®(p),®(u)可微，則 2+yczy

8、 丁 =狂excy例9、設zf+），求證1 &丄 1十X xy dyz2y證：令 x2 -y2=uyf(u)程-2 xyf ( u )czcXf2(u)2y2f ( u )f(u)f2(u)1 cz-2yf (u)f2(u)2yf (u)y f( u ) yyf(u)f2(u)例 10、設 z = f (2x y )+g(x ,xy )，其中 f(t 匚階可導，g(u , v)具有二階連續(xù)偏導數。C2z解:cz=f (t) Q+g： +gV yc2zcxcy=2f (t)1) +gu' Q +g：v議 +gv +ygju p + gCv例11、設=-2f (t) +xguV +

9、g:中xygftvv-.2,試將方程r2cX=0變換成以為自變量的方程，其中函數z具有二階連續(xù)偏導數。解:czcu：=T十cz cvexcu excv excvX2c2z2y czrcv<x<vI2L、_cvexFz Wul 2y czc2zc2zexey<vrL、2cvc Z ycerrdycveu cy2 Xc2zyexeyCLccveu ex2 I 宀 rX cum21 X cvX3 cvcucvcv-2y2 c2zy2 c2zcvX2cv2 f LX eveX3 cv2y czC2zcvcveu2<vXX&22X=022X于是方程變?yōu)椋?竺_u 空 =0

10、cv ZU 點 V4°隱函數求導F(x.y.z)=0 確定了 Z =z(x.y )(1)方程兩邊同時對x求導，注意Z =z(x.y )，可求得ex方程兩邊同時對y求導，注意Z =z(x.y )，可求得cz利用公式IF； jz=_F(3)兩邊微分用(2)，(3)需具體方程給出，容易 例12、設Z =z(x.y )由方程ey 2z +ez = 0，求皀ex解法一、在方程兩邊對x求導，注意Z =z(x.y )_xy亠 c &丄z氏 cCZ-ye-ye -2+e =0=-ex02 - e解法二、設 F =(x.y.z)=e-2z + ez& _ 氏 _ -yry cxFZ _

11、-2+eZ解法三、在方程兩邊微分d(e6 2z +ez )= 0dfe 刊)d(2z )+d(eZ )=0eiyd(xy )-2dz+eZdz=0-ey xdy +ydx 2dz +eZdz =0即 dz¥ez-xy_xg 円dx + 占 dy空 _ yefy&2-eZrryz-xeKZcy2- e例13、設z =z(x.y )由方程x2+y2+z2=xf確定，其中f可lx丿cZr-2y2z14、已知方程X =ln定義了z =z(x.y )，求c2zex解:X = zln z-z In yczFx-1exFz1 +ln z I nyX +z（或方程兩邊對x求導，注意= z(x

12、.y )在方程dzex（X +z ）=z兩邊對x求導,z = z(x.y)c2z&2(X +z)+絲(1 +ex Iczc2zex2在(1)法二:ex丿exs2Ux丿X +z式兩邊對c2zIx+z 丿x+zx求導czexex-2心z&2(x+z3(X +z )z 1 +z -z例15、設u（X1czex(x+z)2(X +y)z2(x+z)3f -cz2xz -z(z+xf= f(x.y.z )，(x2.ey.z)=0，y =sin X，其中f，都具pcpdz有一階連續(xù)偏導數，且一工0，求 一czdx解: dx竺+iLcosx +色空=0ex dy況 dx=(x2 ,esin

13、x,z）=0，兩邊對xcUeVdz” +=0cUex氷遼exc®2x +汐si nxczecosx+cUCVczexcz汐2xsi nx0=1+e cosx1exIduczdu汙丄cf.cf二z +cosx十/dxexczcz=0”2x在求導,a2sin xu = X v = e汐 sinx一e c o s x+cv5°二元函數的極值、最值1極值定義f （x、y ）蘭f 仗0、y。）f(xo、y0為極大值f (x、y )>f (x0、y0f（X0、y0為極小值f （x、y在（x0、y0有極限值jfx（x0、y0）=0f；（x0、y0）= 0駐點1極值點，需判別設 fx

14、x &0、y0）=A、fxy（x0、y0）=B、fyy&0、y0）=CB2 -ACf &0、y0)< 0A < 0極大值A > 0極小值> 0非極值=0不定例16、求z =x3 +y3 -3xy的極值 解：f； =3x2 -3y , fy =3y2 -3x , f； =6x ,口 =-3，fy： =6y令陽T樣】豐04T y -y =0y = 0y =1得駐點(0,0) , 1,1)在(0,0) ,-AC f(0 , 0 )非極值Q(1,1) , B -AC護廠(-32 -36 <0（1,1 ）為極值點=6 A0 二 f (1 , 1 )=

15、-1 為極小值 f，1)Q例 17、求 z = x y(5 X y )在閉區(qū)域 D: x >0 ,y >0 ,X +y <4的最大，最小值。解：fX =xy(10-3x -2y ) , f； = x?(5-x -2y )令 Jxy(10-3x-2y)=0 V I x2(5 -X -2y )=0（在D內）在D的內部函數只有一個駐點5X =一255625f ，=124 丿 64在邊界X =0，f =0在 x+y=4， z=x2(4-x一4 +x )= X2(4 x )= 4x2 -X3dz2=8x-3x =0 dx(84256z I -,丨=133 丿 27得:，z=0 ，4，3為駐點256z =27，最小值Z = 0得最大值z =空64在實際問題中要求最大，最小值往往帶有附加條件，即對函數 的自變