輸油管的最優(yōu)布置方案

1、輸油管的最優(yōu)布置方案摘要：本文根據(jù)題目給出兩煉油廠及鐵路線的不同位置，及管線共用與非共用價(jià)格各種情形，要在鐵路線上建立火車站，并求出費(fèi)用最省的管線鋪設(shè)方案。結(jié)合管線鋪設(shè)費(fèi)用的具體不同情況，建立了數(shù)學(xué)模型，數(shù)據(jù)計(jì)算較為準(zhǔn)確，設(shè)計(jì)比較合理。1.2的解）。針對(duì)問題2, 固定了兩廠、鐵路線及城郊分界線的位置，且郊區(qū)只需鋪設(shè)管線費(fèi)用，城區(qū)還需加上拆遷等附加費(fèi)用，對(duì)于附加費(fèi)用，為了提高準(zhǔn)確度，我們采用了三家咨詢公司的平均數(shù)21.67萬元/千米來進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于費(fèi)用最小的計(jì)算，我們采取了光的折射原理來進(jìn)行分析，以城郊線為不同介質(zhì)的分界線，因其在兩部分的施工費(fèi)用不同，可將其看成是光在不同介質(zhì)中產(chǎn)生了折射現(xiàn)象。根

2、據(jù)原理建立模型2，通過求導(dǎo)數(shù)找出其唯一符合條件的極值點(diǎn)，計(jì)算出點(diǎn)O （6.25,0）處建立火車站，管線通過城郊分界線點(diǎn)Q （15，7.2）發(fā)生折射時(shí)費(fèi)用最低，為284.97萬元。針對(duì)問題3，對(duì)于鋪設(shè)管線的費(fèi)用各不相同，且城區(qū)還有附加費(fèi)用。綜合以上兩因素，我們考慮由三個(gè)不同管線鋪設(shè)而成，建立直角坐標(biāo)系，建立模型3，通過求其偏導(dǎo)數(shù)找出其唯一符合條件的駐點(diǎn)，在點(diǎn)O(6.73,0 建立火車站，管線通過城郊分界線點(diǎn)(15,7.28，且在（6.73,0.14）處非共用管線與共用管線相交處，得到總費(fèi)用最低的管線鋪設(shè)方案，總費(fèi)用為252.85萬元。關(guān)鍵詞：管線鋪設(shè) 直角坐標(biāo) 折射原理 費(fèi)用最省一. 問題的重述

3、一直以來，輸油管路徑的選擇是設(shè)計(jì)師要仔細(xì)考慮的問題，路徑必須是是安全的、經(jīng)濟(jì)的、可行的。輸油管道的合理鋪設(shè)直接關(guān)系到成品油的運(yùn)輸成本、操作是否方便快捷等一系列問題。成品油無法外運(yùn)，儲(chǔ)油罐爆滿，在很多單位，因?yàn)槿鄙偃剂嫌投斐蓹C(jī)器不能正常運(yùn)行，盲目的建管造成管道利用率低、成本浪費(fèi)，且給管理帶來不便。管道鋪設(shè)是一項(xiàng)大工程，怎樣才能節(jié)省經(jīng)費(fèi)是工程中的主要問題。所以，布置一條既符合實(shí)際，又能最大限度地節(jié)約經(jīng)費(fèi)的管道是十分必要的。問題（1）兩煉油廠到鐵路線和兩煉油廠間距離的不同情形，以及考慮管道共線與非共線費(fèi)用不同的問題，提出合理的設(shè)計(jì)方案。問題（2）針對(duì)A 、B 兩煉油廠的具體位置、城郊分界線、及各不

4、同方位間的距離（見題目圖），分別為a=5千米、b=8千米、c=15千米、L=20千米。再根據(jù)三家評(píng)估公司給出的城區(qū)拆補(bǔ)費(fèi)用，分別為21萬元/千米、24萬元/千米、20萬元/千米。根據(jù)給出的條件為設(shè)計(jì)院給出管線布置方案和計(jì)算出相應(yīng)的費(fèi)用。問題（3）根據(jù)兩煉油廠的生產(chǎn)能力的不同，這時(shí)輸送A 廠的管線鋪設(shè)費(fèi)用為每千米5.6萬元，輸送B 廠的管線鋪設(shè)費(fèi)用為每千米6.0萬元，共用管線為每千米7.2萬元，拆遷等附加費(fèi)用同上。給出管線的最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。二. 問題的分析根據(jù)題意，求其費(fèi)用最省的管線鋪設(shè)方案，針對(duì)不同的情形，分析問題的出發(fā)點(diǎn)和所要考慮的因?yàn)橐猜杂胁顒e，具體如下：?jiǎn)栴}1 根據(jù)要求，針對(duì)兩

5、煉油廠到鐵路線路的距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形對(duì)問題進(jìn)行綜合考慮，我們重點(diǎn)分析了煉油廠到鐵路的距離對(duì)管道布置的影響，考慮煉油廠A 和煉油廠B 是否共用管線的兩種情形。對(duì)于兩煉油廠之間的距離，由于都建立在同一油田，之間的距離并不是此問的重點(diǎn)，沒有作太多的分析，只說明了它們之間有一個(gè)合理的距離。對(duì)于不共用管線的情形，以鐵路線為X 軸，過火車站O 點(diǎn)且垂直鐵路線為Y 軸建立了直角坐標(biāo)系，假設(shè)A 廠的坐標(biāo)為A （-x,a ）（如圖一所示）。根據(jù)題意列出管線長(zhǎng)度S 關(guān)于x 的函數(shù)關(guān)系式，建立數(shù)學(xué)模型1.1，然后進(jìn)行求函數(shù)的極值點(diǎn)，可求出其最優(yōu)解，因?yàn)椴还灿霉芫€時(shí)費(fèi)用與管線的長(zhǎng)度成正比，所以可得出此

6、為不共用管線時(shí)的費(fèi)用最小值。對(duì)于共用管線情形，以鐵路線為X 軸建立直角坐標(biāo)系，以過A 廠且垂直鐵路線為Y 軸建立了直角坐標(biāo)系，D 點(diǎn)為共用管線與非共用管線的結(jié)合點(diǎn)，假設(shè)D 點(diǎn)的坐標(biāo)為D （x,y ）,A 、B 兩廠之間的水平距離為L(zhǎng) （如圖二所示）。列出Z 關(guān)于x 、y 的方程組，建立數(shù)學(xué)模型1.2，求解其偏導(dǎo)數(shù)，得出其極值點(diǎn)，將其代入Z 中，即可求出管線費(fèi)用的最小值。問題2 對(duì)于兩廠間的距離、兩廠與鐵路線的距離及兩廠與城郊結(jié)合處的距離都給了明確的數(shù)字。針對(duì)問題所求的最少費(fèi)用的方案，根據(jù)郊區(qū)和城區(qū)的施工費(fèi)用不同（郊區(qū)只需管線鋪設(shè)費(fèi)用，城區(qū)需加上附加費(fèi)用），我們采取了光的折射原理來進(jìn)行分析（如圖

7、三所示）。將B 廠關(guān)于鐵路對(duì)稱點(diǎn)B 點(diǎn)找出來，以城郊線為不同介質(zhì)的分界線，因其在兩部分的施工費(fèi)用不同，可將其看成是光在不同介質(zhì)中產(chǎn)生了折射現(xiàn)象。根據(jù)些原理建立模型2，假設(shè)從點(diǎn)A(0,5出發(fā)的管線通過城郊分界處上的點(diǎn)Q （15，y ）發(fā)生折射后到達(dá)點(diǎn)B (20,-8，附加費(fèi)用采用三家工程咨詢公司給出數(shù)據(jù)的平均數(shù)21.67萬元/千米，建立函數(shù)F （y ），通過求導(dǎo)得出其唯一駐點(diǎn)，此時(shí)可求出費(fèi)用的最小值。B 與B關(guān)于鐵路（X 軸）對(duì)稱，在X 軸上方畫出X 軸以下部分對(duì)稱的管線圖，即為費(fèi)用最小的管線施工方案。問題3 對(duì)于鋪設(shè)管線的費(fèi)用各不相同，且城區(qū)還有附加費(fèi)用。綜合以上兩因素，我們考慮由三個(gè)不同管線

8、鋪設(shè)而成（見圖五所示）。同樣的以鐵路線為X 軸，過點(diǎn)A 且垂直鐵路線為Y 軸建立了直角坐標(biāo)系，假設(shè)三管線相交點(diǎn)為N （x,y1）, 城郊分界線上的點(diǎn)為P （15,y2）, 建立模型3，通過求偏導(dǎo)數(shù)找出其極值點(diǎn)，即為費(fèi)用最省的點(diǎn)。三. 模型假設(shè)假設(shè)一 管道在布置過程中，不受高山、湖泊等的影響。假設(shè)二 在施工途中，不考慮材料的浪費(fèi)。假設(shè)三 不考慮除成本和拆補(bǔ)以外的附加費(fèi)用。四. 符號(hào)說明A A廠所在的位置B B廠所在的位置a 表示A 廠到鐵路的距離b 表示B 廠到鐵路的距離x 火車站到A 廠的水平距離L A與B 之間的水平距離O 車站所建的位置S 管線總長(zhǎng)度B B廠以鐵路線為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)Q 城區(qū)

9、與郊區(qū)交界線上任意一點(diǎn)Q 以鐵路線為對(duì)稱軸與點(diǎn)Q 對(duì)稱N 共管線與非共管線的相交點(diǎn)F 管線總費(fèi)用五. 模型的建立與求解模型1.1 根據(jù)問題1給出的提示，兩煉油廠到鐵路線路的距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，并且煉油廠不共管線，鋪設(shè)管線費(fèi)用相同。給出模型1.1 如圖一所示，假設(shè)，兩廠在同一區(qū)域內(nèi)且位置不確定，以車站位置點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得出：S=22x a +22 (x L b -+ (L x , 0因?yàn)镾(x 在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，對(duì)S(x求一階導(dǎo)，S = (2 1(2212222x L x L b L x x x a -+-+ =2222(x L b L x x

10、a x-+-+ 令S =0， 即2222(x L b x L x a x-+-=+， 求得:1x =222a b L aabL -, 2x =222(a b L aabL -+-（2x 與題意不符）因?yàn)橛形ㄒ获v點(diǎn)，所以1x 是S(x取得極小值的點(diǎn)，把1x 代入S 的方程，S=22222222222 (1 ( (1L b b a b b a L a abL a b a ab +-+- 所以得出在到A 廠的水平距離為222a b L aabL -處建立車站O ，此時(shí)管線鋪設(shè)的距離為最小，因?yàn)橘M(fèi)用一致，管線的費(fèi)用與管線的長(zhǎng)度成正比，即管線鋪設(shè)的費(fèi)用最低。模型1.2 根據(jù)問題1給出的提示，兩煉油廠到鐵

11、路線路的距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，并且煉油廠可以共用管線，鋪設(shè)管線費(fèi)用相同。給出模型1.2 如圖二，假設(shè)A,B 兩廠位置任意，且A 廠到鐵路的垂直距離為a; B廠到鐵路的垂直距離為b ；車站到A 廠的水平距離為x ；A ，B 兩廠的水平距離為L(zhǎng).D 為A 、B 兩廠共管線與非共用管線的交點(diǎn)，以鐵路線為X 軸，過A 點(diǎn)且垂直于X 軸的直線為Y 軸，建立直角坐標(biāo)系。依題，寫出總管線長(zhǎng)度S 與x 、y 的函數(shù)關(guān)系式 y y b x L y a x S +-+-+-+=2222 ( ( (利用Matlab 軟件1求S 對(duì)x,y 的偏導(dǎo)2（見附件1）2222( (y b x L L x y a

12、 x x xS-+-+-+=1( ( (2222+-+-+-+-=y b x L b y y a x a y yS并令偏導(dǎo)數(shù)等于0=+-+-+-+-=-+-+-+01 ( (0 ( ( (22222222y b x L b y y a x a y y b x L L x y a x x求得，222336 3(3 3(32/1aL b ab L b a a b L b a L x -+-+-+-=, L b a y 632121+=當(dāng)D 點(diǎn)在所求得的坐標(biāo)（x,y ）時(shí)，S 最小，總費(fèi)用也最少。即車站O 建在坐標(biāo)點(diǎn)0, 336 33(3 3(32/1(222a L b ab L b a a b L

13、 b a L -+-+-+-時(shí)管線的總長(zhǎng)度S 取得最小值。模型2 利用折射定律3原理分析：現(xiàn)在的問題轉(zhuǎn)換為質(zhì)點(diǎn)A 在郊區(qū)和城區(qū)的介質(zhì)沿折線AQB 運(yùn)動(dòng)，所用的費(fèi)用最短，求解折線與鐵路的交點(diǎn)O 的坐標(biāo)。依題可知，車站O 的位置一定在郊區(qū)。再把OQ 關(guān)于鐵路的對(duì)稱線OQ , QB關(guān)于鐵路的直線Q B 求出，可知折線AOQ B 為實(shí)際要求的最短路線；具體分析如圖三： 以鐵路為x 軸，過A 點(diǎn)且垂直x 軸的直線為y 軸，知點(diǎn)A 坐標(biāo)為（0,5）, 點(diǎn)B （20，8），點(diǎn)B （20，8），點(diǎn)Q(15,y, 點(diǎn)Q (15,y。假設(shè)在城區(qū)與郊區(qū)的交界線上點(diǎn)Q 為兩不同介質(zhì)交界處發(fā)生折射的點(diǎn)。8(20,-8鐵

14、路因B 位于城區(qū)在鋪設(shè)管線時(shí)涉及到拆遷和工程補(bǔ)償?shù)荣M(fèi)用，城區(qū)與郊區(qū)的鋪設(shè)管線費(fèi)用不同，我們利用光的折射定律尋找A 向B 傳播時(shí)在交界線發(fā)生折射，這時(shí)A 與B 距離最短。對(duì)于拆補(bǔ)費(fèi)用的測(cè)算，聘請(qǐng)了三家工程咨詢公司進(jìn)行評(píng)估。評(píng)估出來的結(jié)果如下圖所示： 經(jīng)過比較分析，我們?nèi)∵@三家公司的平均值21.67，這個(gè)數(shù)值也比較接近有甲級(jí)資質(zhì)3的公司一，所以具有一定的合理性。A 廠到鐵路的垂直距離為5千米，B 廠到鐵路的垂直距離為8千米，B 是B 關(guān)于鐵路的對(duì)稱點(diǎn)，假定Q 點(diǎn)是城郊分界線上的任意一點(diǎn)，Q 是Q 關(guān)于鐵路的對(duì)稱點(diǎn)。依題意可得管線施工的總費(fèi)用F2222 8( 2015(87. 28 015( 5(2

15、. 7 (+-+-+-=y y y F891687. 28250102. 722+-=y y y y利用Matlab 對(duì)F 求導(dǎo)，得出F 關(guān)于y 的導(dǎo)數(shù)為（見附件二），162(8916200/2887 102(250105/18 (22+-+-='y y y y y y y F令F (x=0時(shí)，F(xiàn)(y有唯一駐點(diǎn)y=-7.2，所以這個(gè)唯一駐點(diǎn)就是F(y取得最小值點(diǎn)看圖，依題求得OA 的斜率5401552. 7-=-=OA K 在費(fèi)用最低時(shí)，利用斜率OA K和斜截式得出直線AQ 的方程：4x+5y-25=0，當(dāng)y=0時(shí)，求解出車站O 的坐標(biāo)（6.25，0）。利用兩點(diǎn)間的距離公式，得AO+O

16、Q =33. 1984. =QB =06. 564. 25=求得最優(yōu)點(diǎn)O 的坐標(biāo)為（6.25，0），即車站建在坐標(biāo)（6.25，0），布置方案為AO OQ Q B 時(shí)路線最短且總費(fèi)用最低. 將y=-7.2代入到F(y中 此時(shí)管線費(fèi)用最低為97. 28479. 14518. 139|(2. 7=+=-=y F y鋪設(shè)管線的具體路線如圖四所示： 模型3.1 在實(shí)際問題中由于兩煉油廠的生產(chǎn)能力不同，位置的差異而引發(fā)管線鋪設(shè)費(fèi) 用拆遷費(fèi)用不同。我們選取N 點(diǎn)為兩煉油廠共用管線的起點(diǎn)，ON 垂直鐵路。P 點(diǎn)在城區(qū)與郊區(qū)的分界線上，過A 點(diǎn)且垂直x 軸的直線為y 軸建立直角坐標(biāo)系。如圖四:(20,-8圖四鐵

17、路已知：A 點(diǎn)坐標(biāo)（0，5），B 點(diǎn)坐標(biāo)（20，8）；N 的坐標(biāo)（x, 1y ）,P 點(diǎn)坐標(biāo)（15，2y ）;AN 的長(zhǎng)度為1a ,PN 的長(zhǎng)度為2a ,PB 的長(zhǎng)度為3a ；A 廠的管線鋪設(shè)費(fèi)是5.6萬元/千米，B 廠的管線鋪設(shè)費(fèi)是6萬元/千米，共用管線費(fèi)為7.2萬元/千米，拆遷等費(fèi)用為21.67萬元/千米。根據(jù)問題一和問題二建立的模型，再結(jié)合題意，得總費(fèi)用F 的方程；22222121221 1520( 8(. 27 15( (62. 7 5(6. 5-+-+-+-+-=y x y y y x y F利用Matlab 對(duì)方程中x, 1y , 2y 求偏導(dǎo)，(見附件三 并令其偏導(dǎo)數(shù)為0，得x=

18、6.73, 1y =0.14, 2y =7.28 .把x=6.73, 1y =0.14, 2y =7.28 代入方程F 中，求出F=252.85萬元 。因?yàn)椋?6. 027. 814. 773. 61514. 028. 7=-=NP K ; 144. 0572. 0152028. 78=-=BP K所以，點(diǎn)P 不在BN 線上。 即車站建立在點(diǎn)O （6.73，0），兩煉油廠共用管線的起點(diǎn)N(6.73，0.14, 城區(qū)與郊區(qū)的分界線點(diǎn)P （15，7.28）處，F(xiàn) 最小，最少花費(fèi)252.85 萬元。 鐵路六 .模型的評(píng)價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)：1. 運(yùn)用了MATLAB 數(shù)學(xué)軟件對(duì)模型進(jìn)行求解，保證了求出的值較為

19、準(zhǔn)確；2. 建立的模型思路新穎、結(jié)構(gòu)清晰，層次分明, 所用的數(shù)學(xué)表達(dá)式含義直觀，易懂；3.根據(jù)建立的模型，我們畫了幾個(gè)模型的簡(jiǎn)圖，清晰地呈現(xiàn)了管線的布置路徑； 模型的缺點(diǎn):1. 為方便計(jì)算，忽略了一些實(shí)際存在，并且會(huì)影響到模型結(jié)果的因素，如：我們假設(shè)鋪設(shè)管道在同一平面上，實(shí)際上這是不可能出現(xiàn)的。2. 沒有考慮施工過程中，如果增加管線的長(zhǎng)度，會(huì)有相應(yīng)工程費(fèi)的支出。七. 參考文獻(xiàn)1 姜健飛 胡良劍 唐儉，數(shù)值分析及其MATLAB 實(shí)驗(yàn)，北京，科技出版社，2004.2 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)下冊(cè)，北京市：高等教育出版社，2005.3 王若鵬，杜建衛(wèi), 數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)案例，北京市：化學(xué)工業(yè)出版社，

20、2009.5 吳建國(guó)，數(shù)學(xué)建模案例精編，北京市，中國(guó)水利水電出版社，2005.附件一：>> syms a b L x y>> eq1=sym('x/sqrt(x2+(a-y2+(x-L/sqrt(L-x2+(b-y2'eq1 =x/sqrt(x2+(a-y2+(x-L/sqrt(L-x2+(b-y2>> eq2=sym('(y-a/sqrt(x2+(a-y2+(y-b/sqrt(L-x2+(b-y2+1'eq2 =(y-a/sqrt(x2+(a-y2+(y-b/sqrt(L-x2+(b-y2+1>> x,y=sol

21、ve(eq1,eq2,x,yWarning: Warning, solutions may have been lostx =1/2/L*(-3*(a-b+1/3*3(1/2*L*b+3*a*(a-b+1/3*3(1/2*L+6*a*b-3*b2+L2-3*a21/2/L*(-3*(a-b-1/3*3(1/2*L*b+3*a*(a-b-1/3*3(1/2*L+6*a*b-3*b2+L2-3*a2y =1/2*a+1/2*b-1/6*3(1/2*L1/2*a+1/2*b+1/6*3(1/2*L附件二：求導(dǎo)> syms y>> diff(7.2*(sqrt(y2-(10*y+25

22、0+28.87*(sqrt(y2+(16*y+89ans =18/5/(y2-10*y+250(1/2*(2*y-10+2887/200/(y2+16*y+89(1/2*(2*y+162. 導(dǎo)數(shù)為零的根>> syms y;>>y=solve('7.2*(y-5/sqrt(y2-(10*y+250+(28.87*(y+8/sqrt(y2+(16*y+89=0'y =附件三：?jiǎn)栴}三(求S 對(duì)x,y1,y2的偏導(dǎo)數(shù)>> syms x y1 y2>>s=5.6*sqrt(5-y12+x2+7.2*y1+6*sqrt(y2-y12+(15-x2+27.67*sqrt(8-y22+(20-152;>> s_x=diff(s,x,s_y1=diff(s,y1,s_y2=diff(s,y2s_x =28/5*x/(25-10*y1+y12+x2(1/2+3/(y22-2*y2*y1+y12+225-30*x+x2(1/2*(-30+2*xs_y1 =14/5/(25-10*y1+y12+x2(1/2*(-10+2*y1+36/5+3/(y22-2*y2*y1+y12+225-30*x+x2(1/2*(-2*y2+2*y1s_y2 =3/(y22-2*y2*y1+y12+225-30*x+x2(1/2*(2