第7講微分方程

1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 微微 分分 方方 程程實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)內(nèi)容2學(xué)會(huì)用學(xué)會(huì)用matlab求微分方程的數(shù)值解求微分方程的數(shù)值解1學(xué)會(huì)用學(xué)會(huì)用matlab求簡單微分方程的解析解求簡單微分方程的解析解1 1求簡單微分方程的解析解求簡單微分方程的解析解4 4實(shí)驗(yàn)作業(yè)實(shí)驗(yàn)作業(yè)2求微分方程的數(shù)值解求微分方程的數(shù)值解3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)建模實(shí)例 求微分方程的數(shù)值解求微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義（一）常微分方程數(shù)值解的定義（二）建立數(shù)值解法的一些途徑（二）建立數(shù)值解法的一些途徑（三）用（三）用matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解軟件求常微分方程的數(shù)值解返 回1目標(biāo)

2、跟蹤問題一：導(dǎo)彈追蹤問題目標(biāo)跟蹤問題一：導(dǎo)彈追蹤問題 2目標(biāo)跟蹤問題二：慢跑者與狗目標(biāo)跟蹤問題二：慢跑者與狗3地中海鯊魚問題地中海鯊魚問題返 回?cái)?shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)建模實(shí)例微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（組）解析解的命令:dsolve(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始條件初始條件,自變量自變量)to matlab（ff1） 結(jié) 果：u = tg(t-c) 解解 輸入命令: y=dsolve(d2y+4*dy+29*y=0,y(0)=0,dy(0)=15,x)結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin（5x）to matlab（ff2）解解 輸入命令 ： x,y,z=dsolve(

3、dx=2*x-3*y+3*z,dy=4*x-5*y+3*z,dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 將x化簡 y=simple(y) z=simple(z)結(jié) 果 為：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t to matlab（ff3）返 回微分方程的數(shù)值解微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義（一）常微分方程數(shù)值解的定義 在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜,且大多得不出一

4、般解而實(shí)際中的對(duì)初值問題，一般是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的0000121212( , ) () (),(), () ,.nnnyf x yxy xyxxxxxy xy xy xy yy對(duì)常微分方程 ：，其數(shù)值解是指由初始點(diǎn)開始的若干離散的 處的值，即對(duì)， 求出準(zhǔn)確值的相應(yīng)近似值返 回（二）建立數(shù)值解法的一些途徑（二）建立數(shù)值解法的一些途徑100 , 0,1,2,1, ( , ) ()iixxhinyf x yy xy設(shè)則可用以下離散化方法求解微分方

5、程1用差商代替導(dǎo)數(shù)用差商代替導(dǎo)數(shù) 若步長h較小，則有hxyhxyxy)()()( 故有公式：100( ,) 0,1,2, -1() iiiiyyhf x yinyy x此即歐拉法歐拉法2使用數(shù)值積分使用數(shù)值積分對(duì)方程y=f(x,y), 兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：11111()()( ,( )(,()(,()2iixiixiiiiiiyxyxfty td txxfxyxfxyx 實(shí)際應(yīng)用時(shí)，與歐拉公式結(jié)合使用：, 2 , 1 , 0 ),(),(2),()(11) 1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyykiiiiikiiiii(1)( )111112 0 kkkiii

6、iiyyyyy（）對(duì)于已給的精確度，當(dāng)滿足時(shí)， 取，然后繼續(xù)下一步 的計(jì)算此即改進(jìn)的歐拉法改進(jìn)的歐拉法故有公式：)(),(),(200111xyyyxfyxfhyyiiiiii3使用泰勒公式使用泰勒公式 以此方法為基礎(chǔ)，有龍格龍格-庫塔法庫塔法、線性多步法線性多步法等方法4數(shù)值公式的精度數(shù)值公式的精度 當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為o（hk+1）（其中k為正整數(shù)，h為步長）時(shí)，稱它是一個(gè)k階公式階公式 k越大，則數(shù)值公式的精度越高歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式龍格-庫塔法有二階公式和四階公式線性多步法有四階亞當(dāng)斯外插公式和內(nèi)插公式返 回（三）用（三）用matlab軟件求常微分方程的

7、數(shù)值解軟件求常微分方程的數(shù)值解t，x=solver(f,ts,x0,options)ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m文件名ts=t0,tf，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2/3階龍格庫塔費(fèi)爾貝格算法ode45：運(yùn)用組合的4/5階龍格庫塔費(fèi)爾貝格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時(shí)設(shè)定相對(duì)誤差10-3, 絕對(duì)誤差10-6),命令為：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分別為設(shè)定的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差 1在解含n個(gè)未知數(shù)的方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，m文件中的待解方程組

8、應(yīng)以x的分量形式寫出 2使用matlab軟件求數(shù)值解時(shí)，高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微分方程組注意注意:解解: 令 y1=x，y2=y1則微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組：0)0(, 2)0()1 (1000211221221yyyyyyyy1建立m文件vdp1000m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2取t0=0，tf=3000，輸入命令： t,y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(t,y(:,1),-)3結(jié)果如圖0500

9、10001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52to matlab（ff4） 例例 5 解微分方程組. 1)0(, 1)0(, 0)0(51. 0321213312321yyyyyyyyyyyy解解 1建立m文件rigidm如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-051*y(1)*y(2);2取t0=0，tf=12，輸入命令： t,y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(t,y(:,1),-,t,y(:

10、,2),*,t,y(:,3),+)3結(jié)果如圖to matlab（ff5）024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81圖中，y1的圖形為實(shí)線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線返 回導(dǎo)彈追蹤問題導(dǎo)彈追蹤問題 設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)a(1, 0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦如果乙艦以最大的速度v0(常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中？解法一解法一（解析法）由(1),(2)消去t, 整理得模型:(3) 151)1 (2yyx初值條件為: 0)0(y 0)0( yto ma

11、tlab(chase1)軌跡圖見程序chase1解法二解法二(數(shù)值解法)1建立m文件eq1m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x); 2 取x0=0，xf=09999，建立主程序ff6m如下： x0=0，xf=09999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b) hold on y=0:001:2; plot(1,y,b*) 結(jié)論結(jié)論: 導(dǎo)彈大致在（導(dǎo)彈大致在（1，02）處擊中乙艦）處擊中乙艦.to matlab(ff6)2151

12、)1 (yyx)1/(15121221xyyyy令y1=y, y2=y1，將方程（3）化為一階微分方程組解法三解法三(建立參數(shù)方程求數(shù)值解) 設(shè)時(shí)刻t乙艦的坐標(biāo)為(x(t)，y(t)，導(dǎo)彈的坐標(biāo)為(x(t)，y(t)3因乙艦以速度v0沿直線x=1運(yùn)動(dòng)，設(shè)v0=1，則w=5，x=1，y=t.4 解導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程建立m文件eq2m如下： function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); 取t0=0，tf=2，建

13、立主程序chase2m如下： t,y=ode45(eq2,0 2,0 0); y=0:001:2; plot(1,y,-)， hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)to matlab(chase2)5 結(jié)果見圖1導(dǎo)彈大致在（1，02）處擊中乙艦，與前面的結(jié)論一致圖1圖2返 回 在chase2m中，按二分法逐步修改tf，即分別取tf=1，05,025,直到tf=021時(shí)，得圖2結(jié)論：時(shí)刻結(jié)論：時(shí)刻t=021時(shí)，導(dǎo)彈在（時(shí)，導(dǎo)彈在（1，021）處擊中乙艦）處擊中乙艦to matlab(chase2)慢跑者與狗慢跑者與狗 一個(gè)慢跑者在平面上沿橢圓以恒定的速率v=1跑步,設(shè)橢圓方程

14、為: x=10+20cos t, y=20+5sin t 突然有一只狗攻擊他 這只狗從原點(diǎn)出發(fā),以恒定速率w跑向慢跑者,狗的運(yùn)動(dòng)方向始終指向慢跑者分別求出w=20,w=5時(shí)狗的運(yùn)動(dòng)軌跡1 模型建立設(shè)t 時(shí)刻慢跑者的坐標(biāo)為(x(t)，y(t)，狗的坐標(biāo)為(x(t)，y(t) 則 x=10+20cos t, y=20+15sin t. 狗從(0,0)出發(fā), 與導(dǎo)彈追蹤問題類似，狗的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為:2222d(1020cos)d(1020cos)(20 15sin)d(20 15sin)d(1020cos)(20 15sin)(0)0, (0)0 xwtxttxtyywtyttxtyxy2 模

15、型求解(1) w=20時(shí)時(shí),建立文件eq3m如下: function dy=eq3(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase3m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq3,t0 tf,0 0); t=0:01:2*pi; x=10+20*co

16、s(t); y=20+15*sin(t); plot(x,y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*) 在chase3m中，不斷修改tf的值,分別取tf=5, 25, 35,至315時(shí),狗剛好追上慢跑者to matlab(chase3)建立m文件eq4m如下: function dy=eq4(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-

17、y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase4m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq4,t0 tf,0 0); t=0:01:2*pi; x=10+20*cos(t); y=20+15*sin(t); plot(x,y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*) 在chase3m中，不斷修改tf的值,分別取tf=20, 40, 80,可以看出,狗永遠(yuǎn)追不上慢跑者to matlab(chase4)(2) w=5時(shí)時(shí)返 回地中海鯊魚問題地中海鯊魚問題 意大利生物學(xué)家ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)

18、系的研究，從第一次世界大戰(zhàn)期間,地中海各港口幾種魚類捕獲量百分比的資料中，他發(fā)現(xiàn)鯊魚等的比例有明顯增加（見下表），而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降顯然戰(zhàn)爭使捕魚量下降，從而食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？ 他無法解釋這個(gè)現(xiàn)象，于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家vvolterra，希望建立一個(gè)食餌捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個(gè)問題年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.819.7 該 模型反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制

19、約關(guān)系，沒有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是volterra提出的最簡單的模型首先，建立m文件shierm如下： function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-01*x(2); dx(2)=x(2)*(-05+002*x(1);其次，建立主程序sharkm如下： t,x=ode45(shier,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2)to matlab(shark)相圖),(21xx為：0510150102030405060708090100020406080100051015202530求解結(jié)果： 左圖反映了x1（t）與x2（t）的關(guān)系 可以猜測： x1（t）與x2（t）都是周期函數(shù)模型（二） 考慮人工捕獲 設(shè)表示捕獲能力的系數(shù)為e