圓錐曲線的極坐標(biāo)方程、焦半徑公式、焦點(diǎn)弦公式復(fù)習(xí)課程

1、圓錐曲線的極坐標(biāo)方程知識(shí)點(diǎn)精析 橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離 和一條定直線（準(zhǔn)線）的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.以橢圓的左焦點(diǎn)（雙曲線的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)）為極點(diǎn)，過點(diǎn)F作相 應(yīng)準(zhǔn)線的垂線，垂足為K,以FK的反向延長(zhǎng)線為極軸建立極坐標(biāo)系.橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為：一ep.1 ecos其中p是定點(diǎn)F到定直線的距離，p> 0 .當(dāng)0<e<1時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)e>1時(shí)，方程表示雙曲線，若p > 0,方程只表示雙曲線右支，若允許P < 0,方程就表示整個(gè)雙曲線；ep1+e cos當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開口向右的拋物線

2、.引論（1）若 則0<e<1當(dāng)時(shí)，方程表示極點(diǎn)在右焦點(diǎn)上的橢圓 當(dāng)e=1時(shí)時(shí)，方程表示開口向左的拋物線 當(dāng)e>1方程表示極點(diǎn)在左焦點(diǎn)上的雙曲線(2 )若ep1-esin當(dāng)0<e<1時(shí)，方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的橢圓 當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開口向上的拋物線 當(dāng)e>1時(shí)！方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的雙曲線極坐標(biāo)處理二次曲線問題教案(3)ep-1+esin當(dāng)0<e<1時(shí)，方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的橢圓當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開口向下的拋物線當(dāng)e>1時(shí)！方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的雙曲線例題選編(1)二次曲線基本量之間的互求例1.確定方程10 表示曲線的離心率、焦距、長(zhǎng)短軸

3、長(zhǎng)。5 3cos解法23 cos51033 1055d 31 cos5c 3a 5b210c 33 -a55 a c3103258158,/25、2 .15.2 5b U o )(。)- ，882方程表示橢圓的離心率e3,焦距15,長(zhǎng)軸長(zhǎng)25,短軸長(zhǎng)5544解法二：根據(jù)極坐標(biāo)的定義，對(duì)右頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的極角為 0,因此只需令 0,右頂點(diǎn)的極徑，同理可得左頂點(diǎn)的的極徑。根據(jù)左右頂 點(diǎn)極徑之和等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)，便可以求出長(zhǎng)軸。點(diǎn)睛，解法一采用待定系數(shù)法比較常規(guī)，解法二利用極坐標(biāo)的定義，簡(jiǎn)潔而有力，充分體現(xiàn)了極坐標(biāo)處理問題的優(yōu)勢(shì)。 下面的弦長(zhǎng)問 題的解決使極坐標(biāo)處理的優(yōu)勢(shì)顯的淋漓盡致。(2)圓錐曲線弦長(zhǎng)問題若

4、圓錐曲線的弦MNS過焦點(diǎn)F,2b21、橢圓中，p c , ccMNepep1 ecos 1 ecos( )2ab22 2 2 a c cos2、雙曲線中，(注釋：雙曲線問題比較特殊，很多參考書上均有誤解。若M N在雙曲線同一支上,若M N在雙曲線不同支上,3、拋物線中,MNp1 cosMNMNepep1 ecos 1 ecos(epep1 ecos 1 ecos2P21 cos( ) sin2ab27 -222) a c cos2ab222 .c cos a22例1過雙曲線1的右焦點(diǎn)，弓I傾斜角為N的直線，交雙曲線與A B兩點(diǎn)，求I AB )解：根據(jù)題意，建立以雙曲線右焦點(diǎn)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系5即

5、得 2 3cos所以 A( 1,-),B( 2,3)又由AB | 12 |2 3cos 2 3cos(注釋：求橢圓和拋物線過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí)，無需對(duì) v加絕對(duì)值，但 求雙曲線的弦長(zhǎng)時(shí)，一定要加絕對(duì)值，這是避免討論做好的方法。點(diǎn)睛由于橢圓，拋物線的弦的兩個(gè)端點(diǎn)極徑均為正值，所以弦長(zhǎng)都 是1 ; 2對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)都在雙曲線右支上的弦，其端點(diǎn)極徑均為正值，所以弦長(zhǎng)也是1 ; 2對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)分別在雙曲線左、右支上的弦,其端點(diǎn)極徑一個(gè)為正值一個(gè)為負(fù)值，所以弦長(zhǎng)是- -12或?yàn)榻y(tǒng)一起見，求雙曲線時(shí)一律加絕對(duì)值，使用變式練習(xí)：等軸雙曲線長(zhǎng)軸為2,過其右有焦點(diǎn)，引傾斜角為否的直 線，交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，求|AB解

6、：112 cosA( 1,6)，B( 2, 6)AB |I：1 72 co s()61I1 、.2cos() 6附錄直角坐標(biāo)系中的焦半徑公式設(shè)P （x,y）是圓錐曲線上的點(diǎn)，1、若E、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則|PE a ex,|PF21 a ex；2、若R、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí)，PF1 ex a, PF2 ex a;當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，PF1a ex, PF2 a ex;3、若F是拋物線的焦點(diǎn)，PF x匕 2利用弦長(zhǎng)求面積22身考題（08年海南卷）過橢圓L 工1的焦點(diǎn)F作一條斜率為2的54直線與橢圓交于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求 AOB的面積.簡(jiǎn)解

7、首先極坐標(biāo)方程中的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式|AB| 2ep求弦長(zhǎng)，然后1 e cos利用公式Saob 1| AB|OF |sin AFO直接得出答案。2變式（2005年全國高考理科）已知點(diǎn)F為橢圓y2 1的左焦點(diǎn).過點(diǎn)F的直線li與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，過F且與li垂直的直線12交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的最小值和最大值.解析以點(diǎn)F為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為：222【21 cos2設(shè)直線li的傾斜角，則直線12的傾斜角為900 ,由極坐標(biāo)系中焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式知:、2，12,“0、1 cos (90 )2、21 -sin22|PQ| -2- , |MN | 1 - cos22用他們來

8、表示四邊形的面積1S 2|PQ|gMN| -21 2 一 2-sin gcos1ii .2 osin 22 16即求1的最大值與最小值1 1.2。sin 22 16由三角知識(shí)易知：當(dāng)sin2 1時(shí)，面積取得最小值 ”；當(dāng)sin2 0時(shí),9面積取得最大值2利用弦長(zhǎng)公式解決常量問題22 一，一三 4 1 (a b 0),例一.過橢圓a b的左焦點(diǎn)F,作傾斜角為60的直線1交橢圓于A B兩點(diǎn)，若FA 2FB,求橢圓的離心率.簡(jiǎn)解，建立極坐標(biāo)系，然后利用等量關(guān)系，可很快求出離心率。設(shè)橢圓的極坐標(biāo)方程為eP則|FA ep 0,FB| 嘰二1 ecos1 ecos601 ecos 240:包28艮，解得e

9、1 e i e32 2變式求過橢圓丁殺的左焦點(diǎn)，且傾斜角為 手的弦長(zhǎng)IAB和左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離。2解：先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：131 cos3則離心率e 1, ep 2 , 33p 2所以左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距為2。設(shè)“ i,-),B( 2,號(hào))，代入極坐標(biāo)方程，則弦長(zhǎng)AB3 cos 3 cos442417(3)定值問題例1.拋物線y2 2px(p 0)的一條焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分為a,b的兩段,證明：1 1定值。 a b解：以焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，以FX軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為一P,設(shè)A(a, ), B(b, )1 cos將A,B兩點(diǎn)代入極坐標(biāo)方程，得a -,bP1 cos 1 cos( )

10、則1 1=3 3(一) = 2 (定值) a b pp p點(diǎn)睛，引申到橢圓和雙曲線也是成立的。推論：若圓錐曲線的弦M曲過焦點(diǎn)F,則有MF12NF ep11例二：經(jīng)過橢圓的的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦 AB和弦CD,求證一 一:為定 AB CD值。證明：以橢圓的左焦點(diǎn)建立極坐標(biāo)系,此時(shí)橢圓的極坐標(biāo)方程為1 ecos又設(shè) A 1, 1 ,B 2, + ,C 3,-+ ,D 4,3-+則代入可得22|AB|2ep221 e cos|AB|2epZ21 e sin11 _ 2-e2AB- CD" - 2ep注釋。此公式對(duì)拋物線也成立，但對(duì)雙曲線不成立。注意使用的范圍。推廣1若經(jīng)過橢圓的中心做兩條

11、相互垂直的弦， 倒數(shù)和也為定值。需要以原點(diǎn)為 極點(diǎn)建立極坐標(biāo)方程O 推廣2若不取倒數(shù)，可以求它們和的最值。227 1，點(diǎn)F是其左焦2例三（2007重慶理改編）中心在原點(diǎn)o的橢圓 36點(diǎn)，在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)P,P2,P3使Z P1FP2 Z F2FP3 Z P3FP1 1200 .證明:1FP11FP21FP3為定值，并求此定值.解析:以點(diǎn)92 cos1200、為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為:設(shè)點(diǎn)巳對(duì)應(yīng)的極角為，則點(diǎn)B與E對(duì)應(yīng)的極角分別1200 , P1、P2與P3的極徑就分別是|FP1|cosEl2 cos(91200)與尸3|92 cos(1200)111FP1 IFP2I FP32 cos92 cos(1200)92 cos(1200)而在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們知道coscos(1200) cos( 1200) 0 ,因止匕111FP1FP2FP33為定值點(diǎn)睛：極坐標(biāo)分別表示|FPi |、|FP2|與|FP3| ,這樣一個(gè)角度對(duì)應(yīng)一個(gè)極徑.就不會(huì)象解析幾何那樣，一個(gè)傾斜角，對(duì)應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)，同時(shí)對(duì)應(yīng)兩條焦半徑（極徑），這就是極坐標(biāo)表示圓錐曲線的優(yōu)點(diǎn).推廣1若放在拋物線和