中考數(shù)學專題特訓第十八講：等腰三角形與直角三角形(含詳細參考答案)

1、中考數(shù)學專題復習第十八講等腰三角形與直角三角形【基礎(chǔ)知識回顧】一、等腰三角形1、定義：有兩邊 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等邊三 角形2、等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰 等腰三角形的兩個底角 簡稱為等腰三角形的頂角平分線 、 互相重合，簡稱為 等腰三角形是軸對稱圖形，它有 條對稱軸，是 3、等腰三角形的判定：定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形 有兩 相等的三角形是等腰三 角形，簡稱【趙老師提醒：1、等腰三角形的性質(zhì)還有：等腰三角形兩腰上的 相等，兩腰上的 相等，兩底角的平分線也相等2、同為等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在題目中往常出現(xiàn)對邊和角的討論問題，討論邊時應注意保

2、證 討論角時應主要底角只被圍 角】4、等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的每個內(nèi)角都 都等于等邊三角形也是 對稱圖形，它有 條對稱軸1、等邊三角形的判定：有三個角相等的三角形是等邊三角形有一個角是 度的 三角形是等邊三角形【趙老師提醒：1、等邊三角形具備等腰三角形的所有性質(zhì)2、有一個角是直角的等腰三角形是 三角形】二、線段的垂直平分線和角的平分線1、線段垂直平分線定義： 一條線段且 這條線段的直線叫做線段的垂直平2、性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到 得距離相等3、判定：到一條線段兩端點距離相等的點在 角的平分線：1、性質(zhì)：角平分線上的點到 得距離相等2、判定：到角兩邊距離相等的 【趙老師提醒：1、線段的

3、垂直平分可以看作是 的點的集合，角平分線可以看作是 的點的2、要移用作一條已知線段的垂直平分線和已知角的角平分線】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若 一 個直角三角形的兩直角邊為 a、b斜邊為c則a、b、c滿足逆定理：若一個三角形的三邊 a、b、c滿足 則這個三角形是直角三角形【趙老師提醒：1、勾股定理在幾何證明和計算中應用非常廣泛，要注意和二次根式的結(jié)合2、勾股定理的逆定理是判斷一個三角形是直角三角形或證明線段垂直的主要依據(jù),3、勾股數(shù)，列舉常見的勾股數(shù)三組2、直角三角形的性質(zhì)：除勾股定理外，直角三角形還有如下性質(zhì)：直角三角形兩銳角 直角三角形斜邊的中線等于 在直角三角形

4、中如果有一個銳角是300,那么它就對 邊是 邊的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形還有如下判定方法：定義法：有一個角是 的三角形是直角三角形有兩個角是 的三角形是直角三角形如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的 這個三角形是直角三角形【趙老師提醒：直角三角形的有關(guān)性質(zhì)在邊形，中均有廣泛應用，要注意這幾條性質(zhì)的熟練掌握和靈活運用】【重點考點例析】考點一：等腰三角形性質(zhì)的運用例1（2012?襄陽）在等腰 ABC 中，/ A=30° , AB=8 ,則 AB 邊上的高 CD的長是.分析：此題需先根據(jù)題意畫出當 AB=AC時，當AB=BC時，當AC=BC時的圖象，然后根

5、 據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形，分別進行計算即可.CD= 1 AC= ><8=4；22(2)當 AB=BC 時,/ ACD=60 ,/ BCD=30 , . CD=cos / BCD?BC=cos30 x 8=4 73 ;(3)當 AC=BC 時，貝U AD=4 , . CD=tan / A?AD=tan30 ?4= ;3故答案為： 33或4m或4。3點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，用到的知識點是等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形， 關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出所有圖形，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系.對應訓練1. （2012?廣安）已知等腰 ABC中，ADLBC于點D,且AD= 1 BC ,

6、則 ABC底角的2度數(shù)為（）A. 45°B, 75°C. 45°或 75°D. 60°1. C分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，注意分別從/BAC是頂角與/ BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)，即可求得答案.解答：解：如圖 1： AB=AC ,. AD ±BC,BD=CD= Ibc, ZADB=90° ,2-AD= -BC,2.AD=BD ,/ B=45 ,即此時 ABC底角的度數(shù)為45°C圖1圖2如圖 2, AC=BC , . AD ±BC,/ ADC=90 ,.AD=.AD=1BC,2

7、1八-AC ,2/ C=30 ,即此時 ABC底角的度數(shù)為75°綜上， ABC底角的度數(shù)為45°或75°.故選C.點評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理.適中，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應用是解此題的關(guān)鍵.此題難度考點二：線段垂直平分線例2 （2012怦節(jié)地區(qū)）如圖.在 RtAABC中，/ A=30° , DE垂直平分斜邊 AC,交AB于D, E是垂足，連接 CD,若BD=1 ,則AC的長是（）A. 273B . 2C. 4桓 D . 4思路分析：求出/ ACB ,根據(jù)線段垂直平分線求出AD=CD ,求出/ ACD、

8、/ DCB ,求出CD、AD、AB ,由勾股定理求出 BC,再求出AC即可.解：. / A=30° , / B=90° ,./ACB=180 -30 -90 =60°,.DE垂直平分斜邊AC ,.AD=CD ,/ A= / ACD=30 ,/ DCB=60 -30 =30° ,.BD=1 ,.-CD=2=AD ,.AB=1+2=3 ,在 BCD中，由勾股定理得：CB= J3 ,在 ABC中，由勾股定理得：AC= VaB2BC2 =2 J3 ,故選A .點評：本題考查了線段垂直平分線，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的應

9、用，主要考查學生運用這些定理進行推理的能力，題目綜合性比較強，難度適中.對應訓練2. （2012須陽）如圖，在 RtAABC中，/ ACB=90° , AB的垂直平分線 DE交于BC的延 長線于F,若/ F=30 , DE=1 ,則EF的長是（）A. 3B. 2C. 33 D. 1C B2. B分析：連接 AF ,求出 AF=BF ,求出/ AFD、/ B,得出/ BAC=30 ,求出 AE,求出 /FAC=/AFE=30 ,推出 AE=EF ,代入求出即可.解答：解：連接AF, . DF是AB的垂直平分線，.AF=BF , . FDXAB ,/ AFD= / BFD=30，/ B=

10、 / FAB=90 -30 =60° , / ACB=90 ,/ BAC=30 , / FAC=60 -30 =30° , .DE=1 ,.AE=2DE=2 , / FAE= / AFD=30 ,EF=AE=2 ,故選B.f a b點評：本題考查了含 30度角的直角三角形，線段垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等知識點的 應用，主要考查學生運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強考點三：等邊三角形的判定與性質(zhì)例3 （2012磴義）如圖， ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由 A 向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點 P同時以相同的速度由 B向

11、CB延長線方向運動(Q不與B重合)，過 P作PELAB于E,連接PQ交AB于D.(1)當/ BQD=30時，求 AP的長；(2)當運動過程中線段 ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段 ED的長；如果變化 請說明理由.Q B思路分析：(1)由4ABC是邊長為6的等邊三角形，可知/ ACB=60 ,再由/ BQD=30可知/ QPC=90 ,設(shè) AP=x,貝U PC=6-x, QB=x,在 RtAQCP 中，/ BQD=30 , PC=- QC2即6-x= (6+x),求出x的值即可；2(2)作QFXAB ,交直線AB的延長線于點F,連接QE, PF,由點P、Q做勻速運動且速 度相同，可知AP

12、=BQ ,再根據(jù)全等三角形的判定定理得出 APEA BQF,再由AE=BF , PE=QF且PE/ QF ,可 知四邊形PEQF是平行四邊形，進而可得出 EB+AE=BE+BF=AB , DE= g AB ,由等邊 ABC 的邊長為6可得出DE=3,故當點P、Q運動時，線段 DE的長度不會改變.解答：解：(1) .ABC是邊長為6的等邊三角形，/ ACB=60 , / BQD=30 ,/ QPC=90 ,設(shè) AP=x ,貝U PC=6-x , QB=x , .QC=QB+BC=6+x , .在 RtQCP 中，/ BQD=30 , PC= -QC,即 6-x= 1 (6+x),解得 x=2;2

13、2A(2)當點P、Q運動時，線段 DE的長度不會改變.理由如下： 如圖，作QFXAB,交直線 AB的延長線于點 F,連接QE, PF, 又 PEXAB 于 E, ./ DFQ= ZAEP=90 , 點P、Q做勻速運動且速度相同，AP=BQ ,.ABC是等邊三角形，Z A=Z ABC= / FBQ=60 , 在4 APE 和 BQF 中， Z A=Z FBQ= / AEP= / BFQ=90 , ./ APE=/ BQF,A FBQAP BQ ,AEP BFQAPEABQF, . AE=BF , PE=QF 且 PE / QF,.四邊形PEQF是平行四邊形，1 DE- EF,2 EB+AE-BE

14、+BF-AB , DE- - AB ,2又等邊 ABC的邊長為6, .DE-3 ,，當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變.平行四邊形的判定與性質(zhì),點評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、 根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.對應訓練3. (2012琳目潭)如圖， ABC是邊長為3的等邊三角形，將 ABC沿直線BC向右平移, 使B點與C點重合，得到 DCE ,連接BD ,交AC于F.(1)猜想AC與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)求線段BD的長.月D3.分析：(1)由平移的性質(zhì)可知 BE-2BC-6 , DE-AC-3 ,故可得出 BD ±

15、DE ,由 /E-/ACB-60 可知AC / DE,故可得出結(jié)論；(2)在RtABDE中利用勾股定理即可得出BD的長.解答：解：(1) ACLBD： DCE由 ABC平移而成，BE-2BC-6 , DE-AC-3 , /E-/ACB-60 ,-DE- 1BE, 21 . BD IDE,2 . / E=/ACB=60 ,3 .AC / DE, .-.BD ±AC ;(2)在 RtABED 中，4 BE=6 , DE=3 ,BD= JBE2 DE2 = J62 32 = 373 .點評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)，熟知圖形平移后的圖形與原圖形全等的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.考

16、點四：角的平分線例 4 （20127W州）如圖，/ AOE= / BOE=15 , EF / OB , ECOB ,若 EC=1，則 EF= B思路分析：作EG LOA于F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG的長度，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/ OEF=/COE=15 ,然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求出/EFG=30 ,利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半解題.解答：解：如圖，作 EGXOA于F,1. EF / OB, ./ OEF=Z COE=15 , . /AOE=15 , ./ EFG=15 +15 =30° , EG=CE=1 , .EF=2X 1=2.故答案為2.點評：本

17、題考查了角平分線的性質(zhì)和含30。角的直角三角形，綜合性較強，是一道好題.對應訓練4. (2012?德)如圖，在 RtAABC 中，/ C=90° , AD 是/ BAC 的平分線，DC=2 ,則 D 到AB邊的距離是.4. 2分析：過D作DEAB于E,得出DE的長度是D到AB邊的距離，根據(jù)角平分線性質(zhì)求 出CD=ED，代入求出即可.解答：解：過 D作DELAB于E,則DE的長度就是 D到AB邊的距離.AD 平分 / CAB , /ACD=90 , DE LAB,DC=DE=2 （角平分線性質(zhì)），故答案為：2.點評：本題考查了對角平分線性質(zhì)的應用，關(guān)鍵是作輔助線 DE,本題比較典型，難

18、度適中.考點五：勾股定理例5（2012?黔西南州）如圖，在 ABC中，/ ACB=90 , D是BC的中點，DELBC,CE / AD ,若AC=2 , CE=4 ,則四邊形 ACEB的周長為.思路分析：先證明四邊形 ACED是平行四邊形，可得 DE=AC=2 .由勾股定理和中線的定義可求AB和EB的長，從而求出四邊形 ACEB的周長.解：/ ACB=90 , DEXBC, .AC / DE.又 CE/ AD ,四邊形ACED是平行四邊形.DE=AC=2 .在RtACDE中，由勾股定理得 CD= JCE61=2 J3 ,. D是BC的中點，BC=2CD=4 J3,在4ABC 中，/ ACB=9

19、0 ,由勾股定理得 AB= VAC2BC2 =2773 , ,. D是BC的中點，DELBC,EB=EC=4 .，四邊形 ACEB 的周長=AC+CE+EB+BA=10+2 尺，故答案為：10+2/3.點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理和中線的定義，注意尋找求AB和EB的長的方法和途徑. 對應訓練5. (2012南疆)如圖所示，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，其中兩個半圓的面25 一積Si=兀，S2=2兀，則S3是8分析：在直角三角形中，利用勾股定理得到 a2+b2=c2,在等式兩邊同時乘以 _ ,變形后得到8S2+S3=S1 ,將已知的Si與S2代入，即可求出 S3的值.解

20、答：解：在直角三角形中，利用勾股定理得：a2+b2=c2,' a2 + b2= c2, 即一 ()2 % H ( ) 2 兀 ( ) 2 71,888222222S2+S3=Sl ,“25 八又 Si=, S2=2 兀，8貝U S3=Si-S2= -2 兀 X一 88,9故答案為：。8點評：此題考查了勾股定理，以及圓的面積求法，利用了轉(zhuǎn)化的思想， 靈活運用勾股定理是 解本題的關(guān)鍵.【聚焦山東中考】1. （2012傣安）如圖，在矩形 ABCD中，AB=2 , BC=4 ,對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點E、O,連接CE,則CE的長為（）A. 3B. 3.5C. 2.5D. 2.

21、80E D月C1. C專題：計算題.分析：根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)可得AE=CE ,設(shè)CE=x ,表示出ED的長度，然后在 RtACDE中，利用勾股定理列式計算即可得解.解答：解：: EO是AC的垂直平分線， .AE=CE , 設(shè) CE=x ,貝U ED=AD-AE=4-x , 在 RtACDE 中，CE A分析：先根據(jù)勾股定理求出OP的長，由于OP=OA,故估算出OP的長，再根據(jù)點 A在x軸的負半軸上即可得出結(jié)論.解答：解：二.點 P坐標為（-2, 3）, .OP=7（ 2）2 32 =13 ,點A、P均在以點。為圓心，以O(shè)P為半徑的圓上， .OA=OP= 13

22、,9< 13V 16,.3< A3 <4.=CD2+ED2, 即 x2=22+ （4-x） 2, 解得x=2.5 , 即CE的長為2.5.故選C.點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，勾股定理的應用，把相應的邊轉(zhuǎn)化為同一個直角三角形的邊是解題的關(guān)鍵.2. （2012?齊寧）如圖，在平面直角坐標系中，點P坐標為（-2, 3）,以點。為圓心，以O(shè)P的長為半徑畫弧，交 x軸的負半軸于點 A,則點A的橫坐標介于（）A. -4和-3之間 B. 3和4之間 C, -5和-4之間 D. 4和5之間pJ1小<,點A在x軸的負半軸上，.點A的橫坐標介于-4和-

23、3之間.故選A .點評：本題考查的是勾股定理及估算無理數(shù)的大小，根據(jù)題意利用勾股定理求出OP的長是解答此題的關(guān)鍵.【備考真題過關(guān)】一、選擇題1. （2012?肇慶）等腰三角形兩邊長分別為4和8,則這個等腰三角形的周長為（）A. 16B. 18C. 20D. 16 或 201. C分析：由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應該分兩種情況進行分析.解答：解：當4為腰時，4+4=8,故此種情況不存在；當8為腰時，8-4<8<8+4,符合題意.故此三角形的周長=8+8+4=20 .故選C.點評：本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三邊關(guān)系，解答此題時注意分類討論，不要漏解.2. （2012律枝花

24、）已知實數(shù) x, y滿足|x-4|+Jy彘 =0,則以x, y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A. 20 或 16B. 20C. 16D.以上答案均不對2. B分析：根據(jù)非負數(shù)的意義列出關(guān)于 x、y的方程并求出x、y的值，再根據(jù)x是腰長和底邊長 兩種情況討論求解.x 4 0x 4解答：解：根據(jù)題意得，解得 ，y 8 8y 8（1）若4是腰長，則三角形的三邊長為：4、4、8,不能組成三角形；（2）若4是底邊長，則三角形的三邊長為：4、8、8,能組成三角形，周長為 4+8+8=20 .故選B.點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、非負數(shù)的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；解題主要利用了非負數(shù)的性質(zhì)，分情況討論

25、求解時要注意利用三角形的三邊關(guān)系對三邊能否組成三角形做出判 斷.根據(jù)題意列出方程是正確解答本題的關(guān)鍵.3. （2012酊西）等腰三角形的頂角為80°,則它的底角是（）A. 20°B. 50°C, 60°D, 80°4. B分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，可以求得其底角的度數(shù).解答：解：二.等腰三角形的一個頂角為80° .底角=（180 -80 °）及=50° .故選B.點評：考查三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)的運用，比較簡單.4. （2012?三明）如圖，在平面直角坐標系中，點O, A為頂點的三角

26、形是等腰三角形，則滿足條件的點A在第一象限，點P在x軸上，若以P,A. 2個B. 3個C. 4個P共有（）D. 5個A4. C分析:解答:分為三種情況： OA=OP ,AP=OP,OA=OA ,分別畫出即可.解：以。為圓心，以O(shè)A為比較畫弧交x軸于點P和P',此時三角形是等腰三角形,）D. 13A. 16B. 15即2個;以A為圓心，以O(shè)A為比較畫弧交x軸于點P（。除外），此時三角形是等腰三角形，即1個；作OA的垂直平分線交x軸于一點R,此時三角形是等腰三角形，即 1個；2+1+1=4 ,故選C.主要考查學生的動手操作能力和理點評：本題考查了等腰三角形的判定和坐標于圖形性質(zhì), 解能力，

27、注意不要漏解啊.5. （2012?本溪）如圖在直角 ABC中，/ BAC=90° , AB=8 , AC=6 , DE是AB邊的垂直平分線，垂足為 D,交邊BC于點E,連接AE,則4ACE的周長為（C. 145.分析：首先連接 AE ,由在直角 ABC中，/ BAC=90° , AB=8 , AC=6 ,利用勾股定理 即可求得BC的長，又由DE是AB邊的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得 AE=BE ,繼而可得 ACE的周長為：BC+AC .解答：解：連接AE, .在 RtAABC 中，/ BAC=90 , AB=8 , AC=6 , bc= Jab2 ac2 =

28、10,.DE是AB邊的垂直平分線，.AE=BE , .ACE 的周長為：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16 故選A .A§EC點評：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與勾股定理.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應用，注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等定理的應用.6. （2012?荊門）如圖， ABC是等邊三角形， P是/ ABC的平分線 BD上一點，PEXAB 于點E,線段BP的垂直平分線交 BC于點F,垂足為點Q.若BF=2,則PE的長為（）A. 2 B , 273C. 73 D , 3B F C6. C分析：先根據(jù) ABC是等邊

29、三角形 P是/ ABC的平分線可知/ EBP=/QBF=30 ,再根據(jù) BF=2 , FQBP可得出 BQ的長，再由 BP=2BQ可求出BP的長，在 RtA BEF中，根據(jù) /EBP=30即可求出 PE的長.解： ABC是等邊三角形 P是/ABC的平分線， ./ EBP=Z QBF=30 ,. BF=2, FQXBP,BQ=BF?cos3 0 =2X 3 =、.32 . FQ是BP的垂直平分線，BP=2BQ=2 屈,在 RtA BEF 中， / EBP=30 , PE= J BP=點.故選C.點評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，熟知等邊三角形的三個內(nèi)角都是 6

30、0。是解答此題的關(guān)鍵.7. （2012?今東南州）如圖，矩形 ABCD中，AB=3 , AD=1 , AB在數(shù)軸上，若以點 A為圓 心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于M,則點M的坐標為（）A.（ 2,0）B. （V51 ,0）C.（>/l01,0）D,（屈，0）DC7. C分析：在RT ABC中利用勾股定理求出 AC,繼而得出AM的長，結(jié)合數(shù)軸的知識可得出 點M的坐標.解答：解：由題意得，ac= Tab2Bc2 JACAd2=71q ,故可得 AM= 曬,BM=AM-AB= 10-3,又點B的坐標為（2, 0）,.點M的坐標為（J10-1 , 0）.故選C.點評：此題考查了勾股

31、定理及坐標軸的知識，屬于基礎(chǔ)題，利用勾股定理求出AC的長度是解答本題的關(guān)鍵，難度一般.1. （2012?銅仁地區(qū)）如圖，在 4ABC中，/ABC和/ACB的平分線交于點 E,過點E作 MN / BC交AB于M ,交AC于N,若BM+CN=9 ,則線段 MN的長為（）A. 6B. 7C. 8D. 9考點：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)。分析：由/ABC、ZACB的平分線相交于點 O, /MBE=/EBC, /ECN=/ECB,利用兩 直線平行，內(nèi)錯角相等，利用等量代換可 / MBE= / MEB , / NEC= / ECN ,然后即 可求得結(jié)論.解答：解：/ABC、/ACB的平分線相交于

32、點 E,/ MBE= / EBC , / ECN= / ECB , MN / BC,/ EBC= / MEB , / NEC= / ECB ,/ MBE= / MEB , / NEC= / ECN , BM=ME , EN=CN , MN=ME+EN , 即 MN=BM+CN . BM+CN=9MN=9 , 故選D.點評：此題考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解與掌握.此題關(guān)鍵是證明 BMO CNO是等腰三角形.2. （2012?佳木斯）如圖， 4ABC 中，AB=AC=10 , BC=8 , AD 平分 / BAC 交 BC 于點 D, 點E為AC的中點，連接 DE,則4CDE

33、的周長為（）A . 20B. 12C. 14D. 13考點：直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的性質(zhì)。分析：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD ±BC, CD=BD,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得de=ce=1ac,然后根據(jù)三角形的周長公式列式計算即可2得解.解答：解：-. AB=AC , AD 平分/BAC, BC=8 ,AD ±BC , CD=BD=BC=4,2點E為AC的中點，DE=CE=AC=5 ,2 ACDE 的周長=CD+DE+CE=4+5+5=14 .故選C.點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)

34、，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵.二、填空題8. （2012碰州）等腰三角形的周長為 16,其一邊長為6,則另兩邊為8. 6和4或5和5分析：此題分為兩種情況：6是等腰三角形的腰或 6是等腰三角形的底邊.然后進一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行分析能否構(gòu)成三角形.解答：解：當腰是 6時，則另兩邊是 4, 6,且4+6>6,滿足三邊關(guān)系定理；當?shù)走吺?時，另兩邊長是 5, 5, 5+5 >6,滿足三邊關(guān)系定理，故該等腰三角形的另兩邊為6和4或5和5.故答案為：6和4或5和5.點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，應從邊的方面考查三角形， 涉及分類討論的思想方法,難度適中.9. （2012?泉州

35、）如圖，在4ABC 中，AB=AC , BC=6 , AD，BC 于 D,貝U BD二9. 3B分析：直接根據(jù)等腰三角形土線合一 ”的性質(zhì)進行解答即可.解答：解： ABC 中，AB=AC , BC=6, AD，BC于D, , " BD= BC= ><6=3 .22故答案為：3.點評：本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)， 上的高相互重合.10. （2012?欽州）已知等腰三角形的頂角為即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊80。，那么它的一個底角為10. 50°分析：已知給出了等腰三角形的頂角等于80。，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理直接可求得答案.解答：

36、解：二.等腰三角形的頂角等于80°,又等腰三角形的底角相等，底角等于（180 -80 °）攵=50°.故答案為：50°.點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)；題目比較簡單，屬于基礎(chǔ)題.11. （2012?黑龍江）等腰三角形一腰長為5, 一邊上的高為4,則底邊長11. 6或2芯或4而分析：根據(jù)不同邊上的高為 4分類討論，即可得到本題的答案.解答：解：如圖1,當AB=AC=5 ,底邊上的高 AD=4時，貝U BD=CD=3 ,故底邊長為6;3 口D1如圖2, 4ABC為銳角三角形，當 AB=AC=5 ,腰上的高 CD=4時,則 AD=3 ,BD

37、=2 , BC= J22 42 = 27 ,.此時底邊長為2,5;D如圖3, AABC為鈍角三角形，當 AB=AC=5 ,腰上的高 CD=4時,則 AD=3 , .BD=8 , BC=。82 424石,故答案為：6或2J5或4遍.點評：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是分三種情況進行討論.12. （2012須陽）如圖，在 ABAi 中，/ B=20°, AB=A 1B,在 A1B 上取一點 C,延長 AA 1 至IA2,使得 A1A2=A1C；在A2c上取一點 D,延長 A1A2至IJA3,使得 A2A3=A2D;，按此 做法進行下去，/ An的度數(shù)80o12.

38、2n 1分析：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出/BAiA的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出/ CA2A1, / DA 3A2及/ EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出/ An的度數(shù).oi80 / BA iA=解答：解：二.在 ABAi 中，/ B=20°, AB=A iB,B 180o 20oo=80 ,2- AiA2=AiC, Z BAiA 是AiA2c 的外角,./ BAiA 80o 。一/ CA2A i =40 ;22同理可得，/DA 3A2=20 °, /EA 4A3=i0°, / A 80乙An=2no故答案為:802n i點評：本題考查的

39、是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出/CA2Ai,/DA 3A2及/ EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.13. （20i2?$南）如圖，在 ABC中，/ B與/ C的平分線交于點 O,過點。作DE/ BC, 分別交 AB、AC于點D、E.若AB=5 , AC=4 ,則 ADE的周長是 .BC13. 9考點：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì).分析：由在 ABC中，/ B與/ C的平分線交于點 O,過點。作DE / BC,易證得 DOB 與EOC是等腰三角形，即 DO=DB , EO=EC,繼而可得 ADE的周長等于 AB+AC ,即可 求得答案.解答：解：二.在 AB

40、C中，/ B與/C的平分線交于點 O,/ DBO= / CBO , / ECO= / BCO , , DE / BC,/ DOB= / CBO , / EOC= / BCO ,/ DBO= / DOB , / ECO= / EOC,，OD=BD , OE=CE, . AB=5 , AC=4 , .ADE 的周長為：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9 .故答案為：9.點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義以及平行線的性質(zhì).此題難度適中，注意證得 DOB與 EOC是等腰三角形是解此題的關(guān)鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與 轉(zhuǎn)化思想的應用

41、.14. （2012徵岡） 如圖，在 ABC中，AB=AC , / A=36° , AB的垂直平分線交 AC于點 巳 垂足為點 D,連接BE,則/ EBC的度數(shù)為 .14. 36°分析：由DE是AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得 AE=BE ,則可求 得/ ABE的度數(shù)，又由AB=AC ,根據(jù)等邊對等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得/ABC的度數(shù)，繼而求得答案.解答：解：: DE是AB的垂直平分線，.AE=BE , ./ ABE= ZA=36° ,o180. AB=AC ,=72/ EBC= / ABC- / ABE=72 -36 =36°

42、 .故答案為：36°.點評：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì).此題比較簡單，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.15. （ 2012霹今東南州）用6根相同長度的木棒在空間中最多可搭成 個正三 角形.15. 4分析：先在平面內(nèi)擺出一個正三角形，然后再在空間又可以搭出三個等邊三角形.解答：解：如圖，用 6根火柴棒搭成正四面體，四個面都是正三角形.故答案為：4.點評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，解答此題時要注意題中是求空間圖形而不是平面圖形.16. （ 2012核州）如圖， ABC中，/ C=90° , / BAC的平分線交 BC于點D,若CD=4 , 則點D到AB的距離是

43、.16. 4分析：過點D作DELAB于點E,然后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得 DE=CD ,即可得解.解答：解：如圖，過點 D作DEXAB于點E,. AD是/ BAC的平分線， DE=CD ,. CD=4 , DE=4 .故答案為：4.點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，作出圖形并熟記性質(zhì)是解題 的關(guān)鍵.17. （2012?佳木斯）等腰三角形一腰長為 5, 一邊上的高為3,則底邊長為 .17. 8或而或3布分析：由已知的是一邊上的高， 分腰上的高于底邊上的高兩種情況，當高為腰上高時，再分銳角三角形與鈍角三角形兩種情況，當三角形為銳角三角形時，如圖所示，在直角三角

44、形 ACD中，由AC及CD的長，利用勾股定理求出 AD的長，由AB-AD求出BD的長，在直 角三角形BDC中，由BD及CD的長，即可求出底邊 BC的長；當三角形為鈍角三角形時， 如圖所示，同理求出 AD的長，由AB+AD求出BD的長，同理求出 BC的長；當高為底邊 上的高時，如圖所示，由三線合一得到 BD=CD ,在直角三角形 ABD中，由AB及AD的長, 利用勾股定理求出 BD的長，由BC=2BD即可求出BC的長，綜上，得到所有滿足題意的底 邊長.在 RtAACD 中，AC=5, CD=3 ,根據(jù)勾股定理得：AD= 7AC2 CD2 =4,BD=AB-AD=5-4=1 ,在 RtABDC 中

45、，CD=3 , BD=1 ,根據(jù)勾股定理得：BC= J DC2 BD2 = 瓦；當?shù)妊切螢殁g角三角形，且CD為腰上的高時,在 RtAACD 中，AC=5 , CD=3 ,根據(jù)勾股定理得：ad= Jac2 cd2 =4,BD=AB+AD=5+4=9 ,在 RtABDC 中，CD=3 , BD=9 ,根據(jù)勾股定理得：BC= JDCBd" =3 JT0 ;當AD為底邊上的高時，如圖所示：,. AB=AC , AD ± BC , BD=CD ,在 RtAABD 中，AD=3 , AB=5 ,根據(jù)勾股定理得：bd= Jab2 ad2 =4,BC=2BD=8 ,綜上，等腰三角形的底

46、邊長為8或JT0或3J10 .故答案為：8或J10或3/0.點評：此題考查了勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，利用了分類討論的數(shù)學思想，要求學 生考慮問題要全面，注意不要漏解.4. （2012?雞西）RtAABC中，Z A=90 °, BC=4 ,有一個內(nèi)角為 60°,點P是直線 AB上不 同于A、B的一點，且/ACP=30°,則PB的長為 4或生代庭蟲 .考點：含30度角的直角三角形；勾股定理。專題：分類討論。°,利用直角三角形的兩 求出/ PCB為60°,可BC的長即可求出分析：分兩種情況考慮：當 /ABC=60°時，如圖所示，由

47、Z ABC=60 銳角互余求出 / CAB=30。，又 / PCA=30。，由 / PCA+ / ACB 得出三角形PCB為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三邊相等，由PB的長；當/ABC=30°時，再分兩種情況： P在A的右邊時，如圖所示，由 / PCA=30 °, / ACB=60 °,根據(jù) / PCA+ / ACB 求出 / PCB 為直角，由 / ABC=30 及 BC的長，利用銳角三角形函數(shù)定義及cos30°的值，即可求出 PB的長；當P在A的左邊時，如圖所示，由 /PCA=30°, Z ACB=60 °,根據(jù)/ ACB - /

48、ACP求出/ PCB為 30°,得到/PCB=/ABC,利用等角對等邊得到 PC=PB,由BC及/ABC=30°,利用 30。所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC的長，再利用勾股定理求出 AB的長，由AB - BP表示出AP,在直角三角形 ACP中，利用勾股定理列出關(guān)于PB的方程，求出方程的解得到 PB的長，綜上，得到所有滿足題意的PB的長.解答：解：分兩種情況考慮：當/ ABC=60。時，如圖所示： / CAB=90 °,/ BCA=30，又/ PCA=30 °,/ PCB=/ PCA+ Z ACB=60 °,又 / ABC=60 °

49、, PCB為等邊三角形，又 BC=4 ,PB=4;當/ ABC=30。時,如圖所示：(i)當P在A的右邊時，如圖所示:. /PCA=30 °, ZACB=60 °,/ PCB=90 °,又/B=30 °, BC=4 ,cosB令，即 cos30°=*,PBPB解得：PB=-=生±_3 ；V3 3 2(ii)當P在A的左邊時，如圖所示：,/PCA=30°, /ACB=60 °,/ BCP=30 °,又 / B=30 °,/ BCP= / B,CP=BP,在 RtAABC 中，/B=30°

50、, BC=4, ACBC=2 ,根據(jù)勾股定理得：AB= 癡 2 _蝮2=2解,AP=AB - PB=2/3- PB,在RtAAPC中，根據(jù)勾股定理得： AC2+AP2=Cp2=BP2, .22+ (27s- BP) 2=BP2,解得：BP=_jb/l,3綜上，BP的長分別為4或g丑或殳L；.31T3故答案為：4或致!或織3331點評：此題考查了含30。直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及銳 角三角函數(shù)定義，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的數(shù)學思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題 的關(guān)鍵.5. (2012?無錫) 如圖，4ABC 中，/ACB=90°, AB=8cm , D 是

51、AB 的中點.現(xiàn)將 4BCD 沿BA方向平移1cm,得到EFG, FG交AC于H,則GH的長等于 3 cm.考點：直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)；平移的性質(zhì)。,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知AD=BD=CD= -AB=4cm ;然后由平移的性質(zhì)推知 GH/CD;最后根據(jù)平行線截線段成比例列出比例式，即可求得GH的長度.解答：解：ABC 中，Z ACB=90 °, AB=8cm , D 是 AB 的中點，AD=BD=CD= 7jAB=4cm ;又 4EFG由4BCD沿BA方向平移1cm得到的，GH / CD, GD=1cm ,DC AD' 4cir

52、4cm解得，GH=3cm ;故答案是：3.點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線、平移的性質(zhì).運用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得相關(guān)線段的長度是解答此題的關(guān)鍵.6. （2012?朝陽）下列說法中正確的序號有. 在RtAABC中，/C=90°, CD為AB邊上的中線，且 CD=2 ,貝U AB=4 ;八邊形的內(nèi)角和度數(shù)約為1080°2、3、4、3這組數(shù)據(jù)的方差為 0.5;1 3K 1r>分式方程-=的解為x=4；MX3已知菱形的一個內(nèi)角為 60°, 一條對角線為23,則另一條對角線長為 2.考點：直角三角形斜邊上的中線；分式方程的解；多邊形內(nèi)角與外

53、角；菱形的性質(zhì)；方差。分析：根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出即可； 根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理把 8代入求出即可； 求出平均數(shù)，再求出方差，比較即可；轉(zhuǎn)化成整式方程，求出方程的解，進行檢驗即可；分為兩種情況，求出對角線的長，即可判斷 .解答：解：.在RtAABCZC=90°, CD為AB邊上的中線，且 CD=2 ,AB=2CD=4 , 正確；八邊形的內(nèi)角和度數(shù)是（8-2） M80°=1080°, . 正確；平均數(shù)是工（2+3+4+3） =3,4，方差是三（23） 2+ （33） 2+ （43） 2+ （33） 2 =0.5, .正確；.1_融-1 -,國 I去分母得：1

54、=3x - 1,解得：x=1,一一 ，9 一一經(jīng)檢驗x=與是原方程的解，. 正確；D四邊形ABCD是菱形，AC ± BD , AO=OC , OD=OB , AB=AD , / BAD=60 °,AABD是等邊三角形，AB=AD=BD , AB=BD=2BO ,分為兩種情況：當 BD=2VS=AB時，BO=J號，由勾股定理得：AO=3, AC=6 ;當AC=2有時,AO=|/3,由勾股定理得：BO=1 , BD=2 ,錯誤；故答案為：.點評：本題考查了菱形的性質(zhì)和判定，解分式方程、平均數(shù)、方差、勾股定理等知識點，主要考查學生的推理能力和計算能力.三、解答題AE / BC , AE 平分/ DAC .18. （ 2012溢陽）如圖，已知 求證：AB=AC .18.分析：根據(jù)角平分線的定義可得/ 1 = /2,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得/ 1 = /B, 兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得/ 2=/C,從而得到/ B=/C,然后根據(jù)等角對等邊即可得證.解答：證明：.AE平分/ DAC ,Z 1 = 7 2,1. AE / BC, ./ 1 = Z B, / 2=Z C, ./ B=Z