四點共圓基本性質(zhì)及證明

1、四點共圓時間：2021.02.09創(chuàng)作人：歐陽歷如果同一平而內(nèi)的四個點在同一個圓上，則稱這四個點 共圓，一般簡稱為西點共圓四點共圓有三個性質(zhì)：（D共圓的四個點所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角 相等；（2）圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對弧的度數(shù)的一半進(jìn)行 證明。定理判定定理方法1：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角 形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相 等，從而即可肯定這四點共圓。（可以說成：若線段同側(cè)二點到線段兩端點連線夾角相 等，那么這二點和線段二端點四點共圓）方法2 :把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對 角

2、互補(bǔ)或能證明其一個外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時，即 可肯定這四點共圓。（可以說成：若平面上四點連成四邊形的對角互補(bǔ)或一 個外角等于其內(nèi)對角，那么這四點共圓）托勒密定理若ABCD四點共圓（ABCD按順序都在同一個圓上），那 么 AB x EX2+BC x AD=AC x BD 例題：證明對于任意正整數(shù)n都存在n個點使得所有點 間兩兩距離為整數(shù)。解答：歸納法。我們用歸納法證明一個更強(qiáng)的定理：對 于任意n都存在n個點使得所有點間兩兩距離為整數(shù)，且 這n個點共圓，并且有兩點是一條直徑的兩端。nJ, n=2 很輕松。當(dāng)n二3時，一個邊長為整數(shù)的勾股三角形即可： 比如說邊長為3, 4, 5的三角形。我們發(fā)現(xiàn)

3、這樣的三個點 共圓，邊長最長的邊是一條直徑。假設(shè)對于n大于等于3 成立，我們來證明n+1。假設(shè)直徑為r （整數(shù)）。找一個不 跟已存在的以這個直徑為斜邊的三角形相似的一個整數(shù)勾 股三角形ABC （邊長a<b<c）o把原來的圓擴(kuò)大到原來的c 倍，并把一個邊長為ra<rb<rc的三角形放進(jìn)去，使得rc 邊和放大后的直徑重合。這個三角形在圓上面對應(yīng)了第n+1 個點，記為P。于是根據(jù)Ptolomy定理，P和已存在的所有 點的距離都是一個有理數(shù)。（考慮P,這個點Q和直徑兩端 的四個點，這四點共圓，于是PQ是一個有理數(shù)因為 Ptolomy定理里的其它數(shù)都是整數(shù)。）引入一個新的點P增

4、加了n個新的有理數(shù)距離，記這n個有理數(shù)的最大公分母 為M。最后只需要把這個新的圖擴(kuò)大到原來的M倍即可。歸 納法成立，故有這個命題。反證法證明現(xiàn)就若平而上四點連成四邊形的對角互補(bǔ)。那么這個四 點共圓'證明如下（其它畫個證明圖如后）已知：四邊形ABCD中，ZA+ZC=180°求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓（A, B, C, D四點共 圓）證明：用反證法過A, B, D作圓0,假設(shè)C不在圓0上，點C在圓外或 圓內(nèi)，若點C在圓外，設(shè)BC交圓0于C'，連結(jié)DC；根據(jù)圓內(nèi) 接四邊形的性質(zhì)得ZA+ZDCB=180° ,V ZA+ZC=180° A ZDCfeZ

5、C這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地 可證C不可能在圓內(nèi)。C在圓0上，也即A, B, C, D四點共圓。證明方法方法1從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點 也在這個圓周上，若能證明這一點，即可肯定這四點共 圓.方法2把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三 角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等（同弧所對的 圓周角相等），從而即可肯定這四點共圓。幾何描述：四邊形ABCD中，ZBAC二ZBDC,則ABCD四點 共圓。證明：過ABC作一個圓，明顯D定在圓上。若不在圓 上，可設(shè)射線BD與圓的交點為D',那么 ZBD'C二ZBAC二ZBDC,與外角定

6、理矛盾。方法3把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或 能證明其一個外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時，即可肯定這 四點共圓。證法見上方法4把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明 它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點 共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點兩兩 連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個 端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成 的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓.（割線定理的逆 定理）上述兩個定理統(tǒng)稱為圓幕定理的逆定理，即ABCD四個 點，分別連接AB和CD,它們（或它們的延長線）交點為 P,若 PAxPBPCxPD,貝ij

7、ABCD 四點共圓。證明：連接 AC,BD, VPAxPBPCxPDPA/PC 二 PD/PBZAPC二ZBPD.-.aapcadpb當(dāng)P在AB,CD上時，由相似得ZA二ZD,且A和D在BC 同側(cè)。根據(jù)方法2可知ABCD四點共圓。當(dāng)P在AB,CD的延長線上時，由相似得ZPAOZD,根據(jù) 方法3可知ABCD四點共圓。方法5證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確 定它們共圓.即連成的四邊形三邊中垂線有交點，可肯定 這四點共圓.方法6四邊形ABCD中，若有ABxCD+ADxBC二ACxBD,即兩對邊乘 積之和等于對角線乘積，則ABCD四點共圓。該方法可以由 托勒密定理逆定理得到。托勒密定理逆定

8、理：對于任意一個凸四邊形ABCD,總有 ABxCD+ADxBC結(jié)CxBD,等號成立的條件是ABCD四點共圓。如圖，在四邊形內(nèi)作APBs/M）CB （只需要作ZPAB=ZCDB, ZPBA二ZCBD 即可）由相似得ZABP二ZDBC，ZBAP二ZBDC ZABP+ ZPBD-ZDBC+ ZPBD即 ZABDZPBC又由相似得 AB: BD二PB: CB=AP: CDAABxCI>BDxAP, AABDAPBC AD:BD=PC:BC,即 ADxBC二BDxPC兩個等式相加，得 ABxCD+ADxBC二BDx(PA+PC)茅DxAC,等 號成立的充要條件是APC三點共線而 APC 共線意味著

9、ZBAP二ZBAC,而ZBAP二ZBDC,ZBAC二ZBDC根據(jù)方法2, ABCD四點共圓方法7若一點在一三角形三邊上的射影共線，則該點在三角形 外接圓上。設(shè)有一ABC, P是平面內(nèi)與ABC不同的點，過P作三邊 垂線，垂足分別為L,M,N,若L,M,N共線，則P在4*6(：的 外接圓上。如圖，PM丄AC,PN丄AB,PL丄BC,且L,N,M在一條線上。連接 PB,PC, V ZPLB+ZPNB=90c+90°=180oPLBN四點共圓 ZPLN二ZPBN,即 ZPLM=ZPBA同理，ZPLM二ZPCM,即 ZPLM=ZPCA=ZPBA根據(jù)方法2, P在AABC外接圓上判定與性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的對角和為180°,并且任何一個外角都等 于它的內(nèi)對角。【如圖A：四點共圓的圖片】8CD為西總形 ABCG的財龜咬EF為債佛切戎圖A：四點共圓的圖片四邊形ABCD內(nèi)接于圓0,延長AB和DC交至E,過點E 作圓0的切線EF, AC、BD交于P,則有：（1）ZA+ZCw ZB+ZX （即圖中ZDAB+ZDCXr, ZABC+ZADC"（2）ZDBC二ZDAC （同弧所對的圓周角相等）。（3）ZADE=ZCBE （外角等于內(nèi)對角，可通過（1）、（2）得到）（4）AABP-ADCP （兩三角形三個內(nèi)角對應(yīng)相等，可由（2）得到）（5）APxCP二BPxDP （相交弦