第五章 線性參數(shù)最小二乘法

1、 ),(),(),(2121222111tnnttxxxfyxxxfyxxxfy根據(jù)線性代數(shù)的知識，考察下列方程組：根據(jù)線性代數(shù)的知識，考察下列方程組：v當(dāng)當(dāng) 時：方程有無窮多解時：方程有無窮多解tn v當(dāng)當(dāng) 時：方程有唯一解時：方程有唯一解v當(dāng)當(dāng) 時：超定方程時：超定方程tn tn 12 3 4 5 6ivyxixiybaxy niiv12最小最小nYYY,21nyyy,21nlll,21 ),(),(),(212122221111tnnnttxxxflvxxxflvxxxflv誤差方程組誤差方程組n ,21nlll,21nnndePdePnn )2(1)2(112221212121 ndd

2、 ,1 由概率乘法定理可知，各測量數(shù)由概率乘法定理可知，各測量數(shù)據(jù)同時出現(xiàn)在相應(yīng)區(qū)域的概率應(yīng)為：據(jù)同時出現(xiàn)在相應(yīng)區(qū)域的概率應(yīng)為：nPPPP21 nnndddePnn212/ )(212222222121)2(1 可知，要使可知，要使 最大，應(yīng)滿足：最大，應(yīng)滿足：最最小小 2222222121nn P 引入權(quán)的符號引入權(quán)的符號 ，即：，即：p 等精度測量中：等精度測量中： 22221nvvv最小最小二、以矩陣方式表示：二、以矩陣方式表示： 測量結(jié)果測量結(jié)果估計(jì)值估計(jì)值 nlllL21 txxxX21 nvvvV21殘差殘差2222211nnvpvpvp最小最小 ntnnttaaaaaaaaaA2

3、12222111211誤差方程的誤差方程的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣則則誤差方程誤差方程可表示為：可表示為： nntnnttnnxxxaaaaaaaaalllvvv212122221112112121即：即：XALV VVT最小最小或：或： )()(XALXALT最小最小 nnvvvvvv2121最小最小 )()()(2211222212122121211111tntnnnnttttxaxaxalvxaxaxalvxaxaxalv利用求極值的方法來滿足最小二乘法原理利用求極值的方法來滿足最小二乘法原理 對殘余誤差的平方和對殘余誤差的平方和 求導(dǎo)，并令求導(dǎo)，并令其為零。其為零。2v 則等精度測量的線性參數(shù)

4、最小二乘法則等精度測量的線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程為：處理的正規(guī)方程為： laxaaxaaxaalaxaaxaaxaalaxaaxaaxaatttttttttt22112222211211221111 正規(guī)方程有如下特點(diǎn)：正規(guī)方程有如下特點(diǎn)： 沿主對角線分布著平方項(xiàng)系數(shù)沿主對角線分布著平方項(xiàng)系數(shù) ， ， 都為正數(shù)；都為正數(shù)； 以主對角線為對稱線，對稱分布的各系以主對角線為對稱線，對稱分布的各系 數(shù)彼此兩兩相等，如數(shù)彼此兩兩相等，如 與與 相等，相等， 與與 相等，相等，。11aa22aattaa21aa12aataa22aat2 以矩陣形式表示以矩陣形式表示正規(guī)方程組可寫為：正規(guī)方程組可

5、寫為： 000221122221121221111nntttnnnnvavavavavavavavava即：即：0 VATXALV 所以正規(guī)方程又可表示為：所以正規(guī)方程又可表示為：0)( XALATLAXAATT )(即：即：得正規(guī)方程的矩陣解為：得正規(guī)方程的矩陣解為：LAAAXTT1)( 0y 2001.602001.482001.072000.802000.722000.36 /454030252010 /654321 itili)6 , 2 , 1()1(0 itylii it令：令： ，ay 0by 0 則：則：)6 ,2, 1( itbalii 60.200148.200107.20

6、0180.200072.200036.2000621lllL 測量結(jié)果：測量結(jié)果： 451401301251201101A誤差方程的系數(shù)矩陣：誤差方程的系數(shù)矩陣：估計(jì)值：估計(jì)值： baXLAAAbaXTT1)( 03654.097.1999baXmmay97.19990 0000183.097.199903654.0 ab / mm20 mm40d iLmmd m 解：先將解：先將 以坐標(biāo)點(diǎn)形式標(biāo)注以坐標(biāo)點(diǎn)形式標(biāo)注在下圖上。在下圖上。),(dLi 0102030405101520iLmm/d m /經(jīng)初步分析即知誤差呈線性規(guī)律。經(jīng)初步分析即知誤差呈線性規(guī)律。 yLxdii 0184001530

7、08200510032yxyxyxyxyx 40130120110121A 1815853521dddL 測量結(jié)果：測量結(jié)果：誤差方程的系數(shù)矩陣：誤差方程的系數(shù)矩陣：LAAAyxXTT1)( 則估計(jì)值為：則估計(jì)值為： 418.028.1Ld418.028.1 即線性規(guī)律為：即線性規(guī)律為：最小二乘法原理：加權(quán)殘余誤差平方和為最小二乘法原理：加權(quán)殘余誤差平方和為最小。即：最小。即： 2pv最小最小在此條件下，正規(guī)方程為：在此條件下，正規(guī)方程為： lpaxapaxapaxapalpaxapaxapaxapalpaxapaxapaxapatttttttttt22112222211211221111寫成

8、矩陣的形式為：寫成矩陣的形式為：0 PVAT或：或：0)( XALPAT即：即：PLAXPAATT 正規(guī)方程的解，即參數(shù)的最小二乘法估計(jì)正規(guī)方程的解，即參數(shù)的最小二乘法估計(jì)值為值為PLAPAAXTT1)( 06.0)(44.61211 xxv06.0)2(60.82212 xxv08.0)3(81.103213 xxv08.0)4(22.134214 xxv08.0)5(27.154215 xxv1x2x2524232221543211:1:1:1:1: ppppp2222208. 01:08. 01:08. 01:06. 01:06. 01 9:9:9:16:16 990901616P 27

9、.1522.1381.1060.844.6L 5141312111APLAPAAXTT1)( 227.2186.421xxtnv 2 tnnnnlll,21tnpv 2 d )(yLxdviii 25 tntnv 2 tn )10. 0(10. 1)70. 1()50. 0(86. 022222m 3.1 221121ddxx txxx,21txxx ,21ttxdt iid laxaaxaaxaalaxaaxaaxaalaxaaxaaxaatttttttttt22112222211211221111iidiidixiyx, 13863004102491025yxyxm 3.1 11d 030

10、04102110251111ydydmdx 1651.03.111 651.011 d 13004102010252222dxdx22d001.022 dmdy 04.0001.03 .122 1x2x3xABCD1l2l3l4l6l5lmmlmmlmml020. 1985. 0015. 1321 mmlmmlmml032. 3981. 1016. 2654 3216325214332211xxxlxxlxxlxlxlxl 321654321111110011100010001xxxllllllXAL LAAAxxxXTT1321)( 013.1983.0028.1mmBCmmAB983. 0028. 1 mmCD013. 1 mmtnv013. 02 )()()(32166325521443