二階常微分方程的幾種解法

1、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的幾種解法一公式解法目前,國(guó)內(nèi)采用的高等數(shù)學(xué)科書中，求二階常系數(shù)線性非奇次微分方程1: y'' ay' by f (x)通解的一般方法是將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通階與它本 身的特解之和。微分方程階數(shù)越高，相對(duì)于低階的解法越難。那么二階常系數(shù)齊 次微分方程是否可以降價(jià)求解呢？事實(shí)上，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q可將二階常系 數(shù)非齊次微分方程降為一階微分方程求解。而由此產(chǎn)生的通解公式給出了該方程 通解的更一般的形式。設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為'''y ay by f(x)(1)這里a、b都是常數(shù)。為了使上述方程能降階，考察相應(yīng)的

2、特征方程2k2 ak b 0(2)對(duì)特征方程的根分三種情況來(lái)討論。1若特征方程有兩個(gè)相異實(shí)根 心k2。則方程(1)可以寫成 '''y (k k2)y Kk2y f(x)即(y k2y)k(y k2y)f(x)8記z yk2y ,則(1)可降為一階方程z kzf (x)由一階線性方程的通解公p(x)dxp(x)dxy e Q(x)e dx c 5(3)知其通解為xx由 dx k2yz e'x o f (t)e kdt c3這里° h(t)dt表示積分之后的函數(shù)是以x為自變量的。冉x.zek110 f (t)ek1tdtC3 解得, xuek2x 

3、6; (e(k1 k2)u ° f (t)dt)du(ki k2)X ekik2應(yīng)用分部積分法，上式即為(ki k2)Xek2X ekik2:f(t)e kltdt1klk2f(t)ek2tdt c3一(ki k2)X ekik2C4f (t)e k1tdt, X k2Xe0f(t)e k2tdt c1ek1c2ek2X2若特征方程有重根k ,這時(shí)方程為y 2ky k y f(X)或(y ky) k(y ky) f (x)由公式得到Xy kyekX 0e ktf(t)dt )再改寫為e kXyke kXy 0 e kt f (t)dt ci即(e kXy)e kt f (t)dt c

4、i(5)dX0故 yekX 0 (x t)e kt f (t)dt ciXekX c2ekX例i求解方程y'' 5y' 6y xe2x解 這里k2 5k 6 0的兩個(gè)實(shí)根是2,3 f(x) xe2x.由公式(4)得到方程的解是 XX3x3tx 2t2x 2tx 2t3x2xy e 0 e te dt e 0 e te dt ciec2eXX3x t2x3x 2xe 0 te dt e 0 tdt ciec2e2 X2x 3x 2xx e geqe這里c3 c2 i .例2 求解方程y 2y yeXlnx解 特征方程k2 2k 1 0有重根1 , f(x) exlnx.由

5、公式(5)得到方程的解是x x ,、 t t ,.y e ° (x t)e e In tdtx xxe 0 (x t)lntdt c1xex xGxeC2exqexxx2ex 1lnx 324xxGxec?eex o x In tdt o t In tdtc1xex c2ex常數(shù)變易法二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式是(6)y py qy f(x),'''y py qy 0 其中p、q為常數(shù)，根構(gòu)造方程(7)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，再由這兩個(gè)解構(gòu)造出方程(7)的通解。特征方程的特征根有三種情況。1 .當(dāng)特征方程有兩個(gè)不相同的實(shí)根1、 2時(shí)，方程(7)的兩個(gè)線

6、性無(wú)關(guān)的解為e叭e 2x從而得方程 的通解cg 1 c2e 2x.2 .當(dāng)特征方程有二重實(shí)根入時(shí)，可得方程(7)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解ex、xex,從而得到方程(7)的通解(g ax)e x。3 .當(dāng)特征方程有一對(duì)共腕復(fù)根i時(shí)，可得方程(7)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解e xcos x、e x sin x。從而得方程(7)的通解 c1excos x c2e xsin x 0綜上所述可知，方程(7)總有形如e x cos x、ex xsin x的解，其中i為方程(7)所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根。關(guān)于方程(6)的求解，我們就f(x)為ex或P2(x)cos x pnsin x時(shí)進(jìn)行了討論，給出了這兩種情況下的解法

7、。我們將由方程(7)的一個(gè)特解，通過(guò)參數(shù)變易法構(gòu)造出方程(6)的通解。首先求出方程(7)的一個(gè)特解，不妨將此解記為y y(x) excos x。設(shè)方程(6)有形為y c(x)yi(x) c(x)excos x 5的解，將y cyi y cyi cyi''''''''ycyi 2c yi cyi(其中c為c(x) ,yi為yi(x)代入方程(6)，得'_'''''一cyi (2yi pyi)c (y i pyiqyi)cf (x), yi是方程(7)的解上式為 cyi(2y；pyi)c

8、f(x)，令c u,得u(Zy1Vi線性非齊次方程的解法，得 ''(_y_ p)dxi(-y> p)dxu eVi f(x)e Vidx gVi(22 tg x p) dxi(22 tgx)e -f(x)e dx c1e cos x(2 p)x 2ln cos xi(2 p)x 2ln cos xe -f(x)edx cje cos x2e ( )x f (x)e()xcos xdx cicos xc udx c2xi(2 p)x( p)xy e cos x 2 e f (x)e cos xdx cos xip)u f(x)根據(jù)一階 ViGdx c2為方程(6)的通解 三

9、多項(xiàng)式法 命題：對(duì)于常系數(shù)線性微分方程'''xy py qy pm(x)e(8)其中p、 q與 是常數(shù)，pm(x)是x的m次多項(xiàng)式, 右令 y ze ，則方程(8)可化為：F /2!z F ( )/l!z F ( )z Pm(x) 7F( )2 p q為方程(8)對(duì)應(yīng)齊次方程的特征多項(xiàng)式.此處即要求方程(8)的特解y (x)ex,只要求z'' F'( )z F( )zPm(x)的特解y (x)，而得到(8)的特解y (x)ex.此解法雖然類似教材5上的待定系數(shù)法， 仔細(xì)斟酌，要簡(jiǎn)單很多.教材5中則把特解設(shè)為y xkQ(x)mex,這里k=0、1、

10、2、 Q(x)m是m次多項(xiàng)式.例3求微分方程y'' 2y' y e x(x 5)的一個(gè)解.解：F( )2 21 , - 1為其二重特征根，故原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解是ex、xexo F'( 1) 0,從而令y ze x ,原方程化為：z x 5，解之得其特解為z 1 x3 5x2 - x2(x 5)故6261c原萬(wàn)程的特解是y -x2(x 5)ex。原方程的解是，6y c1e x c2xe x 1x2(x 5)e x(其中 g、c2是常數(shù)) 6四階數(shù)上升法所謂的階數(shù)上升法就是：設(shè) '''y py qy f (x)f (x)為

11、多項(xiàng)式時(shí)，設(shè)f (x) a°xn axn 1 L an iX an 7此時(shí)，方程兩邊同時(shí)對(duì)X求n導(dǎo)倒數(shù)，得''''''n 1/、 n 2.y py qyna°x(n 1)aixL an 1(n 1)n (n 1)y py qya°xn! a(n 1)!(n 2) (n 1) ny py qy a°n!令 y(n)a0n!(q 0),止匕時(shí) y(n2) y(n1)0q由y(n 1)與y(n)通過(guò)倒數(shù)第二個(gè)方程可得y(n 1),依次往上推，一直推到方程(9),即可得到方程(9)的一個(gè)特解y(x)，上面的這種方法

12、稱為階數(shù)上升法. 當(dāng) f(x)(a°xna1xn 1 L an 1x an)e x( R)時(shí),令 y u(x)ex,則''x ""'2 xy (u u)e , y (u 2 u u)e代入方程(9)，經(jīng)整理得：'''2nn 1u (2 p)u ( p q)ua°xa1xL a01x a 于是問(wèn)題(9)就轉(zhuǎn)化為(8)的形式.從以上可以看出，階數(shù)上升法不需要討論人是 否為特征方程的特征根的問(wèn)題，因此問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.例4求微分方程y 6y 7y ex(x 1)的一個(gè)解.ex、e-7x0在求原方程的特解。解:原方程所

13、對(duì)應(yīng)的齊次方程的特根是正1、-7 ,對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解是先消去ex,設(shè)特解y u(x)exx ,代入原方程得(10)*'u 8u x 1兩邊求導(dǎo)得u''' 8u' 1，令u1u 0 ,代入(10)式得-8u x 1 ,即1 27u x x1664所以原方程的一個(gè)特解為：1一 x16所以，原方程的解為：yx -7xGec2ex)64ex( x2 1"*)(其中6、c2 為常數(shù))1664五積分法運(yùn)用特解公式進(jìn)行教學(xué)，不需要對(duì)微分方程的特殊右端進(jìn)行分類設(shè)特解，只 需熟悉特解公式就可以求出任意類型的特解.下面我們介紹特解公式.設(shè)人是共腕特征方程r2 pr q 0的任一根，則y e 'r e(2 p)x(x f(x)e(p)x)dx7為方程(9)的一個(gè)特解，其x f(x)dx 表示函數(shù)f ( x)的一個(gè)原函數(shù) 積分下限可取任意值.即要求方程(9)的特解先求出共 腕特征方程r2 pr q 0的特征根,任取其一為，再用特征公式求積分，便得到所求特解.例5 求微分方程y3y 2y excosx的通解.解 特征方程r'' 3r' 2 0的特征根為口 1超2，所以，齊次方程所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的