2.1第一類曲面積分ppt課件

1、第三節(jié) 第一類曲面積分surface integral第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分曲面的面積曲面的面積第一類曲面積分的定義第一類曲面積分的定義第一類曲面積分的計算法第一類曲面積分的計算法小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)一、曲面的面積一、曲面的面積xyzoaa 空間中一平行四邊形空間中一平行四邊形S(面積仍為面積仍為S)投影到投影到xoy平面上仍為平行四邊形平面上仍為平行四邊形(1) 平面圖形的投影平面圖形的投影bbn(面積仍為面積仍為),那那么么?S設設S以以,xyzxyzaa ia ja k bb ib jb k 為鄰邊為鄰邊,則則以以,xyxyaa ia j bb i

2、b j 為鄰邊為鄰邊.對面積的曲面積分對面積的曲面積分yzxyzxyzzxxyaaaaaanabijkbbbbbbAiB jCk是是S的法向量的法向量.且且222SnABC同理同理xyxyaaabCbb所以所以222cosCSABC其中其中為空間平面為空間平面S S的法向量與的法向量與z z軸正向的夾角軸正向的夾角. .即即cosS對面積的曲面積分對面積的曲面積分 如果如果S不是平行四邊形不是平行四邊形,而是位于空間中的任何而是位于空間中的任何一個平面圖形一個平面圖形,則它的面積與它在則它的面積與它在xoy平面上的平面上的投影圖形的面積仍有此關系式投影圖形的面積仍有此關系式:cosS其中其中為

3、兩空間平面圖形的法向量的夾角為兩空間平面圖形的法向量的夾角.結論結論:(1) 當當S的法向量的法向量/nz軸時,S=(2) 當當S的法向量的法向量,0.nz軸時,S的投影為一條線 則對面積的曲面積分對面積的曲面積分 d(2) 設曲面設曲面S的方程為：的方程為：),(yxfz ,dD ,d),( yx點點( , ,( , ).SM x y f x y為上過的切平面,d邊界為準線邊界為準線以以 如圖如圖,),(yxMAds xyzo ;SS截曲面 為,dA為為截切平面截切平面 SddAS 上具有上具有在在Dyxf),(),(),(yxfyxfyx和和連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)設小區(qū)域設小區(qū)域則有則有母線

4、平行于母線平行于z軸的小柱面軸的小柱面,在在xOy面上的投影區(qū)域為面上的投影區(qū)域為D,Sd對面積的曲面積分對面積的曲面積分面面上上的的投投影影在在為為xOyAdd d2211cosyxff d1d22yxffA ),(yxMxyzs o 曲面曲面S S的面積元素的面積元素 cosd A221dcos(),xyxyDDAffdn zxdy曲面曲面S S的面積公式的面積公式 dAdSd,1xynff n對面積的曲面積分對面積的曲面積分(3) 設曲面的方程為設曲面的方程為),(xzhy 曲面面積公式曲面面積公式22,1dcos()zxDzxdzdxAynyzdxy曲面面積公式曲面面積公式(2) 設曲

5、面的方程為設曲面的方程為),(zygx 曲面面積公式曲面面積公式221d d),cos(yzyzDn xdydzAxxy z(1) 設曲面設曲面S的方程為的方程為),(yxfz 221d d),cos(xyxyDn zdxdyAzzx yxyDyzDzxD對面積的曲面積分對面積的曲面積分xyO a a2解解( ,0)x y 求球面求球面,2222azyx 含在圓柱體含在圓柱體axyx 22內部的那部分面積內部的那部分面積.例例1由對稱性知由對稱性知,41AA 第一掛限圖形 221:Dxyax曲面方程曲面方程222yxaz aaaD1axyx 22xyzO222d dax yaxy于是于是, ,

6、221d dxyzzx y曲面面積元素為曲面面積元素為第一象限部分帶第一象限部分帶xoy平面的投影為平面的投影為那那么么,zxzyxzyz 對面積的曲面積分對面積的曲面積分xyO a a2D1 1dd4222Dyxyxaa2242aa 極坐標極坐標 d1d422aayxzzADyxdd14122 02 cosa0yxyxaadd222 yxzzyxdd122 cosa對面積的曲面積分對面積的曲面積分例例222yxz )0(22 aaxyx因曲面方程為因曲面方程為,22yxxzx 22yxyzy 所以所以,2 d2 DA 2 242a oxzy22yxz axyx 22D22yxz 解解221y

7、xzz 截下的有限曲面片的面積截下的有限曲面片的面積.被柱面被柱面求曲面求曲面a對面積的曲面積分對面積的曲面積分實例實例解解 第一步第一步: 將將分為許多極其微小的子域分為許多極其微小的子域,以以dS為代表為代表,dS的質量為的質量為:MMd 第二步第二步: 求和取極限求和取極限 SzyxMd),(那那么么Szyxd),( ,d),(Szyx 取取 所謂曲面光滑所謂曲面光滑即曲面上各點處都即曲面上各點處都有切平面有切平面, ,且當點在且當點在曲面上連續(xù)移動時曲面上連續(xù)移動時, ,切平面也連續(xù)轉動切平面也連續(xù)轉動. .光滑的光滑的,是是若若曲曲面面 它的面密度為連續(xù)函數(shù)它的面密度為連續(xù)函數(shù)),(

8、zyx 求它的質量求它的質量.對面積的曲面積分對面積的曲面積分二、第一類曲面積分的概念與性質二、第一類曲面積分的概念與性質1. 定義定義iS (上上為為設設點點iiiiS ),(,),(iiiiSf ,),(1iiiniiSf ,0時時 iS 函數(shù)函數(shù) f(x, y, z)在在上上任意取定的點任意取定的點,并作和并作和如果當各小塊曲面的直徑如果當各小塊曲面的直徑這和式的極限存在這和式的極限存在,那么那么的最大值的最大值對面積的曲面積分對面積的曲面積分 第第i 小塊曲面的面積小塊曲面的面積),作乘積作乘積設曲面設曲面是光滑的是光滑的,同時也表示同時也表示有界有界.把把 任意分成任意分成n小塊小塊

9、xyOz ),(:yxzz ),(iii ) ,(ii iS xyDxyi)( 在在),(zyxf或或.d),( Szyxf記為記為即即如曲面是如曲面是 曲面元素曲面元素被積函數(shù)被積函數(shù)則積分號寫成則積分號寫成iiiniiSf ),(lim10 Szyxfd),(積分曲面積分曲面iiiniiSf ),(1稱稱極限為函數(shù)極限為函數(shù)上上在曲面在曲面 對面積的曲面積分對面積的曲面積分第一類曲面積分第一類曲面積分. .閉曲面閉曲面, ,對面積的曲面積分對面積的曲面積分注意: 被積表達式都定義在曲面上,即滿足曲面的方程.則則及及可分為分片光滑的曲面可分為分片光滑的曲面若若,21 2. 存在條件存在條件在

10、光滑曲面在光滑曲面上上今后今后, ,假定假定 1d),( Szyxf Szyxfd),(的曲面積分存在的曲面積分存在. .對面積對面積連續(xù)連續(xù), ,),(zyxf當當.),(上上連連續(xù)續(xù)在在 zyxf對面積的曲面積分對面積的曲面積分3. 對面積的曲面積分的性質對面積的曲面積分的性質2( , , )df x y zS 補充補充設分片光滑的設分片光滑的 Szyxfd),(x的奇函數(shù)的奇函數(shù)x的偶函數(shù)的偶函數(shù).d),(21 Szyxf. 0),(:1 zyxx 其中其中 , 0那那么么曲面曲面關于關于x=0(yOz)x=0(yOz)面對稱面對稱, ,為為當當),(zyxf為為當當),(zyxf對面積

11、的曲面積分對面積的曲面積分4. 對面積的曲面積分的幾何意義對面積的曲面積分的幾何意義空間曲面空間曲面的面積的面積: SAd1 d122 Dyxzz5. 對面積的曲面積分的物理意義對面積的曲面積分的物理意義面密度為連續(xù)函數(shù)面密度為連續(xù)函數(shù);d),( SzyxM時時，當當1),( zyxf的質量的質量M為為: 的光滑曲面的光滑曲面),(zyx對面積的曲面積分對面積的曲面積分其質心坐標為其質心坐標為:,d),(1 SzyxxMx,d),(1 SzyxyMy.d),(1 SzyxzMz, yxf Szyxfd),(: 若若曲曲面面那么那么按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：

12、思想是思想是:yxzzSyxdd1d22 化為二重積分計算化為二重積分計算. .),(yxzyxzzyxdd122 xyD),(yxzz (1)對面積的曲面積分對面積的曲面積分三、對面積的曲面積分的計算法三、對面積的曲面積分的計算法注意注意:若若為為xoy平面上的閉區(qū)域時平面上的閉區(qū)域時,( , , )d( , ,0)df x y zSf x y ,zxf Szyxfd),(那么那么 ,zyf Szyxfd),(：若若曲曲面面 那那么么xzDyzD),(zyxzyxxzydd122 (2)(3),(zyxx 對面積的曲面積分對面積的曲面積分:若曲面( , )yy x z( , )y x z22

13、1d dxzyyx z確定投影域并寫出確定投影域并寫出 然后算出曲面面積元素然后算出曲面面積元素;最后將曲面方程代入被積函數(shù)最后將曲面方程代入被積函數(shù),對面積的曲面積分時對面積的曲面積分時, ,首先應根據(jù)首先應根據(jù)化為二化為二曲面曲面選好投影面選好投影面, ,曲面曲面的方程的方程, ,重積分進行計算重積分進行計算. .對面積的曲面積分對面積的曲面積分xyzO例例3 3解解yz 5投影域投影域:25| ),(22 yxyxDxy5,d)( zySzyx為為平平面面其其中中計計算算 2522 yx被柱面被柱面所截得的部分所截得的部分.: 曲面曲面 Szyxd)(xyDy 52yxdd故故 )(yx

14、yxzzSyxdd1d22 對面積的曲面積分對面積的曲面積分 xyDyxxdd)5(2 2125 二重積分二重積分的對稱性的對稱性 xyDyxdd52對稱性對稱性2d dx y例例4 計算計算3z dS22222.zaxyxyax其中為被柱面所截的部分解解:222zaxy:222adxdydSaxy:xy在xoy平面的投影區(qū)域D22xyax則原式則原式=2223222()xyDadxdyaxyaxycos22202()aadad 5532a對面積的曲面積分對面積的曲面積分考慮考慮:若求柱面被若求柱面被球面所截的部分球面所截的部分,怎么辦怎么辦?解解 依對稱性知依對稱性知 成成立立 1 422y

15、xz | xyz.為為偶偶函函數(shù)數(shù)、關關于于xy ,d|Sxyz計計算算).10(22 zyxz為為拋拋物物面面其其中中 例例5 5面面均均對對稱稱；面面、關關于于yOzxOz拋物面拋物面有有對面積的曲面積分對面積的曲面積分被積函數(shù)被積函數(shù)1 為第一卦限部分曲面為第一卦限部分曲面.xyzOyxyxSdd)2()2(1d22 Sxyzd41 xy4極坐標極坐標 d41sincosd41022220 xyD )(22yx yxyxdd)2()2(122 Sxyz d| 積分曲面積分曲面投影域：投影域：0, 0, 1| ),(22 yxyxyxDxy d41d2sin2210502 uuud)41(

16、41251 42015125 u對面積的曲面積分對面積的曲面積分22:(01)zxyz例例6 6所圍成的空間立體的表面所圍成的空間立體的表面. ,dSx計算計算, 122 yx是圓柱面是圓柱面其中其中 02 zxz及及平平面面對面積的曲面積分對面積的曲面積分zxyOzxyOzxyO解解 2d Sx 1 2 3 1d Sx Dyxxdd0 Dyxxdd110 0 z2 xz122 yx投影域投影域1:22 yxD對面積的曲面積分對面積的曲面積分例例所圍成的空間立體的表面所圍成的空間立體的表面. ,dSx計算計算, 122 yx是圓柱面是圓柱面其中其中 02 zxz及及平平面面對稱性對稱性zxyO

17、zxyO(左右兩片投影相同左右兩片投影相同)zxyySzxdd1d22 zxxdd112 Sxd1:223 yx 將投影域選在將投影域選在面上面上xOz注注21xy 分成左、右兩片分成左、右兩片 3d Sx Sxd31 Sxd32 31 2 x2xzDzxxdd112 對面積的曲面積分對面積的曲面積分 zxxxdd122 01 2 x12 xz Sxd 00對稱性對稱性xzO11 例例7,d2Sx 求求2222:azyx 解解積分曲面方程積分曲面方程輪序對稱輪序對稱Szyxd)(222 SzyxSxd)(31d2222 31提示提示即三個變量輪換位置方程不變即三個變量輪換位置方程不變. Sx

18、d22243aa 具有具有輪換對稱性輪換對稱性, ,中的變量中的變量x、y、z3Sd2a對面積的曲面積分對面積的曲面積分zxyO計算曲面積分計算曲面積分SzyxId)(222 其中其中是球面是球面.2222azzyx )0( a解解的方程的方程方程是方程是:222yxaaz 方程是方程是:投影域投影域222:ayxDxy 222yxaaz 記上半球面為記上半球面為,1 下半球面為下半球面為,2 不是單值的不是單值的. .的值的值.對面積的曲面積分對面積的曲面積分對上半球對上半球yxzzSyxdd1d22 yxyxaadd222 得得 1d)(222 Szyx對下半球對下半球 2d)(222 S

19、zyxyxyxayxaaadd)(22222222 222:ayxDxy xyDxyDazzyx2222 是球面是球面yxyxayxaaadd)(22222222 222yxaaz 222yxaaz 對面積的曲面積分對面積的曲面積分所以所以 aaa022203dd4 極坐標極坐標 I 1 2 2223dd4yxayxa48 a yxyxayxaaadd)(22222222 yxyxayxaaadd)(22222222 xyDxyDxyD222:ayxDxy 對面積的曲面積分對面積的曲面積分 對面積的曲面積分的計算對面積的曲面積分的計算 對面積的曲面積分的概念對面積的曲面積分的概念對面積的曲面積

20、分對面積的曲面積分四、小結四、小結四步四步:分割、取近似、求和、取極限分割、取近似、求和、取極限思想思想:化為二重積分計算化為二重積分計算; 對面積的曲面積分的幾何意義與物理意義對面積的曲面積分的幾何意義與物理意義曲面方程三種形式的計算公式曲面方程三種形式的計算公式曲面的面積思考題思考題 定積分、二重積分、三重積分、對弧長的定積分、二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分、對面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為曲線積分、對面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為是非題是非題 niiiPfPf10|)(limd)( .,)( PPPfii為為點點函函數(shù)數(shù)其其中中是是對面積的曲面積分對面積的曲面積分因為若因為若為直線上的區(qū)間

21、為直線上的區(qū)間a, b,),()(xfPf 那那么么故故.)(limd)(d)(10| niiibaPfxxfPf 思考題思考題 定積分、二重積分、三重積分、對弧長的定積分、二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分、對面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為曲線積分、對面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為是非題是非題 niiiPfPf10|)(limd)( .,)( PPPfii為為點點函函數(shù)數(shù)其其中中對面積的曲面積分對面積的曲面積分是是 若若是平面區(qū)域是平面區(qū)域G,),()(yxfPf 那那么么故故 niiiiniiifPf10|10|),(lim)(lim .dd),(yxyxfG 思考題思考題 定積分、二重積分、三重積分、對弧長的定積分、二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分、對面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為曲線積分、對面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為是非題是非題 niiiPfPf10|