【教育資料】第一章1.1.3學(xué)習(xí)精品

1、教育資源1.1.3 圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.認(rèn)識(shí)組成我們生活世界的各種各樣的旋轉(zhuǎn)體.2.認(rèn)識(shí)和把握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球體的幾何結(jié)構(gòu)特征.知識(shí)點(diǎn)一 圓柱、圓錐、圓臺(tái)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征定義圓柱、'矩形的一邊、'矩形、圓錐；分別看作以直角三角形的一直角邊?所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將 彳直角三角形 圓臺(tái)J三直角梯形中垂直于底邊的腰 J、直角梯形 J分別旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體一這類幾何體叫旋轉(zhuǎn)體.(2)相關(guān)概念高：在軸上的這條邊(或它的長度).底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面.側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面.母線：繞軸旋轉(zhuǎn)的邊.(3)圖形表示知識(shí)點(diǎn)二

2、 球1 .定義：一個(gè)球面可以看作半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面,球面圍成的幾何體叫做球.2 .相關(guān)概念(1)球心：形成球的半圓的圓心：球的半徑:連接球心和球面上一點(diǎn)的線段. (2)球的直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且通過球心的線段.球的大圓：球面被經(jīng)過球心的乎面截得的圓.(4)球的小圓：球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓.(5)兩點(diǎn)的球面距離：在球面上，兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度,把這個(gè)弧長叫做兩點(diǎn)的球面距離.3 .球形表示特別提醒：球與球面是完全不同的兩個(gè)概念，球指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面 部分.知識(shí)點(diǎn)三旋轉(zhuǎn)體1 .定義：由一個(gè)平面圖形

3、繞著一條直線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面所圍成的幾何體.2 .軸：這條直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.知識(shí)點(diǎn)四 組合體思考 組合體是由簡單幾何體堆砌 （或疊加）而成的嗎？答案 不是，組合體的組合方式有多種，可以堆砌，可以挖空等.梳理 由柱、錐、臺(tái)、球等基本幾何體組合而成的幾何體叫做組合體.1 .圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái).（V ）2 .夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體是一圓柱.（X ）3 .半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球.（X ）類型一 旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例1下列命題正確的是 .（填序號(hào)）以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；圓柱、圓

4、錐、圓臺(tái)的底面都是圓；以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；半圓面繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球；用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面.答案解析以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐；以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺(tái)；它們的底面為圓面； 正確.反思與感悟 （1）判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成.明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.（2）簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量.在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想

5、.跟蹤訓(xùn)練1 下列命題：圓柱的軸截面是過母線的截面中最大的一個(gè)；用任意一個(gè)平面去截圓錐得到的截面一定是一個(gè)圓；圓臺(tái)的任意兩條母線的延長線，可能相交也可能不相交；球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心的連線段.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案 C解析 錯(cuò)誤，截面可能是一個(gè)三角形；錯(cuò)誤，圓臺(tái)的任意兩條母線的延長線必相交于一點(diǎn)；正確.故選C.類型二簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征例2如圖所示，已知 AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰.分別以 AB, CD, AD為軸 旋轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征.解（1）以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，如圖（1）所示.（2）以CD邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋

6、轉(zhuǎn)體為一組合體：上部為圓錐，下部為圓臺(tái)，再挖去一個(gè)小圓錐.如圖（2）所示.（3）以AD邊為軸旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)組合體，它是一個(gè)圓柱上部挖去一個(gè)圓錐.如圖（3）所示.反思與感悟（1）平面圖形以一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，要過有關(guān)頂點(diǎn)向軸作垂線，然后想象所得旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)和組成.（2）必要時(shí)作模型，培養(yǎng)動(dòng)手能力.跟蹤訓(xùn)練2如圖（1）、（2）所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾 何體組成的？解 圖（1）、圖（2）旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示分別是圖、圖.其中圖是由一個(gè)圓柱 O1O2和兩個(gè)圓臺(tái)。2。3,。3。4組成的；圖是由一個(gè)圓錐。5。4, 一個(gè)圓柱。3。4及一個(gè)圓臺(tái)。1。3中挖去圓錐。2。1組成

7、的.類型三旋轉(zhuǎn)體中的有關(guān)計(jì)算命題角度1有關(guān)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的計(jì)算例3 一個(gè)圓臺(tái)的母線長為 12 cm,兩底面面積分別為 4兀cm2和25兀cm2,求：（1）圓臺(tái)的高；（2）將圓臺(tái)還原為圓錐后，圓錐的母線長.解（1）圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形 ABCD（如圖所示）.由已知可得 O1A=2 cm, OB = 5 cm.又由題意知，腰長為 12 cm,所以高AM =吊122（52/=3715（cm）.（2）如圖所示，延長 BA, OOi, CD交于點(diǎn)S,設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為l,則由 ASAOisA SBO,可得二12= 2,解得 1 = 20 cm. 15即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為20 cm.

8、反思與感悟 用平行于底面的平面去截柱、錐、 臺(tái)等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)（與底面全等或相似），同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面（軸截面）的性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而得解.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在底面半徑為 2,母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為 43的圓柱，求圓柱 的底面半徑.解 設(shè)圓錐的底面半徑為 R,圓柱的底面半徑為 r,則由三角形相似，r 1即 1 -5= 2，解得= 1.即圓柱的底面半徑為 1.命題角度2球的截面的有關(guān)計(jì)算例4 在球內(nèi)有相距 9 cm的兩個(gè)平行截面面積分別為49兀cm2和400兀cm2,求此球的半徑.解 若兩截面位于球心的同側(cè)，如圖（1）所示的

9、是經(jīng)過球心 O的大圓截面，C, Ci分別是兩平行截面的圓心，設(shè)球的半徑為R cm,截面圓的半徑分別為 r cm,1 cm.由 <2= 49 ti,彳導(dǎo)1= 7（1 = 一 7 舍去），由 <2= 400 71,彳導(dǎo) r=20（r=20 舍去）.在 RtOB1C1 中，OC1 = /RT32 = yjR49,在 RtOBC 中，OC = qR2r2 = 52400.由題意可知 OC1OC = 9,即r249 、/r2400=9,解此方程，取正值得 R= 25.若球心在兩截面之間，如圖 （2）所示，OCi =249, OC = yj設(shè) 400.由題意可知 OCi+OC = 9,即 Jr

10、2-49 +Jr2-400 =9.整理，得 勺$ 400 =- 15,此方程無解，這說明第二種情況不存在.綜上所述，此球的半徑為 25 cm.引申探究若將把本例的條件改為“球的半徑為5,兩個(gè)平行截面的周長分別為6兀和8?！?，則兩平行截面間的距離是.答案 1或7解析 畫出球的截面圖，如圖所示.兩平行直線是球的兩個(gè)平行截面的直徑，有兩種情形：兩個(gè)平行截面在球心的兩側(cè)，兩個(gè)平行截面在球心的同側(cè).對(duì)于，m= 52- 32 =4, n= 5242 = 3,兩平行截面間的距離是 m + n = 7;對(duì)于，兩平行截面間的距離是 mn = 1.反思與感悟 設(shè)球的截面圓上一點(diǎn) A,球心為O,截面圓心為Oi,則A

11、OiO是以O(shè)i為直角頂點(diǎn)的直角三角形，解答球的截面問題時(shí)，常用該直角三角形或者用過球心和截面圓心的軸截面求解.跟蹤訓(xùn)練4 設(shè)地球半徑為 R,在北緯45。圈上有A、B兩地，它們?cè)诰暥热ι系幕￠L等于 乎4tR求A, B兩地間的球面距離.解 如圖所示，A, B是北緯45°圈上的兩點(diǎn)，AO'為它的半徑，。為地球的球心， . OO '，AO ' , OO '，BO './ OAO ' = / OBO ' =45°,2AO =BO = OA cos 45 =2R.設(shè)/ AO ' B的度數(shù)為%帛什“兀“a兀$2_ 72 _則

12、ac。AO = don ° o R= a 欣，, "= 90 . 180180 24在4AOB中，AO = BO=AB=R,則4AOB為正三角形,，/ AOB = 60°.A, B兩地間的球面距離為60-Rc =9R. 18031 .下列幾何體是臺(tái)體的是（）考點(diǎn)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)圓臺(tái)的概念的應(yīng)用答案 D解析 臺(tái)體包括棱臺(tái)和圓臺(tái)兩種，A的錯(cuò)誤在于四條側(cè)棱沒有交于一點(diǎn)，B的錯(cuò)誤在于截面與圓錐底面不平行.C是棱錐，結(jié)合棱臺(tái)和圓臺(tái)的定義可知D正確.2 .下列選項(xiàng)中的三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，能得到如下圖中的幾何體的是（）答案 B解析 由題意知，所得幾何體是組合體，上、下各一

13、圓錐，顯然 B正確.3 .下面幾何體的截面一定是圓面的是（）A.圓臺(tái) B.球 C.圓柱 D.棱柱答案 B解析截面可以從各個(gè)不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球.4 .若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為<3,則這個(gè)圓錐的母線長為 .考點(diǎn)圓錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與圓錐有關(guān)的運(yùn)算答案 2解析如圖所示，設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的軸截面，由題意知圓錐的母線長即為4ABC的邊長，且S*bc = ¥aB；，3=/3AB2,，AB=2.故圓錐的母線長為 2.5 .湖面上浮著一個(gè)球，湖水結(jié)冰后，將球取出，冰上留下一個(gè)直徑為24 cm,深為8 cm的空穴，則球的半徑為 cm.答案 13

14、解析設(shè)球的半徑為R cm,由題意知，截面圓的半徑 r= 12 cm,球心距d=（R 8）cm,由 R2 = r2+d2,得 r2=144+（R 8）2,即 208 16R=0,解得 R= 13 cm.1 .圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示.2 .處理臺(tái)體問題常采用還臺(tái)為錐的補(bǔ)體思想.3 .處理組合體問題常采用分割思想.4 .重視圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面在解決幾何問題中的特殊作用，切實(shí)體會(huì)空間幾何平面化的思想.一、選擇題1 .下列幾何體中不是旋轉(zhuǎn)體的是 （）答案 D2 .下列說法正確的是（）A.到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球B.球面上不同的三點(diǎn)可能在同一條直線上C.用一個(gè)平面截球，其截面是一個(gè)

15、圓D .球心與截面圓心（截面不過球心）的連線垂直于該截面考點(diǎn)球的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)球的概念的應(yīng)用答案 D解析 對(duì)于A ,球是球體的簡稱，球體的外表面我們稱之為球面，球面是一個(gè)曲面，是空心的，而球是幾何體，是實(shí)心的，故 A錯(cuò)；對(duì)于B,球面上不同的三點(diǎn)一定不共線，故 B錯(cuò)；對(duì)于C,用一個(gè)平面截球，其截面是一個(gè)圓面，而不是一個(gè)圓，故 C錯(cuò)，故選D.3. 一個(gè)圓柱的母線長為 5,底面半徑為2,則圓柱的軸截面的面積為 （）A. 10 B. 20 C. 40 D. 15答案 B4. 一個(gè)圓錐的母線長為 20 cm,母線與軸的夾角為 30°,則圓錐的高為（）A. 105 cm B. 2073 cm C.

16、 20 cm D. 10 cm答案 A解析 如圖所示，在 RtABO 中，AB =20 cm, / A= 30°,所以 AO = AB cos 30 = 203 =10#(cm).5.如果圓臺(tái)兩底面的半徑分別是7和1 ,則與兩底面平行且等距離的截面面積是(A. 24 無B. 16兀C. 8兀D. 4兀答案 B_7+1解析截面圓的半徑為一2=4,面積為2= 16兀.教育資源6.如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是（）A .該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的B.該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn)C.該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形D .該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)面是四邊形，

17、其余均為三角形答案 D解析 其中ABCD不是面，該幾何體有 8個(gè)面.7 .用一張長為8,寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則相應(yīng)圓柱的底面半徑是（）B. 2兀A. 22-4C. 一或一 答案 C解析 如圖所示，設(shè)底面半徑為 r,若矩形的長8為卷成圓柱底面的周長，則 24=8,所以r=4；同理，若失!形的寬 4為卷成圓柱的底面周長，則24=4,所以r=j,故選C.8 .如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為（）A. 一個(gè)球體B. 一個(gè)球體中間挖去一個(gè)圓柱C. 一個(gè)圓柱D. 一個(gè)球體中間挖去一個(gè)長方體答案 B解析 圓面繞著直徑所在的軸，旋轉(zhuǎn)而形成球，矩形繞著軸旋轉(zhuǎn)而形成圓柱.故

18、選B.二、填空題9 .正方形繞其一條對(duì)角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是 .答案兩個(gè)圓錐 解析連接正方形的兩條對(duì)角線知對(duì)角線互相垂直，故繞對(duì)角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成兩個(gè) 底面相同的圓錐.10 .若母線長是4的圓錐的軸截面的面積是 8,則該圓錐的高是 答案 2 2解析 設(shè)圓錐的底面半徑為 r,則圓錐的高h(yuǎn)= "=2,由題意可知 22r h=r、/42r2 = 8,r2=8,，h=2版.11 .若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2兀的半圓面，則該圓錐的高為 .考點(diǎn)圓錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與圓錐有關(guān)的運(yùn)算答案 3解析 由題意知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2兀的半圓面，因?yàn)?兀=42,所以母線長為1=

19、2,又半圓的弧長為 2國圓錐的底面的周長為 24=2兀，所以底面圓半徑為 r = 1,所以該 圓錐的高為 卜=/-r2 = 業(yè)212 = 小.三、解答題12 . A, B, C是球面上三點(diǎn)，已知弦 (連接球面上兩點(diǎn)的線段 )AB=18 cm, BC=24 cm, AC =30 cm,平面ABC與球心的距離恰好為球半徑R的一半，求球的半徑.解如圖所示，因?yàn)?AB2+ BC2= AC2,所以4ABC是直角三角形.所以4ABC的外接圓圓心 Oi是AC的中點(diǎn).過A, B, C三點(diǎn)的平面截球 。得圓Oi的半徑為r= 15 cm.在 RtOO1C 中，R2=R2+r2.所以 R2 = R+152,所以 R2= 300,4所以R= 10也(cm).即球的半徑為10.3 cm.13 .圓臺(tái)側(cè)面的母線長為 2a,母線與軸的夾角為 30。，一個(gè)底面的半徑是另一個(gè)底面半徑的 2倍.求兩底面的半徑與兩底面面積之和.解 設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為 r,則下底面半徑為 2r,圓臺(tái)上底面面積為 S1,下底面面積為 應(yīng)，兩底面面積之和為 S.如圖所示，ZASO=30°,在 RtASO'