常微分方程中的幾種非線性方程的解法1

1、文山學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）2015年度本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）常微分方程中幾種非線性方程的解法教 學(xué) 系： 數(shù)學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級： 2011級 姓 名： 楊藝芳 學(xué) 號： 20110701011053 導(dǎo)師及職稱： 劉常福 教授 2015年5月畢業(yè)論文（設(shè)計）原創(chuàng)性聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計）是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文（設(shè)計）不包含其他個人已經(jīng)撰寫或發(fā)表過的研究成果。對本論文（設(shè)計）的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中作了明確說明并表示謝意。 作者簽名： 日期： 畢業(yè)論文（設(shè)計）授權(quán)使用說明本論

2、文（設(shè)計）作者完全了解文山學(xué)院有關(guān)保留、使用學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計）的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計）并向相關(guān)部門送交論文（設(shè)計）的電子版和紙質(zhì)版。有權(quán)將論文（設(shè)計）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計）進入學(xué)校圖書館被查閱。學(xué)校可以公布論文（設(shè)計）的全部或部分內(nèi)容。保密的論文（設(shè)計）在解密后適用本規(guī)定。   作者簽名： 指導(dǎo)教師簽名：日期： 日期： 楊藝芳 畢業(yè)論文（設(shè)計）答辯委員會(答辯小組)成員名單姓名職稱單位備注主任（組長）摘 要非線性常微分方程是常微分方程中重要的一部分，源于應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)等許多科學(xué)領(lǐng)域，高階微分方程比二階微分方程研究要困難得多，并且研究還不成熟。鑒于

3、非線性微分方程在理論上和實踐上的重要意義。本文將采用列舉法，對非線性常微分方程的一些解題方法進行分析。如“利用初等積分法與引入變量法”、“首次積分法”“常數(shù)變易法”、“化為線性微分方程求解法”等方法。在說明這些方法的同時，說明這些方法的特點以及解題思路，隨之附上應(yīng)用對應(yīng)方法的例題，在例題的基礎(chǔ)上理解方法的精髓。這種對非線性方程地學(xué)習(xí)，對未來研究非線性方程地解法具有一定的參考價值。關(guān)鍵詞：常微分方程；非線性常微分方程；通解英文目 錄一、引言1二、線性微分方程與非線性微分方程的區(qū)別12.1 線性微分方程12.2 非線性微分方程1三、非線性微分方程的解法23.1 利用初等積分與引入新變量法2 3.1

4、.1 形如型的方程分的兩種情形2 3.1.2 形如型的方程33.1.3 形如型的方程43.2 首次積分法43.3 常數(shù)變易法5 3.3.1 引用定理3.153.3.2 形如型的方程63.3.3 形如型的方程63.3.4 形如型的方程73.4 可化為線性方程法7 3.4.1 通過變換方程化為線性方程的方程7 3.4.2 通過求導(dǎo)運算化為線性的方程8 3.4.3 伯努利方程8 3.4.4 黎卡提方程8 3.4.5 二階非線性方程或型9四、結(jié)束語10參考文獻(xiàn)10致謝11一、引 言在學(xué)習(xí)了常微分方程的基礎(chǔ)上，我們接觸了非線性常微分方程，非線性微分方程對于當(dāng)代大學(xué)生來說，是一個難點。非線性常微分方程是伴

5、隨著微積分學(xué)發(fā)展起來的數(shù)學(xué)分支，發(fā)展得不是很完善，在學(xué)術(shù)界也是一個值得深究的熱題。現(xiàn)在微分方程科學(xué)研究的發(fā)展很快，但以目前國內(nèi)高校微分方程教材的現(xiàn)狀來看，不同程度地存在著內(nèi)容相對滯后的現(xiàn)象。為了能夠更加完整地掌握和了解非線性微分方程，本文將利用幾種特殊的非線性微分方程的解法加以說明，讓更多學(xué)者能夠簡易明了地認(rèn)清非線性微分方程的解法，從而能夠達(dá)到從特殊化到一般化、循序漸進地理解非線性微分方程的本質(zhì)。二、 線性微分方程分與非線性微分方程的區(qū)別2.1 線性微分方程在微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，我們稱這種微分方程為常微分方程；自變量的個數(shù)為兩個或者兩個以上的微分方程為偏微分方程。 如： 是常微分

6、方程，是未知函數(shù)，是自變量。是偏微分方程，是未知函數(shù)，、是自變量。本文將對常微分方程作討論，以下統(tǒng)稱微分方程。一般的階微分方程具有形式 ， (1-1)如果方程（1-1）的左端為及的一次有理整式，則稱（1-1）為線性階微分方程。一般階微分方程具有形式，這里是的已知函數(shù)。2.2 非線性微分方程不是線性微分方程的方程稱為非線性微分方程。例如：是一階非線性微分方程。，等為高階非線性微分方程1。三、 非線性微分方程的解法3.1 利用初等積分與引入新變量法53.1.1 形如型的方程分兩種情形若可以解出，寫為，則通過次積分得通解或例如：型的方程，由上述思想可得：對兩端積分，有：，再積分一次，得：，所以得方程

7、的通解為：例3.1 求二階非線性微分方程的通解。解 依據(jù)題意，將原方程兩端積分得：再積分一次得：所以方程的通解為：若不便從方程中解出時，有時可以寫成參數(shù)方程也即，此時由得，最后的通解的參數(shù)表示為.例3.2 求的通解。解 此方程無法解出，引入?yún)?shù),令,則，所以所以，又，再積分得,故得參數(shù)方程的通解為：3.1.2 形如型的方程這類方程的特點是不顯含自變量。解法是令,且將取作自變量，則有，將以上各式代入原方程，得到對的階方程：例3.3 求方程的解。解 此方程為不顯含自變量，令，則，代入方程得，則得，或。前者對應(yīng)解出；后者對應(yīng)方程解得，對兩邊積分得，即，再積分得因此原方程的解是：及3.1.3 形如型的

8、方程 例如： 型的方程，此類方程的特點是不顯含未知數(shù)。解法是令，則得，故原方程變?yōu)?，設(shè)其通解為，若的原函數(shù)為，則原方程的通解為: （注：對于，令，可以將方程化為不顯含未知函數(shù)的，再令，即可以降低一階。還有兩種特殊觀點下的（1-1）形的齊次型，可參閱文獻(xiàn)5，見習(xí)題。）例3.4 求方程的解。解 此方程不顯含，最低階導(dǎo)數(shù)為，令，代入方程得，再令，代入上式整理得，積分得，即得，或，所以。所以原方程的解：3.2 首次積分法首次積分法。對于正規(guī)形的或稱典范的（階）微分方程組，只要滿足解的存在性條件，則它的首次積分是存在的，若求得它的一個首次積分，則可以將它降低一階，即化為一個個方程的求解問題：若能獲得它的

9、個函數(shù)無關(guān)的首次積分，則可以將它降低階，當(dāng)時，就相當(dāng)于得到了它的通解。具體的求法。是找“可積組合”，即將原方程組中一部分或者全部方程進行重新組合，以獲得可積的一階方程，又是先把原方程寫成對稱形式，再利用熟知的有關(guān)比例的性質(zhì)，使得比較容易找出“可積組合”來。首次積分法能夠?qū)⒏唠A方程不斷降階為低階的方程，求出低階方程，從而就可以求出高階方程的解2。形如微分方程組 (3-1)定理3.15 設(shè)已知微分方程組（3-1）的個獨立的首次積分，則它們構(gòu)成方程組（3-1）的通積分（隱式通解）。若它們可解得含個任意常數(shù)的函數(shù)組則該方程組就是微分方程組（3-1）的通解。微分方程組（3-1）有時寫成對稱形式這樣做的好

10、處是自變量和因變量處于平等的地位，便于求首次積分。例3.5 求方程組的解。解 將方程寫成對稱形式：，按照比例的性質(zhì)，將上面的三個分式的分子、分母、分別相加；再將第一、二、三個分式，分別在分子分母上乘、，再分子相加分母相加，這樣得：，顯然找到了兩個可積組合：，分別產(chǎn)生兩個首次積分：，連立起來，即，為原方程組的隱式通解。3.3 常數(shù)變易法3.3.1 黎卡提方程的常數(shù)變易法 （3-2）這是黎卡提方程（下文會有說明）。根據(jù)常數(shù)變易法，先求它“對應(yīng)”的齊次的解，令 （3-3）代入原方程，有：5分離變量得到：兩邊積分，求出 ，然后代入（3-3）得原方程的通解。 例3.6 求方程。解 先求它“對應(yīng)”的齊次的

11、解，令，代入原方程，有：，兩邊積分，求出，然后代入中得到方程的解為 及(注：個別的一階非線性微分方程，可用常數(shù)變易法求解。)3.3.2 形如的方程 （3-4）解法為：根據(jù)常數(shù)變易法，先求出原方程(3-3)式對應(yīng)的齊次方程：的通解：，令， （3-5）將（3-5）代入（3-4）式有：，即，即，兩邊積分得，然后代入（3-5）得到原方程的通解為：例3.7 求方程的解。解 將原方程改寫為，即，所以根據(jù)上述方法，先解齊次方程的通解為:，令，代入原方程得，即，兩邊積分得，（為任意常數(shù)），且，代回原變量， 所以原方程得通解為：, （為任意常數(shù)）。3.3.3 形如所以型的方程 （3-6）解法為：先求（3-6）中

12、對應(yīng)的方程的通解為：，令，代入原方程化簡后得：，可以得出，所以得出（3-6）的通解為例3.8 求的解。解 依據(jù)上述的方法先解，得它的通解為：，令，代入原方程得：，所以得：所以原方程的通解為：3.3.4 形如型的方程解法為：的通解為，設(shè)原方程的通解為，代入原方程得,即，兩邊積分可得：，代入中可得：3.4 可化為線性方程法 有些微分方程，可以通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q或求導(dǎo)運算化為線性的微分方程，特殊類型采用特定方法，從而利用線性微分方程的的方法對原方程進行求解3。3.4.1 通過變換方程化為線性的方程例3.9 求微分方程的通解。解 原方程可以改寫為，這是一階線性方程，其通解為：3.4.2 通過求導(dǎo)運算化為線

13、性方程的方程例3.10 求方程解。解 對兩邊求導(dǎo)，得即， （3-7）先求出的通解為：，令， （3-8）兩邊求微分：， （3-9）將（3-8）、（3-9）代入（3-7）中得：，故，積分后得到：，故，故原方程的解為3.4.3 伯努力方程形如的方程，稱為伯努力方程，其中、是在某個區(qū)間內(nèi)的已知函數(shù)，對于這類方程，只要借助于變量代換，就可以化為線性方程。做變換，將上式變?yōu)?，然后通過常數(shù)變易法求出解，顯然也是解。例3.11 求方程的解。解 這是的伯努力方程，做變換，常微分方程中的幾種非線性方程的解法代入原方程得，這是以為未知數(shù)的線性方程，它的通解為，整理得，代回原變量，得到方程的通解為，即此外還有特解3.

14、4.4 黎卡提方程形如 (3-10)的方程，稱為黎卡提方程,其中、 是在某個區(qū)間的已知函數(shù)，對于這類方程，解法為：設(shè)方程（3-10）的一個特解為，做變換，代入方程（3-10），化簡得，即變?yōu)椴Ψ匠?，得出通解，在代入中，就可得到方程?-10）的通解2。例3.12 求方程的解。解 將方程變換為，這是黎卡提方程，他有特解，做變換，代入方程得到，兩邊再積分得，此外也是解，所以代回原變量得，原方程的解為：，及3.4.5 形如或 型的方程 (3-11)對于（3-11）式是非線性方程時，我們將非線性化為線性問題求解4。解法為：對于函數(shù)關(guān)于變元和是非線性的。我們假設(shè)函數(shù)在的領(lǐng)域內(nèi)關(guān)于和可展成泰勒級數(shù)，即

15、： 略去關(guān)于和的高次項，就得到一個近似的二階線性微分方程： (3-12)其中，.顯然，、 都是已知的連續(xù)函數(shù)，關(guān)于（3-12）的解法我們已經(jīng)知道，所以方程（3-12）的解就是非線性方程（3-11）的近似解。例3.13 求非線性方程在領(lǐng)域內(nèi)的近似線性方程。解 因為是解析函數(shù)。而，所以將在領(lǐng)域內(nèi)展成冪級數(shù)，有，略去高次項，得到近似的線性方程為： 四、 結(jié)束語本文總結(jié)了，“利用初等積分法與引入變量法”、“首次積分法”“常數(shù)變易法”、“化為線性微分方程求解法”等求解非線性常微分方程的方法，并以實例說明了各種方法的特點，學(xué)習(xí)了這些方法，對非線性方程解法的初步理解有推動作用，這些方法都是針對特殊類型的非線

16、性常微分方程，對于同種類型的非線性常微分方程具有一定的可適性，可用于以后所涉及的同種類型方程的求解。對于具體的復(fù)雜型非線性微分方程地求解方法，將于另文說明。參考文獻(xiàn)1 王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程M.第三版.北京：高等教育出版社，2007，16-29.2 莊萬.常微分方程習(xí)題解M.濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2003.9（2004.4重?。?53-636.3 王壽生，李云珠，張肇?zé)耄?微積分解題方法與技巧M.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1988，142-145.4 王光發(fā)，吳克乾，鄧宗琦，等.常微分方程 M.第二版，湖南：湖南教育出版社，1988，131-132.5 錢祥征.常微分方程解題方法M.湖南：湖南省科學(xué)技術(shù)出版社，1987，109-141.6 任永泰，史希福，等.常微分方程M.沈陽：遼寧人民出版社，1984，4-610致 謝本論文在劉老師的悉心指導(dǎo)下完成的。老師淵博的專業(yè)知識，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，樸實