空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)(2)

1、空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一.知識(shí)要點(diǎn)。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示*同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不變性2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）OB = OA運(yùn)算律：加法交換律：a + b = b + a加法結(jié)合律：（a + b）-+ c = a + （b + c）數(shù)乘分配律：A（a + b） =+ Ab運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直平行六面體法則線平行或重合，那么這些向量也叫做

2、共線向量或平行向量，a平行于b，記作a/b。b（b工0）, a/b存在實(shí)數(shù) 入 使a =7b。（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、（3）三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線v=>AB = aAC二0C = xOA+ yOB(其中（4）與a共線的單位向量為±4. 共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。斗（2） 共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù)X, y 使 P 二 xa + yb。=x+y+z=1）扌5.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量 P，存在 個(gè)

3、唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y, z，使P = xa + yb + ZC。（3）四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面v=>AP = xAB + yAC <=> OP 二 xOA + yOB + zOC（其<-*4 片_: 片 屮_2:若三向量a,b,c不共面，我們把a(bǔ),b,c叫做空間的一個(gè) 基底，a,b,c叫做基向量， 空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)営,B,c是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn) P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x, y,z，使 OP = xOA + yOB + zOC。6. 空間向量的直角坐標(biāo)系：（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O

4、-xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x, y,z），使 OA = xi + yi+zk，有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，記 作A（x, y,z）， x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)A （x,y,z）關(guān)于x軸的的對(duì)稱點(diǎn)為（x,-y,-z）,關(guān)于xoy平面的對(duì)稱點(diǎn)為（x,y,-z）. 即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對(duì)稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在y軸上的點(diǎn)設(shè)為（0,y,0）,在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為（0,y,z）（2）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為1，這個(gè)基底叫單位正交基底，7彳片ff f用i,j,k表示?？臻g中任一向量xi

5、+ yj + zk=（x,y,z）（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律： 彳彳若q=（Q,a2,a3），b = Q,b2,b3），則 a + b= （q + ga2 + tQ，a；b= （ai -082 -b2,a3- d），幾a二 Cai/a2Ma3）C" R）， a b = aQ + azbz + asd，3/打=ai = F,a2 = kb2,a3 =小3（幾"R），a 丄 b = aQ + azb? + a3b = 0。_. 若 Ad,MH），B（X2,y2,z2），則 AB = （x 捲，y? - WZ - zj。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的

6、終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起 點(diǎn)的坐標(biāo)。 定比分點(diǎn)公式：若A（x，y , z）, B（X2，y2，z2）， a = apb，則點(diǎn)P坐標(biāo)為 K + Xx2 Vd + y2 乙中“z2（一、，一、，+）。推導(dǎo)：設(shè) P（ x,y,z）則（x-xiy-%,z-zi） = Mx2-x,y2-y,z2-z）,顯然，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，p（2?,v址,互）2 2 2AABC中X1 +X2 +X3 % + y2 + y3(3,2ABC的五心：，A(X1,y1,z1),B(X2,y2,Z2),C(X3,y3,Z3)，三角形重心 P 坐標(biāo)為Z1 +Z2 +Z3)內(nèi)心P:內(nèi)切圓的圓心,角平分線的交點(diǎn)ABAC）（單位向量）外心P:

7、外接圓的圓心，PAPBPC中垂線的交點(diǎn)。2 )垂心P：高的交點(diǎn)：PAFB= PAFC = PB FC (移項(xiàng)，內(nèi)積為0,貝卩垂直)重心一 1 P:中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)(中位線比)AP(AB+AC)3中心：正三角形的所有心的合一。彳(4) 模長(zhǎng)公式：若 a=(a1,a2,a3), bNbab),貝ij|a 1= Ja1a2a32, |b|= y/bt ="、亠宀八亠 cos/a b abaiE+azbz+aA(5) 夾角公式：cos(a b" 4? = , 22"22 二'1 a r b1a2 +83 7bi + b? + tb ABC中abAC：>0

8、v=>A為銳角AB 兀<0v=>A為鈍角，鈍角(6) 兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(Xi, yi,Zi) , B(X2,y2,Z2), 則 I AB| =xi)2 +(y2 -yi)2 +(Z2 zi)2 , 或 dA,B = J(X2 -Xi)2 +(y2 -yi)2 +(z? -z,)27. 空間向量的數(shù)量積。T（ 1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)0，作0A = 1 0B = b，則NAOB叫做向量a與b的夾角，記作吒i,b ；且規(guī)定 0蘭va,b蘭兀，顯然有a,bA=b,a：；若烏小=，則稱a與b互相垂直，記作：a丄b。（2）向量的模：設(shè)0A

9、=a，則有向線段0A的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：崗。（3）向量的數(shù)量積：已知向量 a,b，則I aI b I 90S V a, b 叫做a,b的數(shù)量積，記 作a b，即 a b = |a| |b I coa,b 。=0。曲鳥(niǎo)：。（4） 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：L a =|a |cos wa,e。 a 丄 b -（5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：片 T *彳扌（a） b = k （a b） = a b）。 a、b = b a （交換律）。44444 a+ C）= a七十a(chǎn) ”c （分配律）。 不滿足乘法結(jié)合率：（a b） a（b c）二.空間向量與立體幾何1. 線線平行=兩線的方向向量平行1-1線

10、面平行二線的方向向量與面的法向量垂直1- 2面面平行U兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）二兩線的方向向量垂直2- 1線面垂直線與面的法向量平行2-2面面垂直二兩面的法向量垂直3線線夾角日（共面與異面）0°,90°=兩線的方向向量n1,n2的夾角或夾角的補(bǔ)角,cosQ = cose n1,n2 >3-1線面夾角90°,90°:求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP與面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，貝y取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角.sin = cos V AP,n3-2面面夾角（二面角）日0O,180°:若兩面的法

11、向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量ni,n2的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.cos = ± cos < n >4.點(diǎn)面距離h :求點(diǎn)P（X0,y0 ）到平面a的距離：在平面a上去一點(diǎn)Q（x,y ）,得向量PQ ；計(jì)算平面a的法向量n;.h =PQ n4-1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4-2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離【典型例題】1.基本運(yùn)算與基本知識(shí)（）例4已知平行六面體-ABCD二A BCD，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量。 AB + BC ; AB + AD + AA，;T 11 T T T AB +AD + CC ；（

12、AB +AD +AA'）。23例Z對(duì)空間任一點(diǎn)即不共線的三點(diǎn)A，B，C，問(wèn)滿足向量式：0P= xOA + yOB+zOC （其中 x+y+z=1 ）的四點(diǎn) P,A, B,C 是否共面?例 3 已知空間三點(diǎn)4（O, 2, 3）, B （-2, 1, 6）, C （1,- 1, 5）。 求以向量AB, AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積 S；若向量a分別與向量AB, AC垂直，且|a|=73，求向量a的坐標(biāo)。2.基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）3.坐標(biāo)法（如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)）如圖，在空間四邊形 OABC中，0A=8， AB=6， AC=4， BC = 5 , N OAC =45，

13、4.幾何法例4.NOAB=6O，求OA與BC的夾角的余弦值。A說(shuō)明：由圖形知向量的夾角易出錯(cuò)，女口 <OA,aCx135易錯(cuò)寫(xiě)成<OA,ACx45，切記! 例5.長(zhǎng)方體ABCD - AB1C1D1中，AB = BC=4 , E為A®與BD的交點(diǎn)，F(xiàn)為BG與BC的 交點(diǎn)，又AF丄BE，求長(zhǎng)方體的高BB1?！灸M試題】1.已知空間四邊形ABCD，連結(jié)母曲M,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá) 式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果向量：(1)ab+bc+CD ；T 1 T T1 T(2) AB+(BD+BC) ；( 3) AG-(AB+AC)。2 22.耳知平行四邊形/BCD，平面AC外一

14、點(diǎn)O引向量。 OE =kOAOF =kOB,OG = kOC,OH =kOD。(1) 求證：四點(diǎn)E,F,G,H共面；(2) 平面AC /平面EG。13.如圖正方體ABCD -ABiGDi中，BiEi =DiFi =-ABi，求BEi與DFi所成角的余弦。4c5.已知平行六面體ABCD-ABCD中， AB =4, AD = 3, AA = 5, N BAD = 90°，NBAA NDAA '60。，求 AC的長(zhǎng)。T T TAC = AB + AD ,解：不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為3則 B(1,1,0),巳(1二1),41 . £1,建立空間直角坐標(biāo)系O D(0,0,0) ,F

15、i(O, ,1),41 1旺-才1), df(0,4,1),4 =DF卜乎，BE1 ” DF：=0x 0+(丄1)+ 1X1。441615 BE1參考答案1.解：如圖,(1) AB+BC+CD=AC+CD=AD ；(2) AB+cBD+BC) =AB+丄BC pED。T T T22=AB +BM +MG = AG ；a、 r 1 T T T r T(3) AG-(AB + AC) = AG-AM = MG。2. 解：(1屮明四邊形ABCD是平行四邊形， / EG=OGOE,T T T T T * I=k OC -k OA =k(OC -OA) =kAC =k(AB +AD)= k(OBOA +

16、 ODOA) =OFOE +OH -OE=EF +EH E,g,h 共面；-T T T T(2)解：T EF =OF'OE =k(OB-OA) =k ”AB，又T /. EF /AB, EG/ AC。所以，平面AC/平面EG。3.T T上斡生J|AB|AC| "2444.分析： AB = (2,1,3),AC=(1,3,2), cosNBAC =/.Z BAC = 60°,二 S=|AB|AC|sin60, =73 設(shè) a I =( X , y, z),貝 J a 丄 AB= 2x-y+3z=0, a丄 AC = X -3y +2z =0,| a |= x2 + y2 +z2 =3:z 1 或x=y 廠