選修4-5第二節(jié)不等式證明、柯西不等式與平均值不等式1

1、選選修修4-54-5不不等等式式選選講講第二第二節(jié)節(jié)不等不等式的式的證明、證明、柯西柯西不等不等式與式與平均平均值不值不等式等式抓抓 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)提提 能能 力力明明 考考 向向返回 備考方向要明了備考方向要明了返回返回返回返回返回一、比較法一、比較法1求差比較法求差比較法知道知道abab0，abab0，因此要證明，因此要證明ab，只要證明，只要證明 即可，這種方法稱為求差即可，這種方法稱為求差比較法比較法ab0返回二、分析法二、分析法從所要證明的從所要證明的 出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)

2、明顯成立的事實(shí)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法稱為分實(shí)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法稱為分析法，即析法，即“執(zhí)果索因執(zhí)果索因”的證明方法的證明方法三、綜合法三、綜合法從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理，論證而得出命題成立，這種證明經(jīng)過(guò)一系列的推理，論證而得出命題成立，這種證明方法稱為綜合法即方法稱為綜合法即“由因?qū)す梢驅(qū)す钡姆椒ǖ姆椒ńY(jié)論結(jié)論返回四、放縮法四、放縮法在證明不等式時(shí)，有時(shí)我們要把所證不等式中的某些在證明不等式時(shí)，有時(shí)我們要把所證不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的部

3、分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的這種方法稱為放縮法目的這種方法稱為放縮法返回五、反證法的步驟五、反證法的步驟1作出否定作出否定 的假設(shè)；的假設(shè)；2進(jìn)行推理，導(dǎo)出進(jìn)行推理，導(dǎo)出 ；3否定否定 ，肯定，肯定 結(jié)論結(jié)論矛盾矛盾假設(shè)假設(shè)結(jié)論結(jié)論返回(acbd)2返回2柯西不等式的向量形式：設(shè)柯西不等式的向量形式：設(shè)，為平面上的兩個(gè)向?yàn)槠矫嫔系膬蓚€(gè)向 量，則量，則|，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量 方向相同或相反時(shí)成立方向相同或相反時(shí)成立 返回返回返回返回返回返回返回返回1綜合法與分析法的內(nèi)在聯(lián)系綜合法與分析法的內(nèi)在聯(lián)系綜合法往往是分析法的相反過(guò)程，其表述簡(jiǎn)單、條理清

4、綜合法往往是分析法的相反過(guò)程，其表述簡(jiǎn)單、條理清楚當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，通常把分析法和綜合法結(jié)合起楚當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，通常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)使用，以分析法尋找證明的思路，而用綜合法敘述、來(lái)使用，以分析法尋找證明的思路，而用綜合法敘述、表達(dá)整個(gè)證明過(guò)程表達(dá)整個(gè)證明過(guò)程返回2放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有(1)不等式的傳遞性；不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；等量加不等量為不等量；(3)同分子同分子(分母分母)異分母異分母(分子分子)的兩個(gè)分式大小的比較的兩個(gè)分式大小的比較注意：放縮要適度，注意：放縮要適度，“放放”和和“縮縮”的方向與的方向與“放放”

5、和和“縮縮”的量的大小是由題目分析，多次嘗試得出的量的大小是由題目分析，多次嘗試得出返回返回精析考題精析考題例例1(2011福建高考福建高考)設(shè)不等式設(shè)不等式|2x1|1的解集為的解集為M.(1)求集合求集合M; (2)若若a，bM，試比較，試比較ab1與與ab的大小的大小返回自主解答自主解答(1)由由|2x1|1，得，得12x11，解得解得0 x1，所以，所以Mx|0 x1(2)由由(1)和和a，bM可知可知0a1,0b1.所以所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0, 故故ab1ab.返回本例條件不變，試比較本例條件不變，試比較logm(ab1)與與logm(ab)(m0且且m1)的大小的

6、大小解：解：0a1,0b1，(ab1)(ab)(a1)(b1)0.故故ab1ab.當(dāng)當(dāng)m1時(shí)，時(shí)，ylogmX在在(0，)上遞增，上遞增，logm(ab1)logm(ab)當(dāng)當(dāng)0m1時(shí)時(shí)logmX在在(0，)上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，logm(ab1)logm(ab)返回巧練模擬巧練模擬(課堂突破保分題，分分必保！課堂突破保分題，分分必保！)返回返回返回沖關(guān)錦囊沖關(guān)錦囊 比較法證明不等式最常用的是作差法，其基本步驟是比較法證明不等式最常用的是作差法，其基本步驟是(1)作差；作差；(2)變形；變形；(3)判斷差的符號(hào)；判斷差的符號(hào)；(4)下結(jié)論其中下結(jié)論其中“變變形形”是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連

7、乘積的形式或平方和是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù)的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù).返回精析考題精析考題例例2(2011安徽高考安徽高考)(1)設(shè)設(shè)x1，y1，證明，證明xyxy；(2)設(shè)設(shè)1abc，證明，證明logablogbclogcalogbalogcblogac.返回返回返回返回巧練模擬巧練模擬(課堂突破保分題，分分必保！課堂突破保分題，分分必保！)返回返回4(2012南通二調(diào)南通二調(diào))設(shè)設(shè)x，y，z為正數(shù)，求證：為正數(shù)，求證：2(x3y3 z3)x2(yz)y2(xz)z2(xy)返回證明：證明：因?yàn)橐驗(yàn)閤2y22xy0，

8、所以所以x3y3(xy)(x2xyy2)xy(xy)，同理同理y3z3yz(yz)，z3x3zx(zx)，三式相加即可得三式相加即可得2(x3y3z3)xy(xy)yz(yz)zx(zx)，又因?yàn)橛忠驗(yàn)閤y(xy)yz(yz)zx(zx)x2(yz)y2(xz)z2(xy)所以所以2(x3y3z3)x2(yz)y2(xz)z2(xy)返回返回2分析法證明不等式的注意事項(xiàng)：用分析法證明不等式分析法證明不等式的注意事項(xiàng)：用分析法證明不等式時(shí)，不要把時(shí)，不要把“逆求逆求”錯(cuò)誤地作為錯(cuò)誤地作為“逆推逆推”，分析法的過(guò)程僅，分析法的過(guò)程僅需要尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說(shuō)，需要尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說(shuō)，分析法的思維是逆向思維，因此在證題時(shí)，應(yīng)正確使用