2.1多元函數(shù)微分學(xué)ppt課件

1、 多元微積分的概念、理論、方法是一元微多元微積分的概念、理論、方法是一元微積分中相應(yīng)概念、理論、方法的推廣和發(fā)展，積分中相應(yīng)概念、理論、方法的推廣和發(fā)展，它們既有相似之處概念及處理問(wèn)題的思想方它們既有相似之處概念及處理問(wèn)題的思想方法又有許多本質(zhì)的不同，要善于進(jìn)行比較，法又有許多本質(zhì)的不同，要善于進(jìn)行比較，既要認(rèn)識(shí)到它們的共同點(diǎn)和相互聯(lián)系，更要注既要認(rèn)識(shí)到它們的共同點(diǎn)和相互聯(lián)系，更要注意它們的區(qū)別，研究新情況和新問(wèn)題，深刻理意它們的區(qū)別，研究新情況和新問(wèn)題，深刻理解，融會(huì)貫通。解，融會(huì)貫通。 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 在上冊(cè)中，我們討論的是一元函數(shù)微積分，但實(shí)際問(wèn)題中常會(huì)遇到依賴(lài)于兩個(gè)以上自

2、變量的函數(shù)多元函數(shù)，也提出了多元微積分問(wèn)題。 重點(diǎn)重點(diǎn) 多元函數(shù)基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，多元函數(shù)基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)，偏導(dǎo)數(shù)的幾何復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)，偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，多元函數(shù)極值。應(yīng)用，多元函數(shù)極值。難點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，多元函數(shù)極值。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，多元函數(shù)極值。 函數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到函數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到 二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但 從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類(lèi)推，從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類(lèi)推， 因此這里基本上只討論二元函數(shù)。因此這里基本上只討論二元函數(shù)。掌握多元函數(shù)基本概念，會(huì)表示定義

3、域，掌握多元函數(shù)基本概念，會(huì)表示定義域，了解二元極限、連續(xù)了解二元極限、連續(xù)深刻理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，能熟練求出一深刻理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，能熟練求出一階和高階偏導(dǎo)數(shù)，階和高階偏導(dǎo)數(shù)，掌握全微分概念掌握全微分概念會(huì)求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，掌握隱函數(shù)的求會(huì)求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，導(dǎo)方法，會(huì)求曲線的切線、法平面，曲面的切平會(huì)求曲線的切線、法平面，曲面的切平面和法線，面和法線，會(huì)求多元函數(shù)極值會(huì)求多元函數(shù)極值基本要求基本要求（1鄰域鄰域 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)， 是某是某一正數(shù)，與點(diǎn)一正數(shù)，與點(diǎn)),(000yxP距離小于距離小于 的點(diǎn)的點(diǎn)),(yxP的全

4、體，稱(chēng)為點(diǎn)的全體，稱(chēng)為點(diǎn)0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU， ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P（2區(qū)域區(qū)域.)(的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱(chēng)稱(chēng)，的的某某一一鄰鄰域域一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)如如果果存存在在點(diǎn)點(diǎn)是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE 一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念.為為開(kāi)開(kāi)集集則則稱(chēng)稱(chēng)的的點(diǎn)點(diǎn)都都是是內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，如如果果點(diǎn)點(diǎn)集集EE例如，例如，41),(221 yxyxE即為開(kāi)集即為開(kāi)集EP 的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)為為），則則稱(chēng)稱(chēng)可可以以不不屬屬于于，也也本本身身可可以以屬屬于于的的點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)點(diǎn)也也有有不不屬

5、屬于于的的點(diǎn)點(diǎn)，于于的的任任一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)既既有有屬屬如如果果點(diǎn)點(diǎn)EPEEPEEP的邊界的邊界的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為 EE是連通的是連通的開(kāi)集開(kāi)集，則稱(chēng)，則稱(chēng)且該折線上的點(diǎn)都屬于且該折線上的點(diǎn)都屬于連結(jié)起來(lái)，連結(jié)起來(lái)，任何兩點(diǎn)，都可用折線任何兩點(diǎn)，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開(kāi)集如果對(duì)于是開(kāi)集如果對(duì)于設(shè)設(shè)DDDDEP 例如，例如，.41| ),(22 yxyx開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱(chēng)稱(chēng)為為閉閉區(qū)區(qū)域域.例如，例如，.41| ),(22 yxyxxyoxyo則則稱(chēng)稱(chēng)為為無(wú)無(wú)界界點(diǎn)點(diǎn)集集為為有有界界點(diǎn)點(diǎn)集集，否否成成立立，則則稱(chēng)稱(chēng)對(duì)對(duì)一一切切即即，不不超超過(guò)過(guò)間間的的

6、距距離離與與某某一一定定點(diǎn)點(diǎn)，使使一一切切點(diǎn)點(diǎn)如如果果存存在在正正數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于點(diǎn)點(diǎn)集集EEPKAPKAPAEPKE 連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域 41 | ),(22 yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；0| ),( yxyx無(wú)界開(kāi)區(qū)域無(wú)界開(kāi)區(qū)域（3聚點(diǎn)聚點(diǎn) 設(shè)設(shè) E 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P 是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn) P 的任何一個(gè)鄰域內(nèi)總有無(wú)限的任何一個(gè)鄰域內(nèi)總有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集 E，則稱(chēng)，則稱(chēng) P 為為 E 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn).xyo 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)； 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例例10|

7、),(22 yxyx(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn) 點(diǎn)集點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E例如例如,10| ),(22 yxyx(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合例如例如,1| ),(22 yxyx邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合（4n維空間維空間 設(shè)設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱(chēng)為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱(chēng)n元數(shù)組元數(shù)組),(21nxxx的全體為的全體為n維空間，而每個(gè)維空間，而每個(gè)n元數(shù)元數(shù)組組),(21nxxx稱(chēng)為稱(chēng)為n維空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)維空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)ix稱(chēng)為該點(diǎn)的第稱(chēng)為該點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo)

8、. n維空間的記號(hào)為維空間的記號(hào)為;nR n維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離3, 2, 1 n n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念鄰域：鄰域： nRPPPPPU ,|),(00 內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為（5二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義 設(shè)設(shè)D是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)DyxP )

9、,(，變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱(chēng)稱(chēng)z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. . 類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱(chēng)稱(chēng)為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多多元元函函數(shù)數(shù)中中同同樣樣有有定定義義域域、值值域域、自自變變量量、因因變變量量等等概概念念.例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxy

10、xD （6） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域?yàn)闉镈，對(duì)對(duì)于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值為為),(yxfz ，這這樣樣，以以x為為橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)、y為為縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)、z為為豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)在在空空間間就就確確定定一一點(diǎn)點(diǎn)),(zyxM，當(dāng)當(dāng)x取取遍遍D上上一一切切點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，得得一一個(gè)個(gè)空空間間點(diǎn)點(diǎn)集集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這這個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集稱(chēng)稱(chēng)為為二二元元函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.（如右圖）（如右圖）二元函數(shù)的圖形通二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面常是一張曲面.定 義定 義 1 1 設(shè) 函 數(shù)

11、設(shè) 函 數(shù)),(yxfz 的 定 義 域 為的 定 義 域 為),(,000yxPD是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)正數(shù) ，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) ，使得對(duì)于適合不等式，使得對(duì)于適合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切點(diǎn)，都有點(diǎn)，都有 |),(|Ayxf成立，則稱(chēng)成立，則稱(chēng) A A 為函數(shù)為函數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)0 xx ，0yy 時(shí)的極限，時(shí)的極限，記為記為 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）.二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限（1定義中定義中 的方式可能是多種多樣的方式可能是多種多

12、樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從四面八方以可能有所謂極限存在是指當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點(diǎn)時(shí)，函數(shù)都趨的任何方式和任何路徑趨于定點(diǎn)時(shí)，函數(shù)都趨于同一常數(shù)。于同一常數(shù)。這是產(chǎn)生本質(zhì)差異的根本原這是產(chǎn)生本質(zhì)差異的根本原因。因。0PP （2二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似如局部有界性、局部保號(hào)性、夾逼準(zhǔn)則、無(wú)窮小、如局部有界性、局部保號(hào)性、夾逼準(zhǔn)則、無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小代換

13、等，建議自行復(fù)習(xí)，寫(xiě)出有關(guān)結(jié)論等價(jià)無(wú)窮小代換等，建議自行復(fù)習(xí)，寫(xiě)出有關(guān)結(jié)論以鞏固和加深理解。以鞏固和加深理解。說(shuō)明：說(shuō)明：01sin)(lim222200 yxyxyx證證01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例2 2 求證求證 例例3 3 求極求極限限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limyxu2 uuusinli

14、m0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyx例例4 4 證明證明 不存不存在在 26300limyxyxyx 證證取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxP，若若極極限限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，

15、存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言但兩者不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP處極限不存在處極限不存在 定義定義 2 2 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, PD是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ，總 存 在 正 數(shù)總 存 在 正 數(shù) ， 使 得 對(duì) 于 適 合 不 等 式， 使 得 對(duì) 于 適 合 不 等 式 |00PP的 一 切 點(diǎn)的 一 切 點(diǎn)DP ， 都 有， 都 有 |)(|APf成立，則稱(chēng)成立，則稱(chēng) A A 為為n元函數(shù)元函數(shù))(Pf當(dāng)當(dāng)0PP 時(shí)的極限，記為時(shí)的極限，記為 APfPP )(lim0. .n元

16、元函函數(shù)數(shù)的的極極限限利用點(diǎn)函數(shù)的形式有利用點(diǎn)函數(shù)的形式有 設(shè)設(shè)n元元函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域?yàn)闉辄c(diǎn)點(diǎn)集集0, PD是是其其聚聚點(diǎn)點(diǎn)且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 則則稱(chēng)稱(chēng)n元元函函數(shù)數(shù))(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處連連續(xù)續(xù). . 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)，如如果果)(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱(chēng)稱(chēng)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn).例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性解

17、解取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 , 0 ,2 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 220yx 2)0 , 0(),(fyxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性

18、質(zhì)（1最大值和最小值定理最大值和最小值定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次（2介值定理介值定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式

19、子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處處連連續(xù)續(xù)，于于是是點(diǎn)點(diǎn)在在的的定定義義域域的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，則則是是數(shù)數(shù)，且且是是初初等等函函時(shí)時(shí)，如如果果一一般般地地，求求多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念（注意趨近方式的任意性）（注意趨近方式的任意性）多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)

20、函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié) 若若點(diǎn)點(diǎn)),(yx沿沿著著無(wú)無(wú)數(shù)數(shù)多多條條平平面面曲曲線線趨趨向向于于點(diǎn)點(diǎn)),(00yx時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)),(yxf都都趨趨向向于于 A，能能否否斷斷定定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考題思考題不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因?yàn)槿羧≡驗(yàn)槿羧?2yx 244262)(),(yyyyyyf .41思考題解答思考題解答練練 習(xí)習(xí) 題題一一、 填填空空題題: : 1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,則則),(tytxf= =_ _ _ _ _. . 2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,則則 )3, 2(f_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; ), 1(xyf_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf