正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

1、第二節(jié)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 正項(xiàng)級(jí)數(shù)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)： )0( 1 nnnaa基本定理：基本定理：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分且必要條件是它的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分且必要條件是它的 部分和數(shù)列有界。部分和數(shù)列有界。比較審斂法比較審斂法1 1 設(shè)設(shè) 和和 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)：是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)： 11 nnnnba（1 1）若）若 收斂，且自某項(xiàng)起收斂，且自某項(xiàng)起 ，則則 也收斂；也收斂； 1nnannba 1 nnb（2 2）若）若 發(fā)散，且自某項(xiàng)起發(fā)散，且自某項(xiàng)起 ，則，則 也發(fā)散。也發(fā)散。 1nnannba 1 nnb關(guān)鍵：關(guān)鍵：選取恰當(dāng)?shù)膮⒖技?jí)數(shù)。選取恰當(dāng)?shù)膮⒖技?jí)數(shù)。 例例1 1、討論、討論

2、 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)（廣義調(diào)和級(jí)數(shù)廣義調(diào)和級(jí)數(shù)） p pppnpnn1211111的斂散性。的斂散性。例例2 2、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性。、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性。 1ln12121)(ln1)4( )1(1)3(11)2( 131)1(nnnnnnnnnnn比較審斂法比較審斂法2 2 設(shè)設(shè) 和和 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若極限是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若極限 11 nnnnbakbannn lim則有則有 .,0)3(;,0)2(;,0)1(1111兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)發(fā)散發(fā)散發(fā)散則發(fā)散則時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂收斂則收斂則時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) kabkabknnnnnnnn.,)3(;, ,)2(;, ,)1(.

3、111111兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)必發(fā)散必發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)則當(dāng)則當(dāng)?shù)耐A或低階無窮小的同階或低階無窮小是是若若必收斂必收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂時(shí)收斂時(shí)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)則當(dāng)則當(dāng)?shù)耐A或高階無窮小的同階或高階無窮小是是若若時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小均為均為和和的一般項(xiàng)的一般項(xiàng)和和設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbaabbaabbanbaba 比較審斂法比較審斂法3 3（比階審斂法）（比階審斂法）例例3 3、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性。、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性。 )0( 1)6( )cos1()5( )11ln()4(arctan)3( 35531)2( 11

4、)1(12111113 aaannnnnnnnnnnnnnnnn 比值審斂法（達(dá)朗貝爾判別法）比值審斂法（達(dá)朗貝爾判別法） .1)2(;1)1(,lim,11時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)當(dāng)則則若極限若極限是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)設(shè) nnnnnaaa例例4 4、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性。、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性。 121112sin)3( )!1()2( 3)1(nnnnnnnnnnne 根值審斂法（柯西判別法）根值審斂法（柯西判別法） .1)2(;1)1(,lim,1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)當(dāng)則則若極限若極限是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)設(shè) nnnnnaa例例5 5、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性。、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性。 )0( )3( 2)2( 1)1(11112 anaennnnpnnnnnn例例6 6、證明：、證明：. 01sinlim2 nnn 作業(yè)作業(yè)