隨機(jī)變量及其分布考點匯總

1、隨機(jī)變量及其分布考點匯總作者：日期：2第二章隨機(jī)變量及其分布復(fù)習(xí)一、隨機(jī)變量.1. 隨機(jī)試驗的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的. 試驗如果滿足下述條件：試驗可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.它就被稱為一個隨機(jī)試驗.2. 離散型隨機(jī)變量：如果對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量 . 若是一個隨機(jī)變量，a，b 是常數(shù) . 則a b 也是一個隨機(jī)變量. 一般地，若是隨機(jī)變量， f ( x) 是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則f ( )也是隨機(jī)變量. 也

2、就是說，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量.3、分布列：設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為：x1 ,x2 , xi ,取每一個值x1 (i1,2,) 的概率 P(x i ) p i ，則表稱為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱的分布列.x1x2xiPp 1p 2p i有性質(zhì) p10,i1,2,； p 1 p 2p i1 .注意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量. 例如：0,5即 可以取 0 5 之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).典型例題：1、隨機(jī)變量的分布列為P(k )c則3)_k(k, k1,2,3P(11)2、袋中裝有黑球和白球共7 個，從中任取兩個球都是白球的概率為1 ，

3、現(xiàn)在甲乙兩人從袋中輪流摸去一7球，甲先取，乙后取，然后甲再取 ，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時終止，用表示取球的次數(shù)。（ 1）求的分布列（ 2）求甲取到白球的的概率3、 5 封不同的信，放入三個不同的信箱，且每封信投入每個信箱的機(jī)會均等，X 表示三哥信箱中放有信件樹木的最大值，求X 的分布列。4、為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班50 人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生5女生10合計已知在全部50 人中隨機(jī)抽取31 人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為5（ 1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（ 2）是否有 99.5 的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明

4、你的理由；（ 3）已知喜愛打籃球的10 位女生中，A1， A2， A3 , A4 , A5 還喜歡打羽毛球，B1B2B3 還喜歡打乒乓球， C1C2 還喜歡踢足球，現(xiàn)再從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的女生中各選出1 名進(jìn)行其他方面的調(diào)查，求B1 和 C1 不全被選中的概率下面的臨界值表供參考：2k )0.150.100.050.0250.0100.0050.001p(Kk2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828( 參考公式： K 2n(adbc)2，其中 n ab cd )(ab)(cd)(a c)(bd)- 3 -二、幾種常見概率1、條件概率與事件的

5、獨立性（ 1） B|A 與 AB的區(qū)別： _（ 2） P(B|A) 的計算公式 _, 注意分子分母事件的性質(zhì)相同（ 3） P(AB) 的計算公式 _注意三點：前提，目標(biāo)，一般情況_（ 4） P（ A+B）的計算公式 _注意三點：前提，目標(biāo)，一般情況_典型例題：1、市場上供應(yīng)的燈泡，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率80%，則從市場上買到一個是甲廠產(chǎn)的合格品的概率是多少？2、把一副撲克 52 張隨即均分給趙錢孫李四家， A=趙家得到六章草花 ， B=孫家得到 3 張草花 ，計算 P(B|A) ， P(AB)3、從混有5 張假鈔的20 張百元鈔票中任取兩

6、張，將其中1 張在驗鈔機(jī)上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔，求兩張都是假鈔的概率。4、有外形相同的球分裝在三個盒子， 每個盒子 10 個，其中第一個盒子 7 球標(biāo)有字母 A，3 個球標(biāo)有字母 B；第二個盒子中五個紅球五個白球；第三個盒子八個紅球，兩個白球；在如下規(guī)則下：先在第一個盒子取一個球，若是 A 球，則在第二個盒子取球；如果第一次取出的是 B 球，則在第三個盒子中取球，如果第二次取出的球是紅球，則稱試驗成功，求試驗成功的概率。5、在圖所示的電路中， 5 只箱子表示保險匣，箱中所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的概率，當(dāng)開關(guān)合上時，電路暢通的概率是 _6、甲、乙二射擊運(yùn)動員分別對一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為0

7、.8，乙射中的概率為0.9，求：（1） 2人都射中目標(biāo)的概率；（ 2）2 人中恰有1人射中目標(biāo)的概率；（ 3）21（ 4）2人至多有1人射中目標(biāo)的概率？人至少有 人射中目標(biāo)的概率；三、幾種分布1.獨立重復(fù)試驗與二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在 n 次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k 次的概率是：P(k)C kn pk q n k 其中 k0,1, n, q1p 于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量服從二項分布，記作 B（ n·p），其中n， p 為參數(shù)，并記C kn pk qn kb(k; n p) .二項分布的判斷與應(yīng)用.二項分布，實際是對n

8、次獨立重復(fù)試驗. 關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n 次獨立重復(fù)，且每次試驗只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項分布.- 4 -當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結(jié)果，此時可以把它看作獨立重復(fù)試驗，利用二項分布求其分布列.2.幾何分布：“k ”表示在第k 次獨立重復(fù)試驗時， 事件第一次發(fā)生， 如果把 k 次試驗時事件 A 發(fā)生記為 A k ，事 A 不發(fā)生記為 A k , P(A k) q ，那么 P( k)P(A1A 2A k1A k ) . 根據(jù)相互獨立事件的概率乘法分式：P( k) P(A 1 )P(A 2 )P(A k 1

9、 )P(A k )qk1p(k1,2,3,) 于是得到隨機(jī)變量的概率分布列.123kPqqpq2 pq k 1 p我們稱服從幾何分布，并記g(k, p)q k 1p ，其中 q1 p.k 1,2,33.超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有 M（ M N）件次品，今抽取n(1 n N) 件，則其中的次品數(shù)kn k是一離散型隨機(jī)變量，分布列為P( k)CMCNM(0 kM,0n kNM ) . 分子是從 M件次品中取C Nnk 件，從 N-M 件正品中取 n-k 件的取法數(shù)，如果規(guī)定m r 時 C mr0 ，則 k 的范圍可以寫為 k=0， 1， ，n. 超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a件次品

10、、 b 件正品組成，今抽取n 件（ 1 n a+b），則次品數(shù)kn kC a Cbk0,1, n. .的分布列為 P( k)nC ab超幾何分布與二項分布的關(guān)系.設(shè)一批產(chǎn)品由a 件次品、 b 件正品組成， 不放回抽取 n 件時，其中次品數(shù)服從超幾何分布. 若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把a(bǔ)b 個產(chǎn)品編號，則抽取 n 次共有 (ab) n 個可能結(jié)果，等可能：kk n k個結(jié)果， 故C nk a k b n kka ka n k，即 (a)( k) 含 C n a bP( k)C n () (1) , k 0,1,2, n. 我(ab) nB nbaba ba們先為 k 個次品選

11、定位置，共C kn 種選法；然后每個次品位置有a 種選法，每個正品位置有b 種選法 可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，P( k)P( k) ，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.典型例題：1、某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，計算（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字） ：（ 1）5 次預(yù)報中恰有4 次準(zhǔn)確的概率； （ 2） 5 次預(yù)報中至少有4 次準(zhǔn)確的概率2、在一個圓錐體的培養(yǎng)房內(nèi)培養(yǎng)了 40 只蜜蜂，準(zhǔn)備進(jìn)行某種實驗，過圓錐高的中點有一個不計厚度且平行于圓錐底面的平面把培養(yǎng)房分成兩個實驗區(qū)，其中小錐體叫第一實驗區(qū)，圓臺體叫第二實驗區(qū)，且兩個實驗區(qū)是互通的。假設(shè)蜜蜂落

12、入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的。（ 1）求蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；（ 2）若其中有 10 只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；（ 3）記 X 為落入第一實驗區(qū)的蜜蜂數(shù)，求隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望 EX 。3、A 、B 是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進(jìn)行對比試驗。每個試驗組由4 只小白鼠組成，其中兩只服用A，兩只服用B，然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A 有效的小白鼠只數(shù)比服用B 有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A 有效的概率為2/3 ，服用 B有效的概率為1/2.（ 1）求一個試驗組為甲類組的概率。（ 2

13、）觀察 3 個試驗組，用表示 3 個試驗組中甲類組的個數(shù)，求分布列- 5 -4. 某射擊運(yùn)動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為 p（ 0<p<1）。他有 10 發(fā)子彈，現(xiàn)對某一目標(biāo)連續(xù)射擊，每次打一發(fā)子彈，直到擊中目標(biāo)，或子彈打光為止。求他射擊次數(shù)的分布列。5、由 180 只集成電路組成的一批產(chǎn)品中，有8 只是次品，現(xiàn)從中任抽4 只，用表示其中的次品數(shù)，試求：（ 1）抽取的4 只中恰好有k 只次品的概率； （ 2）求分布列 .二、數(shù)學(xué)期望與方差.1. 期望的含義：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2x iPp1p 2p i則稱 E x1p 1x 2 p 2x n p n為的數(shù)學(xué)期望

14、或平均數(shù)、均值. 數(shù)學(xué)期望又簡稱期望. 數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.2. 隨機(jī)變量ab 的數(shù)學(xué)期望： EE(ab) aE b當(dāng) a0 時， E(b)b ，即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個常數(shù)本身.當(dāng) a1時， E(b)Eb ，即隨機(jī)變量與常數(shù)之和的期望等于的期望與這個常數(shù)的和當(dāng) b0時， E(a)aE ，即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機(jī)變量期望的乘積單點分布： Ec1c 其分布列為： P (1) c .兩點分布：E0q1 pp ，其分布列為：（ p + q = 1）0二項分布： Ekn!p kq n k np其分布列為Pqk! (nk )!B(n, p) . （ P 為發(fā)生

15、的概率）幾何分布： E1其分布列為 q(k, p) . （ P 為發(fā)生的概率）p.1p3.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的 定 義 ： 當(dāng) 已 知 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 列 為 P(xk )p k (k 1,2, )時，則稱D(x1 E ) 2p 1 (x2 E )2 p2(x n E )2 p n為的方差 . 顯然 D0 ，故D .為的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差 . 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度. D越小，穩(wěn)定性越高，波動越小.4. 方差的性質(zhì) .隨機(jī)變量單點分布：兩點分布：二項分布：幾何分布：ab的方差 D ( ) D (ab) a2 D. （ a、b 均為常數(shù)）D0其

16、分布列為 P( 1)p01Dpq 其分布列為：（ p + q = 1）PqpDnpqDqp2- 6 -5. 期望與方差的關(guān)系 .如果 E和 E都存在，則 E()EE設(shè)和是互相獨立的兩個隨機(jī)變量，則E()E E,D() DD期望與方差的轉(zhuǎn)化：DE 2(E )2 E (E )E( )E (E)（因為 E為一常數(shù)）EE0 .典型例題：T ，T ，T ，T ，電流能通過 T ，T ，T 的概率都是 p，1、 如圖，由 M到 N的電路中有 4 個元件，分別標(biāo)為1234123電流能通過T4 的概率是0.9 電流能否通過各元件相互獨立已知T1， T2， T3中至少有一個能通過電流的概率為 0.999 （）求

17、 p；（）求電流能在M與 N之間通過的概率；（）表示 T ，T ， T ， T 中能通過電流的元件個數(shù)，求的期望12342、一名小學(xué)教師為了激發(fā)學(xué)生閱讀名著的熱情，在班內(nèi)進(jìn)行名著和其作者的連線游戲，作為獎勵，參加連線的同學(xué)每連對一個獎勵一朵小紅花。假定一名小學(xué)生對四大名著沒有了解，只是隨即連線，試求該同學(xué)得到小紅花數(shù) X 的分布列，均值，方差。3、甲乙兩隊參加奧運(yùn)知識競賽，每隊3 人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分。假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為2 ，乙隊中3 人答對的概率分別為2 , 2, 1 且各人正確與否相互之間沒有影響 . 用表示甲隊的總得分 .3332（）求隨機(jī)變量

18、分布列和數(shù)學(xué)期望；( ) 用 A 表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用 B 表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求 P( AB).4、某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是2 ，且各次射擊的結(jié)果互不影響。3（）假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有 2 次擊中目標(biāo)的概率（）假設(shè)這名射手射擊5次，求有3 次連續(xù)擊中目標(biāo)。另外2 次未擊中目標(biāo)的概率；（）假設(shè)這名射手射擊3 次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1 分，未擊中目標(biāo)得0 分，在 3 次射擊中，若有 2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加 1 分；若 3 次全擊中，則額外加3 分，記為射手射擊 3 次后的總的分?jǐn)?shù)，求的分布列，均值，方差。- 7 -

19、三、正態(tài)分布 .1. 密度曲線與密度函數(shù)： 對于連續(xù)型隨機(jī)變量，位于 x 軸上方， 落在任一區(qū)間a, b) 內(nèi)的概率等于它與x 軸 . 直線 xa 與直線 xb 所圍成的曲邊梯形的面積yy=f (x)（如圖陰影部分）的曲線叫的密度曲線，以其作為圖像的函數(shù)f ( x) 叫做的密度函數(shù)，由于“x (,) ”是必然事件，故密度曲線與x 軸所夾部分面積等于1.xab1( x) 22. 正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機(jī)變量的概率密度為：f ( x)e 22.（ xR, ,為常數(shù)，2且0 ），稱服從參數(shù)為,的正態(tài)分布，用N( ,2) 表示 . f (x) 的表達(dá)式可簡記為N (, 2) ，它的密度曲線簡稱為正

20、態(tài)曲線 .正態(tài)分布的期望與方差：若 N ( , 2) ，則的期望與方差分別為：E, D2 .正態(tài)曲線的性質(zhì) .曲線在 x 軸上方，與 x 軸不相交 . 曲線關(guān)于直線 x對稱 .當(dāng) x時曲線處于最高點，當(dāng)x向左、向右遠(yuǎn)離時，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線 .當(dāng) x 時，曲線上升；當(dāng) x 時，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以x 軸為漸近線，向 x 軸無限的靠近 .當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖” . 表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中 .x23. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量的概率函數(shù)為( x)1x) ，則稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分e 2 (2布 .即 N(0,1) 有(x)P(x) ，(x)1( x)求出，而P （ a b ） 的 計 算 則 是P(ab)(b)(a) .注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的( x) 的 X 取 0 時，有(x)0.5 當(dāng) ( x) 的 X 取大于 0的數(shù)時，有 ( x)0.5. 比如( 0.50.5 則 0.5y)0.0793必然小于0，如圖 .S正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若 N (, 2) 則的分布函數(shù)通x常用 F (x) 表示，且有 P( x)F(x)xa()