中考數(shù)學(xué)專題特訓(xùn)第十八講：等腰三角形與直角三角形(含詳細(xì)參考答案)

1、中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第十八講等腰三角形與直角三角形【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】一、等腰三角形1、定義：有兩邊 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等邊三 角形2、等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰 等腰三角形的兩個(gè)底角 簡稱為等腰三角形的頂角平分線 、 互相重合，簡稱為 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有 條對(duì)稱軸，是 3、等腰三角形的判定：定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形 有兩 相等的三角形是等腰三 角形，簡稱【趙老師提醒：1、等腰三角形的性質(zhì)還有：等腰三角形兩腰上的 相等，兩腰上的 相等，兩底角的平分線也相等2、同為等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在題目中往常出現(xiàn)對(duì)邊和角的討論問題，討論邊時(shí)應(yīng)注意保

2、證 討論角時(shí)應(yīng)主要底角只被圍 角】4、等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都 都等于等邊三角形也是 對(duì)稱圖形，它有 條對(duì)稱軸1、等邊三角形的判定：有三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形有一個(gè)角是 度的 三角形是等邊三角形【趙老師提醒：1、等邊三角形具備等腰三角形的所有性質(zhì)2、有一個(gè)角是直角的等腰三角形是 三角形】二、線段的垂直平分線和角的平分線1、線段垂直平分線定義： 一條線段且 這條線段的直線叫做線段的垂直平2、性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到 得距離相等3、判定：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在 角的平分線：1、性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到 得距離相等2、判定：到角兩邊距離相等的 【趙老師提醒：1、線段的

3、垂直平分可以看作是 的點(diǎn)的集合，角平分線可以看作是 的點(diǎn)的2、要移用作一條已知線段的垂直平分線和已知角的角平分線】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若 一 個(gè)直角三角形的兩直角邊為 a、b斜邊為c則a、b、c滿足逆定理：若一個(gè)三角形的三邊 a、b、c滿足 則這個(gè)三角形是直角三角形【趙老師提醒：1、勾股定理在幾何證明和計(jì)算中應(yīng)用非常廣泛，要注意和二次根式的結(jié)合2、勾股定理的逆定理是判斷一個(gè)三角形是直角三角形或證明線段垂直的主要依據(jù),3、勾股數(shù)，列舉常見的勾股數(shù)三組2、直角三角形的性質(zhì)：除勾股定理外，直角三角形還有如下性質(zhì)：直角三角形兩銳角 直角三角形斜邊的中線等于 在直角三角形

4、中如果有一個(gè)銳角是300,那么它就對(duì) 邊是 邊的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形還有如下判定方法：定義法：有一個(gè)角是 的三角形是直角三角形有兩個(gè)角是 的三角形是直角三角形如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的 這個(gè)三角形是直角三角形【趙老師提醒：直角三角形的有關(guān)性質(zhì)在邊形，中均有廣泛應(yīng)用，要注意這幾條性質(zhì)的熟練掌握和靈活運(yùn)用】【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】考點(diǎn)一：等腰三角形性質(zhì)的運(yùn)用例1（2012?襄陽）在等腰 ABC 中，/ A=30° , AB=8 ,則 AB 邊上的高 CD的長是.分析：此題需先根據(jù)題意畫出當(dāng) AB=AC時(shí)，當(dāng)AB=BC時(shí)，當(dāng)AC=BC時(shí)的圖象，然后根

5、 據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形，分別進(jìn)行計(jì)算即可.CD= 1 AC= ><8=4；22(2)當(dāng) AB=BC 時(shí),/ ACD=60 ,/ BCD=30 , . CD=cos / BCD?BC=cos30 x 8=4 73 ;(3)當(dāng) AC=BC 時(shí)，貝U AD=4 , . CD=tan / A?AD=tan30 ?4= ;3故答案為： 33或4m或4。3點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形， 關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出所有圖形，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1. （2012?廣安）已知等腰 ABC中，ADLBC于點(diǎn)D,且AD= 1 BC ,

6、則 ABC底角的2度數(shù)為（）A. 45°B, 75°C. 45°或 75°D. 60°1. C分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，注意分別從/BAC是頂角與/ BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)，即可求得答案.解答：解：如圖 1： AB=AC ,. AD ±BC,BD=CD= Ibc, ZADB=90° ,2-AD= -BC,2.AD=BD ,/ B=45 ,即此時(shí) ABC底角的度數(shù)為45°C圖1圖2如圖 2, AC=BC , . AD ±BC,/ ADC=90 ,.AD=.AD=1BC,2

7、1八-AC ,2/ C=30 ,即此時(shí) ABC底角的度數(shù)為75°綜上， ABC底角的度數(shù)為45°或75°.故選C.點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理.適中，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.此題難度考點(diǎn)二：線段垂直平分線例2 （2012怦節(jié)地區(qū)）如圖.在 RtAABC中，/ A=30° , DE垂直平分斜邊 AC,交AB于D, E是垂足，連接 CD,若BD=1 ,則AC的長是（）A. 273B . 2C. 4桓 D . 4思路分析：求出/ ACB ,根據(jù)線段垂直平分線求出AD=CD ,求出/ ACD、

8、/ DCB ,求出CD、AD、AB ,由勾股定理求出 BC,再求出AC即可.解：. / A=30° , / B=90° ,./ACB=180 -30 -90 =60°,.DE垂直平分斜邊AC ,.AD=CD ,/ A= / ACD=30 ,/ DCB=60 -30 =30° ,.BD=1 ,.-CD=2=AD ,.AB=1+2=3 ,在 BCD中，由勾股定理得：CB= J3 ,在 ABC中，由勾股定理得：AC= VaB2BC2 =2 J3 ,故選A .點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)

9、用，主要考查學(xué)生運(yùn)用這些定理進(jìn)行推理的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度適中.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2. （2012須陽）如圖，在 RtAABC中，/ ACB=90° , AB的垂直平分線 DE交于BC的延 長線于F,若/ F=30 , DE=1 ,則EF的長是（）A. 3B. 2C. 33 D. 1C B2. B分析：連接 AF ,求出 AF=BF ,求出/ AFD、/ B,得出/ BAC=30 ,求出 AE,求出 /FAC=/AFE=30 ,推出 AE=EF ,代入求出即可.解答：解：連接AF, . DF是AB的垂直平分線，.AF=BF , . FDXAB ,/ AFD= / BFD=30，/ B=

10、 / FAB=90 -30 =60° , / ACB=90 ,/ BAC=30 , / FAC=60 -30 =30° , .DE=1 ,.AE=2DE=2 , / FAE= / AFD=30 ,EF=AE=2 ,故選B.f a b點(diǎn)評(píng)：本題考查了含 30度角的直角三角形，線段垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的 應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)考點(diǎn)三：等邊三角形的判定與性質(zhì)例3 （2012磴義）如圖， ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由 A 向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點(diǎn)，與點(diǎn) P同時(shí)以相同的速度由 B向

11、CB延長線方向運(yùn)動(dòng)(Q不與B重合)，過 P作PELAB于E,連接PQ交AB于D.(1)當(dāng)/ BQD=30時(shí)，求 AP的長；(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)過程中線段 ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段 ED的長；如果變化 請(qǐng)說明理由.Q B思路分析：(1)由4ABC是邊長為6的等邊三角形，可知/ ACB=60 ,再由/ BQD=30可知/ QPC=90 ,設(shè) AP=x,貝U PC=6-x, QB=x,在 RtAQCP 中，/ BQD=30 , PC=- QC2即6-x= (6+x),求出x的值即可；2(2)作QFXAB ,交直線AB的延長線于點(diǎn)F,連接QE, PF,由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速 度相同，可知AP

12、=BQ ,再根據(jù)全等三角形的判定定理得出 APEA BQF,再由AE=BF , PE=QF且PE/ QF ,可 知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出 EB+AE=BE+BF=AB , DE= g AB ,由等邊 ABC 的邊長為6可得出DE=3,故當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段 DE的長度不會(huì)改變.解答：解：(1) .ABC是邊長為6的等邊三角形，/ ACB=60 , / BQD=30 ,/ QPC=90 ,設(shè) AP=x ,貝U PC=6-x , QB=x , .QC=QB+BC=6+x , .在 RtQCP 中，/ BQD=30 , PC= -QC,即 6-x= 1 (6+x),解得 x=2;2

13、2A(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段 DE的長度不會(huì)改變.理由如下： 如圖，作QFXAB,交直線 AB的延長線于點(diǎn) F,連接QE, PF, 又 PEXAB 于 E, ./ DFQ= ZAEP=90 , 點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，AP=BQ ,.ABC是等邊三角形，Z A=Z ABC= / FBQ=60 , 在4 APE 和 BQF 中， Z A=Z FBQ= / AEP= / BFQ=90 , ./ APE=/ BQF,A FBQAP BQ ,AEP BFQAPEABQF, . AE=BF , PE=QF 且 PE / QF,.四邊形PEQF是平行四邊形，1 DE- EF,2 EB+AE-BE

14、+BF-AB , DE- - AB ,2又等邊 ABC的邊長為6, .DE-3 ,，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度不會(huì)改變.平行四邊形的判定與性質(zhì),點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、 根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練3. (2012琳目潭)如圖， ABC是邊長為3的等邊三角形，將 ABC沿直線BC向右平移, 使B點(diǎn)與C點(diǎn)重合，得到 DCE ,連接BD ,交AC于F.(1)猜想AC與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)求線段BD的長.月D3.分析：(1)由平移的性質(zhì)可知 BE-2BC-6 , DE-AC-3 ,故可得出 BD ±

15、DE ,由 /E-/ACB-60 可知AC / DE,故可得出結(jié)論；(2)在RtABDE中利用勾股定理即可得出BD的長.解答：解：(1) ACLBD： DCE由 ABC平移而成，BE-2BC-6 , DE-AC-3 , /E-/ACB-60 ,-DE- 1BE, 21 . BD IDE,2 . / E=/ACB=60 ,3 .AC / DE, .-.BD ±AC ;(2)在 RtABED 中，4 BE=6 , DE=3 ,BD= JBE2 DE2 = J62 32 = 373 .點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)，熟知圖形平移后的圖形與原圖形全等的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.考

16、點(diǎn)四：角的平分線例 4 （20127W州）如圖，/ AOE= / BOE=15 , EF / OB , ECOB ,若 EC=1，則 EF= B思路分析：作EG LOA于F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG的長度，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/ OEF=/COE=15 ,然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求出/EFG=30 ,利用30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半解題.解答：解：如圖，作 EGXOA于F,1. EF / OB, ./ OEF=Z COE=15 , . /AOE=15 , ./ EFG=15 +15 =30° , EG=CE=1 , .EF=2X 1=2.故答案為2.點(diǎn)評(píng)：本

17、題考查了角平分線的性質(zhì)和含30。角的直角三角形，綜合性較強(qiáng)，是一道好題.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練4. (2012?德)如圖，在 RtAABC 中，/ C=90° , AD 是/ BAC 的平分線，DC=2 ,則 D 到AB邊的距離是.4. 2分析：過D作DEAB于E,得出DE的長度是D到AB邊的距離，根據(jù)角平分線性質(zhì)求 出CD=ED，代入求出即可.解答：解：過 D作DELAB于E,則DE的長度就是 D到AB邊的距離.AD 平分 / CAB , /ACD=90 , DE LAB,DC=DE=2 （角平分線性質(zhì)），故答案為：2.點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是作輔助線 DE,本題比較典型，難

18、度適中.考點(diǎn)五：勾股定理例5（2012?黔西南州）如圖，在 ABC中，/ ACB=90 , D是BC的中點(diǎn)，DELBC,CE / AD ,若AC=2 , CE=4 ,則四邊形 ACEB的周長為.思路分析：先證明四邊形 ACED是平行四邊形，可得 DE=AC=2 .由勾股定理和中線的定義可求AB和EB的長，從而求出四邊形 ACEB的周長.解：/ ACB=90 , DEXBC, .AC / DE.又 CE/ AD ,四邊形ACED是平行四邊形.DE=AC=2 .在RtACDE中，由勾股定理得 CD= JCE61=2 J3 ,. D是BC的中點(diǎn)，BC=2CD=4 J3,在4ABC 中，/ ACB=9

19、0 ,由勾股定理得 AB= VAC2BC2 =2773 , ,. D是BC的中點(diǎn)，DELBC,EB=EC=4 .，四邊形 ACEB 的周長=AC+CE+EB+BA=10+2 尺，故答案為：10+2/3.點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理和中線的定義，注意尋找求AB和EB的長的方法和途徑. 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練5. (2012南疆)如圖所示，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，其中兩個(gè)半圓的面25 一積Si=兀，S2=2兀，則S3是8分析：在直角三角形中，利用勾股定理得到 a2+b2=c2,在等式兩邊同時(shí)乘以 _ ,變形后得到8S2+S3=S1 ,將已知的Si與S2代入，即可求出 S3的值.解

20、答：解：在直角三角形中，利用勾股定理得：a2+b2=c2,' a2 + b2= c2, 即一 ()2 % H ( ) 2 兀 ( ) 2 71,888222222S2+S3=Sl ,“25 八又 Si=, S2=2 兀，8貝U S3=Si-S2= -2 兀 X一 88,9故答案為：。8點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理，以及圓的面積求法，利用了轉(zhuǎn)化的思想， 靈活運(yùn)用勾股定理是 解本題的關(guān)鍵.【聚焦山東中考】1. （2012傣安）如圖，在矩形 ABCD中，AB=2 , BC=4 ,對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E、O,連接CE,則CE的長為（）A. 3B. 3.5C. 2.5D. 2.

21、80E D月C1. C專題：計(jì)算題.分析：根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)可得AE=CE ,設(shè)CE=x ,表示出ED的長度，然后在 RtACDE中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解.解答：解：: EO是AC的垂直平分線， .AE=CE , 設(shè) CE=x ,貝U ED=AD-AE=4-x , 在 RtACDE 中，CE A分析：先根據(jù)勾股定理求出OP的長，由于OP=OA,故估算出OP的長，再根據(jù)點(diǎn) A在x軸的負(fù)半軸上即可得出結(jié)論.解答：解：二.點(diǎn) P坐標(biāo)為（-2, 3）, .OP=7（ 2）2 32 =13 ,點(diǎn)A、P均在以點(diǎn)。為圓心，以O(shè)P為半徑的圓上， .OA=OP= 13

22、,9< 13V 16,.3< A3 <4.=CD2+ED2, 即 x2=22+ （4-x） 2, 解得x=2.5 , 即CE的長為2.5.故選C.點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，把相應(yīng)的邊轉(zhuǎn)化為同一個(gè)直角三角形的邊是解題的關(guān)鍵.2. （2012?齊寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2, 3）,以點(diǎn)。為圓心，以O(shè)P的長為半徑畫弧，交 x軸的負(fù)半軸于點(diǎn) A,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)介于（）A. -4和-3之間 B. 3和4之間 C, -5和-4之間 D. 4和5之間pJ1小<,點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，.點(diǎn)A的橫坐標(biāo)介于-4和-

23、3之間.故選A .點(diǎn)評(píng)：本題考查的是勾股定理及估算無理數(shù)的大小，根據(jù)題意利用勾股定理求出OP的長是解答此題的關(guān)鍵.【備考真題過關(guān)】一、選擇題1. （2012?肇慶）等腰三角形兩邊長分別為4和8,則這個(gè)等腰三角形的周長為（）A. 16B. 18C. 20D. 16 或 201. C分析：由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析.解答：解：當(dāng)4為腰時(shí)，4+4=8,故此種情況不存在；當(dāng)8為腰時(shí)，8-4<8<8+4,符合題意.故此三角形的周長=8+8+4=20 .故選C.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三邊關(guān)系，解答此題時(shí)注意分類討論，不要漏解.2. （2012律枝花

24、）已知實(shí)數(shù) x, y滿足|x-4|+Jy彘 =0,則以x, y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A. 20 或 16B. 20C. 16D.以上答案均不對(duì)2. B分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義列出關(guān)于 x、y的方程并求出x、y的值，再根據(jù)x是腰長和底邊長 兩種情況討論求解.x 4 0x 4解答：解：根據(jù)題意得，解得 ，y 8 8y 8（1）若4是腰長，則三角形的三邊長為：4、4、8,不能組成三角形；（2）若4是底邊長，則三角形的三邊長為：4、8、8,能組成三角形，周長為 4+8+8=20 .故選B.點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；解題主要利用了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，分情況討論

25、求解時(shí)要注意利用三角形的三邊關(guān)系對(duì)三邊能否組成三角形做出判 斷.根據(jù)題意列出方程是正確解答本題的關(guān)鍵.3. （2012酊西）等腰三角形的頂角為80°,則它的底角是（）A. 20°B. 50°C, 60°D, 80°4. B分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，可以求得其底角的度數(shù).解答：解：二.等腰三角形的一個(gè)頂角為80° .底角=（180 -80 °）及=50° .故選B.點(diǎn)評(píng)：考查三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，比較簡單.4. （2012?三明）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O, A為頂點(diǎn)的三角

26、形是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)P在x軸上，若以P,A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)P共有（）D. 5個(gè)A4. C分析:解答:分為三種情況： OA=OP ,AP=OP,OA=OA ,分別畫出即可.解：以。為圓心，以O(shè)A為比較畫弧交x軸于點(diǎn)P和P',此時(shí)三角形是等腰三角形,）D. 13A. 16B. 15即2個(gè);以A為圓心，以O(shè)A為比較畫弧交x軸于點(diǎn)P（。除外），此時(shí)三角形是等腰三角形，即1個(gè)；作OA的垂直平分線交x軸于一點(diǎn)R,此時(shí)三角形是等腰三角形，即 1個(gè)；2+1+1=4 ,故選C.主要考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力和理點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定和坐標(biāo)于圖形性質(zhì), 解能力，

27、注意不要漏解啊.5. （2012?本溪）如圖在直角 ABC中，/ BAC=90° , AB=8 , AC=6 , DE是AB邊的垂直平分線，垂足為 D,交邊BC于點(diǎn)E,連接AE,則4ACE的周長為（C. 145.分析：首先連接 AE ,由在直角 ABC中，/ BAC=90° , AB=8 , AC=6 ,利用勾股定理 即可求得BC的長，又由DE是AB邊的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得 AE=BE ,繼而可得 ACE的周長為：BC+AC .解答：解：連接AE, .在 RtAABC 中，/ BAC=90 , AB=8 , AC=6 , bc= Jab2 ac2 =

28、10,.DE是AB邊的垂直平分線，.AE=BE , .ACE 的周長為：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16 故選A .A§EC點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與勾股定理.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等定理的應(yīng)用.6. （2012?荊門）如圖， ABC是等邊三角形， P是/ ABC的平分線 BD上一點(diǎn)，PEXAB 于點(diǎn)E,線段BP的垂直平分線交 BC于點(diǎn)F,垂足為點(diǎn)Q.若BF=2,則PE的長為（）A. 2 B , 273C. 73 D , 3B F C6. C分析：先根據(jù) ABC是等邊

29、三角形 P是/ ABC的平分線可知/ EBP=/QBF=30 ,再根據(jù) BF=2 , FQBP可得出 BQ的長，再由 BP=2BQ可求出BP的長，在 RtA BEF中，根據(jù) /EBP=30即可求出 PE的長.解： ABC是等邊三角形 P是/ABC的平分線， ./ EBP=Z QBF=30 ,. BF=2, FQXBP,BQ=BF?cos3 0 =2X 3 =、.32 . FQ是BP的垂直平分線，BP=2BQ=2 屈,在 RtA BEF 中， / EBP=30 , PE= J BP=點(diǎn).故選C.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，熟知等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是 6

30、0。是解答此題的關(guān)鍵.7. （2012?今東南州）如圖，矩形 ABCD中，AB=3 , AD=1 , AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn) A為圓 心，對(duì)角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A.（ 2,0）B. （V51 ,0）C.（>/l01,0）D,（屈，0）DC7. C分析：在RT ABC中利用勾股定理求出 AC,繼而得出AM的長，結(jié)合數(shù)軸的知識(shí)可得出 點(diǎn)M的坐標(biāo).解答：解：由題意得，ac= Tab2Bc2 JACAd2=71q ,故可得 AM= 曬,BM=AM-AB= 10-3,又點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2, 0）,.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（J10-1 , 0）.故選C.點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股

31、定理及坐標(biāo)軸的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，利用勾股定理求出AC的長度是解答本題的關(guān)鍵，難度一般.1. （2012?銅仁地區(qū)）如圖，在 4ABC中，/ABC和/ACB的平分線交于點(diǎn) E,過點(diǎn)E作 MN / BC交AB于M ,交AC于N,若BM+CN=9 ,則線段 MN的長為（）A. 6B. 7C. 8D. 9考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)。分析：由/ABC、ZACB的平分線相交于點(diǎn) O, /MBE=/EBC, /ECN=/ECB,利用兩 直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等量代換可 / MBE= / MEB , / NEC= / ECN ,然后即 可求得結(jié)論.解答：解：/ABC、/ACB的平分線相交于

32、點(diǎn) E,/ MBE= / EBC , / ECN= / ECB , MN / BC,/ EBC= / MEB , / NEC= / ECB ,/ MBE= / MEB , / NEC= / ECN , BM=ME , EN=CN , MN=ME+EN , 即 MN=BM+CN . BM+CN=9MN=9 , 故選D.點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解與掌握.此題關(guān)鍵是證明 BMO CNO是等腰三角形.2. （2012?佳木斯）如圖， 4ABC 中，AB=AC=10 , BC=8 , AD 平分 / BAC 交 BC 于點(diǎn) D, 點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接 DE,則4CDE

33、的周長為（）A . 20B. 12C. 14D. 13考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的性質(zhì)。分析：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD ±BC, CD=BD,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得de=ce=1ac,然后根據(jù)三角形的周長公式列式計(jì)算即可2得解.解答：解：-. AB=AC , AD 平分/BAC, BC=8 ,AD ±BC , CD=BD=BC=4,2點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，DE=CE=AC=5 ,2 ACDE 的周長=CD+DE+CE=4+5+5=14 .故選C.點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)

34、，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.二、填空題8. （2012碰州）等腰三角形的周長為 16,其一邊長為6,則另兩邊為8. 6和4或5和5分析：此題分為兩種情況：6是等腰三角形的腰或 6是等腰三角形的底邊.然后進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析能否構(gòu)成三角形.解答：解：當(dāng)腰是 6時(shí)，則另兩邊是 4, 6,且4+6>6,滿足三邊關(guān)系定理；當(dāng)?shù)走吺?時(shí)，另兩邊長是 5, 5, 5+5 >6,滿足三邊關(guān)系定理，故該等腰三角形的另兩邊為6和4或5和5.故答案為：6和4或5和5.點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，應(yīng)從邊的方面考查三角形， 涉及分類討論的思想方法,難度適中.9. （2012?泉州

35、）如圖，在4ABC 中，AB=AC , BC=6 , AD，BC 于 D,貝U BD二9. 3B分析：直接根據(jù)等腰三角形土線合一 ”的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.解答：解： ABC 中，AB=AC , BC=6, AD，BC于D, , " BD= BC= ><6=3 .22故答案為：3.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)， 上的高相互重合.10. （2012?欽州）已知等腰三角形的頂角為即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊80。，那么它的一個(gè)底角為10. 50°分析：已知給出了等腰三角形的頂角等于80。，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理直接可求得答案.解答：

36、解：二.等腰三角形的頂角等于80°,又等腰三角形的底角相等，底角等于（180 -80 °）攵=50°.故答案為：50°.點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)；題目比較簡單，屬于基礎(chǔ)題.11. （2012?黑龍江）等腰三角形一腰長為5, 一邊上的高為4,則底邊長11. 6或2芯或4而分析：根據(jù)不同邊上的高為 4分類討論，即可得到本題的答案.解答：解：如圖1,當(dāng)AB=AC=5 ,底邊上的高 AD=4時(shí)，貝U BD=CD=3 ,故底邊長為6;3 口D1如圖2, 4ABC為銳角三角形，當(dāng) AB=AC=5 ,腰上的高 CD=4時(shí),則 AD=3 ,BD

37、=2 , BC= J22 42 = 27 ,.此時(shí)底邊長為2,5;D如圖3, AABC為鈍角三角形，當(dāng) AB=AC=5 ,腰上的高 CD=4時(shí),則 AD=3 , .BD=8 , BC=。82 424石,故答案為：6或2J5或4遍.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是分三種情況進(jìn)行討論.12. （2012須陽）如圖，在 ABAi 中，/ B=20°, AB=A 1B,在 A1B 上取一點(diǎn) C,延長 AA 1 至IA2,使得 A1A2=A1C；在A2c上取一點(diǎn) D,延長 A1A2至IJA3,使得 A2A3=A2D;，按此 做法進(jìn)行下去，/ An的度數(shù)80o12.

38、2n 1分析：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出/BAiA的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出/ CA2A1, / DA 3A2及/ EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出/ An的度數(shù).oi80 / BA iA=解答：解：二.在 ABAi 中，/ B=20°, AB=A iB,B 180o 20oo=80 ,2- AiA2=AiC, Z BAiA 是AiA2c 的外角,./ BAiA 80o 。一/ CA2A i =40 ;22同理可得，/DA 3A2=20 °, /EA 4A3=i0°, / A 80乙An=2no故答案為:802n i點(diǎn)評(píng)：本題考查的

39、是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出/CA2Ai,/DA 3A2及/ EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.13. （20i2?$南）如圖，在 ABC中，/ B與/ C的平分線交于點(diǎn) O,過點(diǎn)。作DE/ BC, 分別交 AB、AC于點(diǎn)D、E.若AB=5 , AC=4 ,則 ADE的周長是 .BC13. 9考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì).分析：由在 ABC中，/ B與/ C的平分線交于點(diǎn) O,過點(diǎn)。作DE / BC,易證得 DOB 與EOC是等腰三角形，即 DO=DB , EO=EC,繼而可得 ADE的周長等于 AB+AC ,即可 求得答案.解答：解：二.在 AB

40、C中，/ B與/C的平分線交于點(diǎn) O,/ DBO= / CBO , / ECO= / BCO , , DE / BC,/ DOB= / CBO , / EOC= / BCO ,/ DBO= / DOB , / ECO= / EOC,，OD=BD , OE=CE, . AB=5 , AC=4 , .ADE 的周長為：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9 .故答案為：9.點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義以及平行線的性質(zhì).此題難度適中，注意證得 DOB與 EOC是等腰三角形是解此題的關(guān)鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

41、.14. （2012徵岡） 如圖，在 ABC中，AB=AC , / A=36° , AB的垂直平分線交 AC于點(diǎn) 巳 垂足為點(diǎn) D,連接BE,則/ EBC的度數(shù)為 .14. 36°分析：由DE是AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得 AE=BE ,則可求 得/ ABE的度數(shù)，又由AB=AC ,根據(jù)等邊對(duì)等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得/ABC的度數(shù)，繼而求得答案.解答：解：: DE是AB的垂直平分線，.AE=BE , ./ ABE= ZA=36° ,o180. AB=AC ,=72/ EBC= / ABC- / ABE=72 -36 =36°

42、 .故答案為：36°.點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì).此題比較簡單，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.15. （ 2012霹今東南州）用6根相同長度的木棒在空間中最多可搭成 個(gè)正三 角形.15. 4分析：先在平面內(nèi)擺出一個(gè)正三角形，然后再在空間又可以搭出三個(gè)等邊三角形.解答：解：如圖，用 6根火柴棒搭成正四面體，四個(gè)面都是正三角形.故答案為：4.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，解答此題時(shí)要注意題中是求空間圖形而不是平面圖形.16. （ 2012核州）如圖， ABC中，/ C=90° , / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D,若CD=4 , 則點(diǎn)D到AB的距離是

43、.16. 4分析：過點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E,然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得 DE=CD ,即可得解.解答：解：如圖，過點(diǎn) D作DEXAB于點(diǎn)E,. AD是/ BAC的平分線， DE=CD ,. CD=4 , DE=4 .故答案為：4.點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，作出圖形并熟記性質(zhì)是解題 的關(guān)鍵.17. （2012?佳木斯）等腰三角形一腰長為 5, 一邊上的高為3,則底邊長為 .17. 8或而或3布分析：由已知的是一邊上的高， 分腰上的高于底邊上的高兩種情況，當(dāng)高為腰上高時(shí)，再分銳角三角形與鈍角三角形兩種情況，當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，如圖所示，在直角三角

44、形 ACD中，由AC及CD的長，利用勾股定理求出 AD的長，由AB-AD求出BD的長，在直 角三角形BDC中，由BD及CD的長，即可求出底邊 BC的長；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)， 如圖所示，同理求出 AD的長，由AB+AD求出BD的長，同理求出 BC的長；當(dāng)高為底邊 上的高時(shí)，如圖所示，由三線合一得到 BD=CD ,在直角三角形 ABD中，由AB及AD的長, 利用勾股定理求出 BD的長，由BC=2BD即可求出BC的長，綜上，得到所有滿足題意的底 邊長.在 RtAACD 中，AC=5, CD=3 ,根據(jù)勾股定理得：AD= 7AC2 CD2 =4,BD=AB-AD=5-4=1 ,在 RtABDC 中

45、，CD=3 , BD=1 ,根據(jù)勾股定理得：BC= J DC2 BD2 = 瓦；當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形，且CD為腰上的高時(shí),在 RtAACD 中，AC=5 , CD=3 ,根據(jù)勾股定理得：ad= Jac2 cd2 =4,BD=AB+AD=5+4=9 ,在 RtABDC 中，CD=3 , BD=9 ,根據(jù)勾股定理得：BC= JDCBd" =3 JT0 ;當(dāng)AD為底邊上的高時(shí)，如圖所示：,. AB=AC , AD ± BC , BD=CD ,在 RtAABD 中，AD=3 , AB=5 ,根據(jù)勾股定理得：bd= Jab2 ad2 =4,BC=2BD=8 ,綜上，等腰三角形的底

46、邊長為8或JT0或3J10 .故答案為：8或J10或3/0.點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，利用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，要求學(xué) 生考慮問題要全面，注意不要漏解.4. （2012?雞西）RtAABC中，Z A=90 °, BC=4 ,有一個(gè)內(nèi)角為 60°,點(diǎn)P是直線 AB上不 同于A、B的一點(diǎn)，且/ACP=30°,則PB的長為 4或生代庭蟲 .考點(diǎn)：含30度角的直角三角形；勾股定理。專題：分類討論。°,利用直角三角形的兩 求出/ PCB為60°,可BC的長即可求出分析：分兩種情況考慮：當(dāng) /ABC=60°時(shí)，如圖所示，由

47、Z ABC=60 銳角互余求出 / CAB=30。，又 / PCA=30。，由 / PCA+ / ACB 得出三角形PCB為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三邊相等，由PB的長；當(dāng)/ABC=30°時(shí)，再分兩種情況： P在A的右邊時(shí)，如圖所示，由 / PCA=30 °, / ACB=60 °,根據(jù) / PCA+ / ACB 求出 / PCB 為直角，由 / ABC=30 及 BC的長，利用銳角三角形函數(shù)定義及cos30°的值，即可求出 PB的長；當(dāng)P在A的左邊時(shí)，如圖所示，由 /PCA=30°, Z ACB=60 °,根據(jù)/ ACB - /

48、ACP求出/ PCB為 30°,得到/PCB=/ABC,利用等角對(duì)等邊得到 PC=PB,由BC及/ABC=30°,利用 30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC的長，再利用勾股定理求出 AB的長，由AB - BP表示出AP,在直角三角形 ACP中，利用勾股定理列出關(guān)于PB的方程，求出方程的解得到 PB的長，綜上，得到所有滿足題意的PB的長.解答：解：分兩種情況考慮：當(dāng)/ ABC=60。時(shí)，如圖所示： / CAB=90 °,/ BCA=30，又/ PCA=30 °,/ PCB=/ PCA+ Z ACB=60 °,又 / ABC=60 °

49、, PCB為等邊三角形，又 BC=4 ,PB=4;當(dāng)/ ABC=30。時(shí),如圖所示：(i)當(dāng)P在A的右邊時(shí)，如圖所示:. /PCA=30 °, ZACB=60 °,/ PCB=90 °,又/B=30 °, BC=4 ,cosB令，即 cos30°=*,PBPB解得：PB=-=生±_3 ；V3 3 2(ii)當(dāng)P在A的左邊時(shí)，如圖所示：,/PCA=30°, /ACB=60 °,/ BCP=30 °,又 / B=30 °,/ BCP= / B,CP=BP,在 RtAABC 中，/B=30°

50、, BC=4, ACBC=2 ,根據(jù)勾股定理得：AB= 癡 2 _蝮2=2解,AP=AB - PB=2/3- PB,在RtAAPC中，根據(jù)勾股定理得： AC2+AP2=Cp2=BP2, .22+ (27s- BP) 2=BP2,解得：BP=_jb/l,3綜上，BP的長分別為4或g丑或殳L；.31T3故答案為：4或致!或織3331點(diǎn)評(píng)：此題考查了含30。直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及銳 角三角函數(shù)定義，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題 的關(guān)鍵.5. (2012?無錫) 如圖，4ABC 中，/ACB=90°, AB=8cm , D 是

51、AB 的中點(diǎn).現(xiàn)將 4BCD 沿BA方向平移1cm,得到EFG, FG交AC于H,則GH的長等于 3 cm.考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)；平移的性質(zhì)。,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知AD=BD=CD= -AB=4cm ;然后由平移的性質(zhì)推知 GH/CD;最后根據(jù)平行線截線段成比例列出比例式，即可求得GH的長度.解答：解：ABC 中，Z ACB=90 °, AB=8cm , D 是 AB 的中點(diǎn)，AD=BD=CD= 7jAB=4cm ;又 4EFG由4BCD沿BA方向平移1cm得到的，GH / CD, GD=1cm ,DC AD' 4cir

52、4cm解得，GH=3cm ;故答案是：3.點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線、平移的性質(zhì).運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得相關(guān)線段的長度是解答此題的關(guān)鍵.6. （2012?朝陽）下列說法中正確的序號(hào)有. 在RtAABC中，/C=90°, CD為AB邊上的中線，且 CD=2 ,貝U AB=4 ;八邊形的內(nèi)角和度數(shù)約為1080°2、3、4、3這組數(shù)據(jù)的方差為 0.5;1 3K 1r>分式方程-=的解為x=4；MX3已知菱形的一個(gè)內(nèi)角為 60°, 一條對(duì)角線為23,則另一條對(duì)角線長為 2.考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線；分式方程的解；多邊形內(nèi)角與外

53、角；菱形的性質(zhì)；方差。分析：根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出即可； 根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理把 8代入求出即可； 求出平均數(shù)，再求出方差，比較即可；轉(zhuǎn)化成整式方程，求出方程的解，進(jìn)行檢驗(yàn)即可；分為兩種情況，求出對(duì)角線的長，即可判斷 .解答：解：.在RtAABCZC=90°, CD為AB邊上的中線，且 CD=2 ,AB=2CD=4 , 正確；八邊形的內(nèi)角和度數(shù)是（8-2） M80°=1080°, . 正確；平均數(shù)是工（2+3+4+3） =3,4，方差是三（23） 2+ （33） 2+ （43） 2+ （33） 2 =0.5, .正確；.1_融-1 -,國 I去分母得：1

54、=3x - 1,解得：x=1,一一 ，9 一一經(jīng)檢驗(yàn)x=與是原方程的解，. 正確；D四邊形ABCD是菱形，AC ± BD , AO=OC , OD=OB , AB=AD , / BAD=60 °,AABD是等邊三角形，AB=AD=BD , AB=BD=2BO ,分為兩種情況：當(dāng) BD=2VS=AB時(shí)，BO=J號(hào)，由勾股定理得：AO=3, AC=6 ;當(dāng)AC=2有時(shí),AO=|/3,由勾股定理得：BO=1 , BD=2 ,錯(cuò)誤；故答案為：.點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)和判定，解分式方程、平均數(shù)、方差、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力.三、解答題AE / BC , AE 平分/ DAC .18. （ 2012溢陽）如圖，已知 求證：AB=AC .18.分析：根據(jù)角平分線的定義可得/ 1 = /2,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得/ 1 = /B, 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得/ 2=/C,從而得到/ B=/C,然后根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證.解答：證明：.AE平分/ DAC ,Z 1 = 7 2,1. AE / BC, ./ 1 = Z B, / 2=Z C, ./ B=Z