蝴蝶定理和燕尾定理

1、燕尾定理燕尾定理: 在三角形ABC 中,AD , BE , CF 相交于同一點(diǎn) O，那么 S abo ： S aco BD : DC .(梯形中比例關(guān)系“梯形蝴蝶定理”）: S1 :S3 a2:b2a2: b2 : ab: ab ；2a b Si :S3 :S2: S4 S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為等積變形 等底等高的兩個(gè)三角形面積相等； 兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比; 兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；SA ACDSA BCD ；如左圖S ：S2 a:b 夾在一組平行線(xiàn)之間的等積變形，如右上圖 BCD反之，如果Saacd Sabcd，則可知直線(xiàn) AB平行于CD . 等底等高的兩個(gè)平行四

2、邊形面積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）； 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半； 兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于 它們的高之比.二、鳥(niǎo)頭定理兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比.如圖在 ABC中，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)如圖 （或D在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，E在AC上）,則 Sabc：Saade （AB AC）：（AD AE）C如圖，S22，S34，求梯形的面積.【鞏固】（2006年南京智力數(shù)學(xué)冬令營(yíng)）如下圖，梯形ABCD的AB平行于C

3、D ,對(duì)角線(xiàn)AC ,BD交于O,已知 AOB與 BOC的面積分別為 25平方厘米與35平方厘米，那么梯形 ABCD的面積是平方厘米.梯形ABCD的對(duì)角線(xiàn) AC與BD交于點(diǎn)O ,角形BOC面積的ABO的面積等于三已知梯形上底為2,且三角形-，求三角形AOD與三角形3BOC的面積之比.（第十屆華杯賽）如下圖，四邊形 ABCD中， 三角形ABD的面積3，那么OC的長(zhǎng)是多少? 三角形CBD的面積 5對(duì)角線(xiàn)AC和BD交于O點(diǎn),已知AO 1，并且C梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面積是9cm2，問(wèn)三角形 AOD的面積是多少?ADADG的面積是11,三角形如下圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被一些直線(xiàn)分成了若干個(gè)小

4、塊，已知三角形 BCH的面積是23，求四邊形EGFH的面積.如圖，正方形 ABCD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點(diǎn).求圖中陰影部分【鞏固】在下圖的正方形 ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD相交于F點(diǎn)，三角形BEF 的面積為1平方厘米，那么正方形 ABCD面積是平方厘米.如圖面積為12平方厘米的正方形 ABCD中，E,F是DC邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面 積.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB 6厘米，AD 2厘米，AE EF FB，求陰影部分的面積.（2008年”奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級(jí)試題）已知ABCD是平行四邊形，BC:CE 3: 2，三角形ODE 的面積為6平方厘米.則陰影部分的面積是平

5、方厘米.（單位：平已知三角形【鞏固】（2008年三帆中學(xué)考題 面積如圖所示（單位：平方厘米如圖所示，BD、CF將長(zhǎng)方形 積是10平方厘米.問(wèn)：四邊形ABCD分成4塊，DEF的面積是5平方厘米,ABEF的面積是多少平方厘米？CED的面【鞏固】右圖中 ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示 方厘米），陰影部分的面積是 平方厘米.）右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形, ），陰影部分的面積是平方厘米.）如圖，長(zhǎng)方形 ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中 3 OFBC的面積為平方厘（2007年”迎春杯”高年級(jí)初賽塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形 米.（9

6、8迎春杯初賽）如圖，長(zhǎng)方形 ABCD中，AOB是直角三角形且面積為 54，OD的長(zhǎng)是16,OB的長(zhǎng)是9 .那么四邊形 OECD的面積是.燕尾定理應(yīng)用【例11 2009年第七屆希望杯五年級(jí)一試試題）如圖，三角形ABC的面積是1 , E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn) D在BC上，且BD: DC 1:2 , AD與BE交于點(diǎn)F .則四邊形 DFEC的 面積等于.【鞏固】如圖，三角形AE: EC 3:5 , BD: DC 2:3，【鞏固】如圖，已知 BD DC , EC 2AE，三角形ABC的面積是30 ,求陰影部分面積.AABDCABC的面積是200 cm2, E在AC上，點(diǎn)D在BC上，且AD與BE交于點(diǎn)F .則

7、四邊形DFEC的面積等于 EC 2AE , BE與CD相交于點(diǎn)0 ,則 ABC被分成的4部【鞏固】如圖，已知BD 3DC， 分面積各占 ABC面積的幾分之幾?【鞏固】如圖，三角形 ABC的面積是1 , BD 2DC , CE 2AE , AD與BE相交于點(diǎn)F , 請(qǐng)寫(xiě)出這4部分的面積各是多少？【鞏固】如圖，E在AC上，D在BC上，且AE:EC 2:3,BD:DC 1:2 , AD與BE交于點(diǎn)F .四邊形DFEC的面積等于22 cm2，則三角形 ABC的面積.三角形ABC中，C是直角，已知AC 2 , CD 2 , CB 3, 影部分）的面積為多少？AM BM ,那么三角形 AMN （陰【鞏固】

8、如圖，長(zhǎng)方形 ABCD的面積是2平方厘米，EC 分的面積是多少平方厘米 ？2DE , F是DG的中點(diǎn).陰影部xF四邊形AEOF的面積是12，那么如圖所示，在四邊形 ABCD中，AB 3BE , AD 3AF , 平行四邊形BODC的面積為.E、F分別是AB、BC邊的中點(diǎn)， AF與CE交于G， 平方厘米.如圖所示，在 ABC 中，BE: EC 3:1 , D 是 AE 的中點(diǎn)，那么 AF :FC【鞏固】在ABC 中，BD:DC 3:2 , AE: EC 3:1，求 OB:OE ?【鞏固】在ABC 中，BD:DC 2:1 , AE: EC 1:3，求 OB:OE ?ABCD是邊長(zhǎng)為12厘米的正方形, 則四邊形AGCD的面積是如右圖，三角形 ABC 中，BD:DC 4:9 , CE: EA 4:3，求 AF : FB .如右圖， ABC中，G是AC的中點(diǎn)，D、E、F是BC邊上的四等分點(diǎn),M , AF與BG交于N