第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理復習講義

1、第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理備考方向明確一$芳向比努力更重要卜學法指導復習目標1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原運用計數(shù)原理解決問題時，要明確完成一件事情可以有不同類的方法還是需要分幾步2.能正確區(qū)分“類”和才能完成,并且要準確確定出每一類或每一“步”，并能利用兩個原步的方法數(shù)；對于復雜問題可同時應用兩個理解決一些簡單的實際原理.問題.知識鏈條完善-把散落的知識連起來t一、分類加法計數(shù)原理 完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法,在第二類方案中有m種不同的方法，,在第n類方案中有m種不同的方法，則完成這件事共有N=m+nj+m種不同的方法.二、分步乘法計數(shù)

2、原理 完成一件事需要分成n個不同的步驟，完成第一步有m種不同的方法,完成第二步有m2種不同的方法，完成第n步有m種不同的方法，那么完成這件事共有N=mxX 種不同的方法.概念的理解(1) 分類加法計數(shù)原理與分類有關，各種方法相互獨立，用其中的任種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關，各個步驟 相互依存,只有各個步驟都完成了，這件事才算完成.(2) 有些較復雜的問題往往不是單純的“分類”或“分步”可以解決的,而要將“分類”和“分步”結合起來運用(3) 兩個原理的地位有差別，分類計數(shù)更具有一般性，故通常是先“分類”，然后再在每一類中“分步”，分類時標準要明確，做到不重不漏, 適當畫出示

3、意圖或樹形圖，使問題的分析更直觀、清楚.1.為便民惠民，某通信運營商推出“優(yōu)惠卡活動”.其內容如下：卡號的前七位是固定的，后四位從“ 0000”到“9999”共10 000個號碼參與該活動，凡卡號后四位帶有“ 6”或“ 8”的一律作為“優(yōu)惠卡”則“優(yōu)惠卡”的個數(shù)是(C ) (A)1 980 (B)4 096 (C)5 904 (D)8 020解析：卡號后四位不帶“ 6”和“8”的個數(shù)為84=4 096,故帶有“ 6”或“8”的“優(yōu)惠卡”有5 904個.故選C.2.將一個四面體ABCD勺六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色，要求共端點的棱不能涂相同顏色，則不同的涂色方案有(C ) (A)1 種(B)3

4、 種(C)6 種(D)9 種3.5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組,則不同的報名方法共有(D )(A)10 種(B)20 種 (C)25 種(D)32 種 解析：因為規(guī)定每個同學必須報名，則每人只有2個選擇。報名方法有2X 2X 2X2X 2=32種.4.所有兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)共有（B ） (A)45 個(B)36 個(C)30 個(D)50 個5.三個人踢毽子，互相傳遞,每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經(jīng)過3次傳遞后,毽子又被踢回給甲.則不同的傳遞方式共有（B ） (A)5 種 (B)2 種 (C)3 種 (D)4 種6.6名同學爭奪3項冠軍，獲

5、得冠軍的可能性有解析：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理獲得冠軍的可能性有6X 6X6=216.答案:2167.設a,b,c 123,4,5,6, 若以a,b,c為三條邊的長可以構成一個 等腰（含等邊）三角形,則這樣的三角形有 解析:先考慮等邊的情況，a=b=c=1,2,6,有六個.再考慮等腰的情 況，若 a=b=1,ca+b=2，此時 c=1,與等邊重復；若 a=b=2,ca+b=4,則 c=1,3,有兩個；若 a=b=3,cva+b=6,則 c=1,2,4,5, 有四個；若a=b=4,ca+b=8,則 c=1,2,3,5,6, 有五個；若 a=b=5,ca+b=10,則 c=1,2,3,4,6,有五個;

6、若 a=b=6,c0,n0)的焦點在 y 軸上，且 m 1,2,3,4,5,nm n1,234,5,6,7,則這樣的橢圓的個數(shù)為 解析：由題意知nm, 當m=1時,n有6種取法;當m=2時,n有5種取法;當m=3時,n有4種取法;當m=4時,n有3種取法;當m=5時,n有2種取法;由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的橢圓共有6+5+4+3+2=20個.答案:20 考點二分步乘法計數(shù)原理的應用【例21有六名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有 多少種不同的報名方法?(不一定六名同學都能參加)(1) 每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；(2) 每項限報一人，且每人至多參加一項；(3) 每項限報一

7、人，但每人參加的項目不限.解：(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同選法, 由分步乘法計數(shù)原理，知共有報名方法36=729(種).(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法,第二個項目有5種選法,第三個項目只有4種選法, 由分步乘法計數(shù)原理，得共有報名方法6X5X4=120(種).(3)由于每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步乘法計數(shù)原理，得共有不同的報名方法63=216(種).阪思甸觀利用分步乘法計數(shù)原理解決問題(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的；分步要做到“步驟完整”，即只有完成了所

8、有步驟，才完成任務;(3)對完成各步的方法數(shù)要準確確定.將五個1,五個2,五個3,五個4,五個5,共25個數(shù)填入一個五行五列 的表格內(每格填入一個數(shù)),使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對值不 超過2,考察每列中五個數(shù)之和，記這五個數(shù)和的最小值為 m,則m的最大值為(C )(A)8(B)9(C)10 (D)111114511245222453324533345解析：依據(jù)五個1分布的不同情況進行討論，確定m的最大值.若五 個1分布在同一列，則m=5;若五個1分布在兩列中，則由題意知這 兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)為3,故2mc 5X1+5X 3=20,故10;若五個1分布在三列中，則由題意知這三列中出現(xiàn)的最大

9、數(shù)為 3,故3mC5X 1+5X 2+5X 3=30,故mK 10;若五個1分布在至少四列中，則其中某一列至少有一個數(shù)大于3,這與已知矛盾.綜上所述,m10.另一方 面,如下表的例子說明m可以取到10.故m的最大值為10.考點三兩個計數(shù)原理的綜合應用個無重復【例31用0,123,4,5,6 這7個數(shù)字可以組成 數(shù)字的四位偶數(shù).(用數(shù)字作答) 思路點撥：按首位數(shù)字的奇偶性分類，在每一類中根據(jù)特殊位置(末位) 優(yōu)先原則進行分步.解析:當首位數(shù)字為奇數(shù)時，首位取法有3種,末位取法有4種,百位取 法有5種,十位取法有4種,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有3X 4X 5X 4=240種取法，當首位數(shù)字為偶數(shù)時，

10、首位取法有3種,末位取法有3種,百位取法有5種,十位取法有4種,根據(jù)分步乘法計數(shù)原 理，有3X 3X 5X4=180種取法,根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共可組成 240+180=420個無重復數(shù)字的四位偶數(shù).答案:420應用兩個計數(shù)原理的難點在于明確分類還是分步(2)分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標準是關鍵.(3)分步要做到“步驟完整”，步步相連才能將事件完成.(4) 較復雜的問題可借助圖表完成.【例4】用n種不同顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖(1)、圖(2), 要求在A,B,C,D四個區(qū)域中相鄰(有公共邊的)區(qū)域不用同一種顏色.（1）若n=6,為圖（1）著色時共有多少種不同的方法？ 若為圖

11、著色時共有120種不同的方法，求n.解:（1）為A著色有6種方法,為B著色有5種方法,為C著色有4種方 法,為D著色也有4種方法,所以,共有著色方法6X 5X 4X4=480（種）. 圖 與圖（1）的區(qū)別在于與D相鄰的區(qū)域由2塊變成了 3塊，同理,不同的著色方法種數(shù)是n(n-1)( n-2) (n-3).因為 n(n-1)(n-2)(n-3)=120.又 120480,所以可分別將n=4,5代入得n=5時上式成立.所以n=5.熨越 涂色問題的實質是分類與分步的綜合運用，一般是整體分步， 分步過程中若出現(xiàn)某一步需要分情況說明時，還要進行分類.1.如果一個三位正整數(shù)如“ 8問3”滿足a1a3,則稱

12、這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120,343,275等）,那么所有凸數(shù)的個數(shù)為（A ）(A)240(B)204(C)729(D)920解析：若a2=2,則凸數(shù)有1X 2=2個;若a2=3,則凸數(shù)有2X 3=6個;若a2=4,則凸數(shù)有3X4=12個;若a2=9,則凸數(shù)有8X 9=72個.所以所有凸數(shù)有 2+6+12+20+30+42+56+72=240個( ).故選 A.2.若一個無重復數(shù)字的四位數(shù)的各位數(shù)字之和為 10,則稱該數(shù)為“完美四位數(shù)” , 如數(shù)字“2 017”. 試問用數(shù)字 0,1,2,3,4,5,6,7 組成的 無重復數(shù)字且大于 2 017 的“完美四位數(shù)”有 （ D ） (A)53 個 (B)59 個 (C)66 個 (D)71 個共五組 . 其解析:無重復數(shù)字且相加等于 10 的四個數(shù)字分別是(0,1,2,7),(0,1,3,6),(0,1,4,5),(0,2,3,5),(1,2,3,4),中第一組（0,1,2,7）中,7排首位有3X 2=6（種）情況;2排首位,1或7排在第二位，有2X 2=4（種）情況;2排首位,0排第二位,7排第三位有 1種情況.共6+4+1=11