昆明理工大學線性代數(shù)考試試題集及答案

1、線性代數(shù)B 2010 2011 學年第 一 學期課程試卷A一、填空 1. = 12 .2 設A、B為4階方陣，且，則 1/2 .3. 給定矩陣，且可逆,滿足,則 .4設，則 .5已知線性相關,不能由線性表示，則線性 相關 6設，且,線性相關， 則 8 7.設是矩陣,且，則_2_8設三階方陣的每行元素之和均為零，又，則齊次線性方程組的通解為 .9. 向量組的一個最大線性無關組為 .10. 設為n階方陣,有非零解,則必有一個特征值為 0 .二、單項選擇 1.若( A ) ； 2 ； 1 ； .2設均為二階方陣，則當(C )時，可以推出3. 下列結論正確的是( A ) 線性無關的充要條件是其中任意一

2、個向量都不是其余向量的線性組合; 若向量線性相關，則線性相關； 若階方陣與對角陣相似，則有個不同的特征值; 若方程組有非零解，則有無窮多解.4. 已知是四元方程組的三個解，其中，則以下不是方程組的通解為( D ) . .5. 設向量組線性無關，則下列向量組中線性無關的是（ B ） ; ; ; .6若階矩陣有共同的特征值，且各有個線性無關的特征向量，則（A ） 與相似; ，但; ; 與不一定相似，但. 7. 設且則以下結論正確的是（ B ）.不一定是的一個特征向量; 一定不是的一個特征向量; 一定是的一個特征向量; 為零向量.三、k為何值時,線性方程組 有解，并在有解時求通解.解: 當時，方程組

3、有解， ， ， （12分） 通解為 四、已知矩陣的特征值之和為1，特征值之積為(1) 求的值； (2) 求可逆矩陣和對角陣，使得.解 當時，當時， 有五、計算 . 六、設為3階矩陣，為的分別屬于特征值特征向量，向量滿足，證明（1）線性無關；（2）令，求. 證明 (1)， 即(2) (2)-(1) 因為線性無關， 代入（1），得線性無關（2） 線性代數(shù)B2010 2011 學年第 一 學期課程試卷B一、填空 1.設 ,又是的代數(shù)余子式,則=02 設A、B為3階方陣，且，則 1/6 .3. 設A為方陣,滿足,則 .4設，則 .5向量組線性 相 關6設是矩陣,則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是

4、 7.設是矩陣,且，則_2_8設三階方陣的每行元素之和均為3，則有特征值 3 .9. 向量組的一個最大線性無關組為.10屬于方陣的不同特征值的特征向量一定 線性無關 .二、單項選擇 1.若( A ). ； 2 ； 1 ； .2設A為矩陣，且，則一定有( D )3. 下列結論錯誤的是( D ) 線性無關的充要條件是其中任意一個向量都不是其余向量的線性組合; 若向量線性無關，則線性無關； 階方陣與對角陣相似是有個不同的特征值的必要條件; 若方程組有非零解，則有無窮多解.4. 設矩陣的秩，下述結論中正確的是 D .的任意個列向量必線性無關； 的任意一個階子式不等于零；齊次線性方程組只有零解； 非齊次

5、線性方程組必有無窮多解.5. 階矩陣滿足則下列各式中成立的是 D .6設矩陣的秩為2，則 C （A）；（B）；（C）； （D）.7. 均為階方陣，則下列結論中 B 成立（A）則或； （B） 則或； （C）則或； （D）則或三、k為何值時，線性方程組有解并在有解時求通解解 當所以有依賴于3個獨立參數(shù)的無窮多解 得 四、已知矩陣, 求可逆矩陣與對角陣,使得. 解 ， 進一步可求得相應的特征向量為。取 ， 有 =五、計算行列式. 六、已知階矩陣,證明中所有元素的代數(shù)余子式的和為1.證 ， 又， 比較第一列元素之和有 ×××大學線性代數(shù)期末考試題一、填空題（將正確答案填在

6、題中橫線上。每小題2分，共10分）1. 若，則_。2若齊次線性方程組只有零解，則應滿足 。 3已知矩陣，滿足，則與分別是 階矩陣。4矩陣的行向量組線性 。5階方陣滿足，則 。二、判斷正誤（正確的在括號內填“”，錯誤的在括號內填“×”。每小題2分，共10分）1. 若行列式中每個元素都大于零，則。（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合。（ ） 3. 向量組中，如果與對應的分量成比例，則向量組線性相關。（ ）4. ，則。（ ）5. 若為可逆矩陣的特征值，則的特征值為。 ( )三、單項選擇題 (每小題僅有一個正確答案，將正確答案題號填入括號內。每小題2分，共10分) 1. 設

7、為階矩陣，且，則（ ）。 42. 維向量組 （3 £ s £ n）線性無關的充要條件是（ ）。 中任意兩個向量都線性無關 中存在一個向量不能用其余向量線性表示 中任一個向量都不能用其余向量線性表示 中不含零向量3. 下列命題中正確的是( )。 任意個維向量線性相關 任意個維向量線性無關 任意個 維向量線性相關 任意個 維向量線性無關4. 設，均為n 階方陣，下面結論正確的是( )。 若，均可逆，則可逆 若，均可逆，則 可逆 若可逆，則 可逆 若可逆，則 ，均可逆5. 若是線性方程組的基礎解系，則是的（ ） 解向量 基礎解系 通解 A的行向量四、計算題 ( 每小題9分，共63

8、分)1. 計算行列式。解·2. 設，且 求。解. ，3. 設 且矩陣滿足關系式 求。4. 問取何值時，下列向量組線性相關？。5. 為何值時，線性方程組有唯一解，無解和有無窮多解？當方程組有無窮多解時求其通解。 當且時，方程組有唯一解；當時方程組無解當時，有無窮多組解，通解為6. 設 求此向量組的秩和一個極大無關組，并將其余向量用該極大無關組線性表示。7. 設，求的特征值及對應的特征向量。五、證明題 (7分)若是階方陣，且 證明 。其中為單位矩陣。×××大學線性代數(shù)期末考試題答案一、填空題1. 5 2. 3. 4. 相關 5. 二、判斷正誤1. ×

9、; 2. 3. 4. 5. ×三、單項選擇題1. 2. 3. 4. 5. 四、計算題1. 2. ，3. 4. 當或時，向量組線性相關。5. 當且時，方程組有唯一解；當時方程組無解當時，有無窮多組解，通解為6. 則 ，其中構成極大無關組，7. 特征值，對于11，特征向量為五、證明題， 一、選擇題（本題共4小題，每小題4分，滿分16分。每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1、設，為n階方陣，滿足等式，則必有（ ）(A)或; (B)； （C）或; (D)。2、和均為階矩陣，且，則必有（ ）(A) ； (B)； （C） . (D) 。3、設為矩陣，齊次方程組僅有零解的充要條件是（

10、）(A) 的列向量線性無關； (B) 的列向量線性相關；（C） 的行向量線性無關； (D) 的行向量線性相關.4、 階矩陣為奇異矩陣的充要條件是（ ）(A) 的秩小于； (B) ；(C) 的特征值都等于零； (D) 的特征值都不等于零；二、填空題（本題共4小題，每題4分，滿分16分）5、若4階矩陣的行列式，是A的伴隨矩陣，則= 。6、為階矩陣，且，則 。7、已知方程組無解，則 。8、二次型是正定的，則的取值范圍是 。三、計算題（本題共2小題，每題8分，滿分16分）9、計算行列式10、計算階行列式四、證明題（本題共2小題，每小題8分，滿分16分。寫出證明過程）11、若向量組線性相關，向量組線性無

11、關。證明：(1) 能有線性表出；(2) 不能由線性表出。12、設是階矩方陣，是階單位矩陣，可逆，且。證明（1） ；（2） 。 五、解答題（本題共3小題，每小題12分，滿分32分。解答應寫出文字說明或演算步驟）13、設，求一個正交矩陣使得為對角矩陣。14、已知方程組與方程組有公共解。求的值。15、設四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知，是它的三個解向量，且，求該方程組的通解。解答和評分標準一、選擇題1、C； 2、D； 3、A； 4、A。二、填空題5、-125; 6、； 7、-1； 8、。三、計算題9、解：第一行減第二行，第三行減第四行得：第二列減第一列，第四列減第三列得： （4分）按第一

12、行展開得按第三列展開得。 （4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通過行列式的變換化為上三角形行列式 （4分） （4分）四、證明題11、證明：(1)、 因為線性無關，所以線性無關。，又線性相關，故能由線性表出。 (4分)，（2）、（反正法）若不，則能由線性表出，不妨設。由（1）知，能由線性表出，不妨設。所以，這表明線性相關，矛盾。 12、證明 （1） （4分）（2）由（1）得：，代入上式得 （4分）五、解答題13、解：（1）由得的特征值為，。 （4分）（2）的特征向量為，的特征向量為，的特征向量為。 （3分）（3）因為特征值不相等，則正交。 （2分）（4）將單位化得， （

13、2分）（5）取（6） （1分）14、解：該非齊次線性方程組對應的齊次方程組為因，則齊次線性方程組的基礎解系有1個非零解構成，即任何一個非零解都是它的基礎解系。 （5分）另一方面，記向量，則直接計算得，就是它的一個基礎解系。根據非齊次線性方程組解的結構知，原方程組的通解為，。 （7分）15、解：將與聯(lián)立得非齊次線性方程組: 若此非齊次線性方程組有解, 則與有公共解, 且的解即為所求全部公共解. 對的增廣矩陣作初等行變換得: . （4分）1°當時，有，方程組有解, 即與有公共解, 其全部公共解即為的通解，此時，則方程組為齊次線性方程組，其基礎解系為: ,所以與的全部公共解為，k為任意常數(shù)

14、. （4分）2° 當時，有，方程組有唯一解, 此時，故方程組的解為:, 即與有唯一公共解. （4分）第一部分 選擇題 (共28分)一、 單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。1.設行列式=m，=n，則行列式等于（ ） A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.設矩陣A=，則A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.設矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.設A是方陣，如有矩陣關系式AB=

15、AC，則必有（ ） A. A =0B. BC時A=0 C. A0時B=CD. |A|0時B=C5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D. 46.設兩個向量組1，2，s和1，2，s均線性相關，則（ ） A.有不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全為0的數(shù)1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全為0的數(shù)1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全為0的數(shù)1，2，s和不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.設矩陣A的秩

16、為r，則A中（ ） A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0 C.至少有一個r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08.設Ax=b是一非齊次線性方程組，1，2是其任意2個解，則下列結論錯誤的是（ ） A.1+2是Ax=0的一個解B.1+2是Ax=b的一個解 C.1-2是Ax=0的一個解D.21-2是Ax=b的一個解9.設n階方陣A不可逆，則必有（ ） A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程組Ax=0只有零解10.設A是一個n(3)階方陣，下列陳述中正確的是（ ） A.如存在數(shù)和向量使A=，則是A的屬于特征值的特征向量 B.如存在數(shù)和非零向量，使(E-A)=

17、0，則是A的特征值 C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量 D.如1，2，3是A的3個互不相同的特征值，1，2，3依次是A的屬于1，2，3的特征向量，則1，2，3有可能線性相關11.設0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于0的線性無關的特征向量的個數(shù)為k，則必有（ ） A. k3B. k<3 C. k=3D. k>312.設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（ ） A.|A|2必為1B.|A|必為1 C.A-1=ATD.A的行（列）向量組是正交單位向量組13.設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.則（ ） A.A與B相似 B. A與B不等價 C. A與B有相同的特征值

18、 D. A與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為（ ） A.B. C.D.第二部分 非選擇題（共72分）二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。15. .16.設A=，B=.則A+2B= .17.設A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.設向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關，則a=

19、.19.設A是3×4矩陣，其秩為3，若1，2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為 .20.設A是m×n矩陣，A的秩為r(<n)，則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系中含有解的個數(shù)為 .21.設向量、的長度依次為2和3，則向量+與-的內積（+，-）= .22.設3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個特征值-1和4，則另一特征值為 .23.設矩陣A=，已知=是它的一個特征向量，則所對應的特征值為 .24.設實二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為 .三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）25.設A

20、=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.26.試計算行列式.27.設矩陣A=，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28.給定向量組1=，2=，3=，4=.試判斷4是否為1，2，3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。29.設矩陣A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量組的一個最大線性無關組。30.設矩陣A=的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標準形 f(x1,x2,x3)=，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.設方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2

21、.33.設0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，1，2是其導出組Ax=0的一個基礎解系.試證明（1）1=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； （2）0，1，2線性無關。答案：一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15. 616. 17. 418. 1019. 1+c(2-1)（或2+c(2-1)），c為任意常數(shù)20. n-r21. 522. 223. 124. 三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）25.解（1）ABT=.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64·（-2）=-12826.解 =27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以 B=(A-2E)-1A=28.解一 所以4=21+2+3，組合系數(shù)為（2，1，1）.解二 考慮4=x11+x22+x33，即 方程組有唯一解（2，1，1）T，