42柯西中值定理與洛必達法則

1、4-2 柯西中值定理與洛必達法則定理定理1 (柯西中值定理柯西中值定理) ,0,.yf xyg xa ba bgxa bf bf afcg bg ag c設與在上連續(xù), 在內(nèi)可導, 且 則必存在一點c使得 .f bf afcg bg agc 思考思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?),(, )()()(bacabcfafbf),(, )()()(bacabcgagbg兩個c 不一定相同錯錯! !上面兩式相比即得結論. )()(agbg)(abgba0, 0)( xg首先，由定理條件證證定理，有應用對lg作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)),()()()()()()()(agxgagbgafbfxfxh上連續(xù)，

2、在顯然，,)(baxh內(nèi)可導，在),(ba)()(bhah且);(af.滿足羅爾定理得條件也就是說h則有),(0)(bcach. 0)()()()()()(cgagbgafbfcf即即定理結論成立 . 證畢柯西定理的幾何意義柯西定理的幾何意義:)()()()()()(cgcfagbgafbf)(cg)(ag)()(tfytgx)(af)(bg)(bf)()(ddtgtfxy注意:xyo弦的斜率切線斜率)(bta 如果當如果當 時，兩個函數(shù)時，兩個函數(shù) 的極限都為零或都趨于無窮大，極限的極限都為零或都趨于無窮大，極限)(xax或)()(xgxf和和)()(lim()()(limxgxfxgxfx

3、ax或 求未定型極限的洛必達法則求未定型極限的洛必達法則. 首先解釋什么是未定型首先解釋什么是未定型. 可能存在，也可能不存在可能存在，也可能不存在通常稱比式通常稱比式 是是 型型未定式未定式.)()(xgxf）或(00, 1sinlim0 xxx例如xxxx1sinlim0不存在），(1sinlim0 xx.sinlim3220 xxxx定理定理2 (洛必達法則洛必達法則) yf xyg xa設與在 點的一個空心鄰域 0,gx內(nèi)有定義,并在該鄰域內(nèi)可導且 limlim0,xaxafxfxg xxagx假若且當時 的 ,f xxag x極限存在 則當時的極限存在 且 limlim.xaxaf

4、xfxg xgx證證: 補充定義, 0)()(agaf在該鄰域內(nèi)任取,ax )()()()()()(agxgafxfxgxf)()(xxcgcf于是，由定理所給條點在內(nèi)）點的一個鄰域內(nèi)（包含在和間，這時aaxgxf)()(.連續(xù).中值定理上應用柯西上或在,axxa)(之間與在xacx)()(limxgxfax)()(limxxaccgcfx)()(limxgxfax)3證畢證畢.例例1 求極限20)1ln(limxxxx解解20)1ln(limxxxxxxx2111lim0 xx11lim210.21)00(例例2 求.123lim2331xxxxxx解解 原式 lim1x型00266lim1

5、xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必達法則 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx定理定理 3 ,yf xyg xra a設與在中可導且 0,0.gxa其中 limlim0,limxxnfxfxg xgx假若且 存在, ,f xxg x 則當時的極限存在 且 limlim.xxf xfxg xgx證明略定理定理 4 yf xyg xa設與在 點的一個空心鄰域 ,0.aaagx中可導,且 lim,lim,limxaxaxafxfxg xgx 假定 且極限 ,f xxag x存在 則當時的極限存在 且 limlim.xaxaf xfxg xgx證明略,x,x 等情形等情

6、形 ，定理仍然成立。，定理仍然成立。,xa_,xa需要指出，如果將需要指出，如果將 換為換為 xa,x例例1 證明, 0)(limxxexp. 1)(nnxxp次多項式，的一個為其中證證nnnnaxaxaxaxp 22110)(設!0)(nayn1322110)2() 1()( nnnnaxnaxnanxaxp2423120) 3)(2()2)(1() 1()( nnnnaxnnaxnnaxnnaxp, , 0)(limxxexp證明證證xxexp)(limxxexp)(limxxexp)(lim xnxexp)(lim)( . 0 其他未定式其他未定式:,0 ,00,1型0解決方法解決方法:

7、通分轉化轉化000取倒數(shù)轉化轉化0010取對數(shù)轉化轉化)()()(補例補例 求).0(lnlim0nxxnx型0解解 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx型. )tan(seclim2xxx解解 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例5 求通分轉化轉化000取倒數(shù)轉化轉化0010取對數(shù)轉化轉化通分)11ln1(lim1xxx例例5 求xxxxxln) 1(ln1lim1.例例4. 求.lim0 xxx型00解解 xxx0limxxxeln0lim0e1利用前利用前 例例通分轉化轉化000取倒數(shù)轉化

8、轉化0010取對數(shù)轉化轉化xxxelnlim00010總結為：)()(limxgxf呈)()(xgxfy 令兩邊取對數(shù)，得)(ln)(lnxfxgy取極限，得)(ln)(limlnlimxfxgy, k)()(limxgxf則ylimyelnlimyelnlim化為, 0,ke)0()0(補例補例求.)sin(lim210 xxxx型1解解21)sin(xxxy 令2sinlnlnxxxy )00(200sinlnlimlnlimxxxyxxxxxxxx2)sin(sinlim0302sincossinlimxxxxxxx302sincoslimxxxxx00 xxx6sinlim0206cossincoslimxxxxxx.61210)sin(limxxxxyx0limyxeln0limyxelnlim0.16e注意注意 (1) 如果極限如果極限 不存在，不能斷定不存在，不能斷定)()(limxgxf )()(limxgxf也不存在，此時不能使用洛必達法則也不存在，此時不能使用洛必達法則.例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx極限不存在)sin1 (limxxx1. )0