同濟大學_第五版_線性代數(shù)課后習題解析

1、習題解答1.利用對角線法則計算下列三階行列式:0 1-4-183a(1) 原式= 2x( - 4)x3 + 0x ( - 1) X ( -1) + 1 X 1 X8 -lx(-4)x(-l)-2x(-l)x8-0xix3=-4;(2) 原式=ac6 + bac + cba - c' - a' - b'=3ahc - a' b' - J(3) 原式=+=be? + ca + ab* ba cb ac(b - a) ab(b - a c(b - a) = (a - b)(b - c)(c - a(4) 原式= x(x + y)> + >r(.r

2、+ 3r) + (x + y)yx - (h + y)'-工 -y'=-2(F + y')2.按自然數(shù)從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數(shù)：(1) 1(3) 3(5) 1(6) 124333 4；2 1;(2n - 1)(2n 1)(2) 413 2；(4) 2 41 3;2 4 (2«)5 (2n)(2« -2)2.解(1)此排列為自然排列，其逆序數(shù)為0;(2) 此排列的首位元素的逆序數(shù)為0；第2位元素1的逆序數(shù)為1;第3位元 素3的逆序數(shù)為1;末位元素2的逆序數(shù)為2,故它的逆序數(shù)為0 +1 +1 + 2 = 4；(3) 此排列的前兩位元素的逆

3、序數(shù)均為0；第3位元素2的逆序數(shù)為2；末 位元素1的逆序數(shù)為3,故它的逆序數(shù)為0 + 0+2 + 3 = 5;(4) 類似于上面,此排列的從首位元素到末位元素的逆序數(shù)依次為0,0,2. 1,故它的逆序數(shù)為0 + 0 + 2+1=3;(5) 注意到這2h個數(shù)的排列中，前位元素之間沒有逆序?qū)?第 + 1位 元素2與它前面的n - 1個數(shù)構(gòu)成逆序?qū)?，故它的逆序?shù)為n - 1;同理，第«+2 借元素4的逆序數(shù)為M -2;；末位元素2«的逆序數(shù)為0.故此排列的逆序數(shù)為( - 1) + ( « - 2) + + 0 = H - 1)；(6) 與(5)相仿，此排列的前n十1位元

4、素沒有逆序?qū)Γ坏?+ 2位元素 (2» -2)的逆序數(shù)為2;第W + 3位元素2n - 4與它前面的In - 3,2n - 1,2m, 2n-2構(gòu)成逆序?qū)?故它的逆序為4;；末位元素2的逆序數(shù)為2(«-1),故此 排列的逆序數(shù)為2 + 4+ 2(« - 1)= “( - 1).3. 寫出四階行列式中含有因子aa23的項.解 由行列式定義知這項必還含有分別位于第3行和第4行的某兩元素. 而它們又分別位于第2列和第4列，即和 J或和042注意到排列1324 與1342的逆序數(shù)分別為1與2,故此行列式中含有62“的項為- 11 a2332 <2 44 與 23J4

5、fl42 4. 計算下列各行列式：-ab1acaebd -cddebfcf-ef1)12 0尸嚴巾41 2105 201 124D0解C -4r|rj-IOr,-152-4-2012021202口1"011701170-152-20幾+7巾0017850-72-400945704 12 421 4112 0 23-121; (2)10 5 2 012 3 20 11750 6 2仃)=0個第3、4行成比例);4 1(因有兩行相同);ri va(3) D / adf 尸2 r aC| T 6 abcdefri + r,fl + ari D=000 1 + M 1 b00+ ab2,I0

6、00=abcdef t1 + ab-10c 1-idadl +加0(-1)(-1/ad1 + cd=(1 + a6 ) (1 + cd) + ad 5. 求解下列方程：互不相等.口 +2解左式審話r&+3)C2 - Cl=-(x + 3)= j + 3)= (x + 3)(j -3).于是方程的解為:X, = -3tX2 =75,Xj = "73;/J*X -(2)注意到方程左式為4階范德蒙德行列式，由例12的結(jié)果得 (jr-a)(x-6)(x-c)(a-6)(a-c)(Z»-c)=0. 因a、b ,c互不相等，故方程的解為：文1 = a ,工2 = 6 ,工36.

7、證明：a?(1) 2aahb 2b(a - by;=C-(a + iy ("1)2 (c+lV (d + l)2a0 + 2)2 (2)2 a + 22(a + 3V (6 + 3)2 (小 3)2 a + 3)2ax by ay + bz az + bxX y z(2)ay + bz az + bx ax + by=(6? + 滬)y z Xaz + bx ax + by ay + bzz X y(a-6)a-c)(a-£/)(6-c)(6 - </)(c-J)(a + 6 + c + d)5=ay" + a.-|X0do證(1)左式Cl -O aiJ -

8、卩2a-b)0o.ab -護a b02bG2c(“7)2 ab _ b， 002b=(a - by =右式;(2) 將左式按第1列拆開得aj：ay + bzaz 十 Atbyay + bzaz + b工左式三pac + b工ax + by+bzas： 4 kxax + byaz3 + byay + bzbxflx + byay + bz=aD + bD? 1其中Xay + bzaz + bjrc 氐1Xay + bzzyaz + Ztcax + byyaz + bxXfj -razOX +ay + bzzojc + byyD.J：yzayay + hzaz + hxy2az + bxC2 &q

9、uot; “Izaz + bxax + by.厶Xax + by“r bXax + byay + bzXyay + bzyzXyD?o T 6“Fay z XJ y zcc >2z X yb'y z J："I"X y zz X yXy于是D= aD|=右式.2a + 12a +32a +5(3)左式c - flC "22a26 + 12c + 12d2b + I2c + I2d+ 1b(b a)滬(6, 26+326 + 52f+ 32f+ 52d 卜 32d+ 5=0 （因有兩列相同）;dd ac'kC a?) dUd' - aRo

10、展開cc - a各列握取公因子asG111ada)0c - bd - b0Xyc _ ba-bJCy»= (ft-a)(c-a)(d-a)0c6(6 +a) r(c + a)d2(d + fl)ri - 6( fc + a ) rjFTs譏其中：龍=c + a) (bc)(b + a - c(c +ac-6-aZ) = c(a + 6 + c)(c - 6); y = d(d + a)M(6+a) = H(a + 6 + H)(d6)(f - 6)(d - b)+ + a,工 + ao+c(a + 6 + c) d(a + b + d)= (c6)(d6)H(a + 6 + rf)c

11、(d + 6 + c) = (c-6)(t/-6)(rZ r)(a + 6)+ rf = (c 6)(d-6)(d-c)(fl + 6 + c + d)»因此左式= (6a)(ca)(d"fl)(c-)(</-6)(d-c)(a + 6 + c + /) =右式 (5)證一遞推法按第1列展開以建立遞推公式，D.嚴 jtD. + ( - Wa。=zD. + ( _1)“50 = hD. + ao< 又，歸納荃礎(chǔ)為:D.=a (注意不是H),于是D嚴hD鴿+如= x(xD,-i + «|) + 如=+ flix + «=5+%嚴"=X

12、+ ax證二按最后一行展開得XXXaa= Oo + a| x + +x""* +.7設(shè)階石列式D = det（G，把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時針旋轉(zhuǎn)90、或依副 對角線翻轉(zhuǎn),依次得J a”5 Ja” a “D產(chǎn)*t,02 =,03 =*J 5On JJ fill證明D嚴0 = （-1）蟲嚴0上嚴D.證（1）先計算D|,為此通過交換行將D,變換成D.從而找出D與D 的關(guān)系-D,的燉后一行是D的第1行，把它依次與前面的行交換，直至換到第1 行,共進行« - 1次交換i這時最后一行是D的第2行，把它依次與前面的行交 換，直至換到第2行,共進行»-2次交換；，直至最后一

13、行是D的第n-1 行,再通過一次交換將它換到第»-1行，這樣就把D,變換成D,共進行(» - 1) + ( n - 2) + - + I = y H ( « - 1)次交換，故D嚴（-1）N>D注r上述交換行列式的行（列）的方法，在解題時經(jīng)常用到.它的待點是 在把S后一行換到某一行的同時，保持其余» - 1個行之間原有的先后次序（但 行的序號可能改變）.2同理把D左右翻轉(zhuǎn)所得行列式為（2）計算6.注意到Dj的第1,2,，“行恰好依次是D的第小-1, 1列,故若把D2上下翻轉(zhuǎn)得D?,則D：的第1.2.-. n行依次是D的第1, 2.-.«列

14、，即D, = D.于是由（1）Dj = （-l）7-<-» Dj = （-=（3）計算6注意到若把Dj逆時針旋轉(zhuǎn)90得 瓦,則D,的第列恰好是D的第列，于是再把D,左右翻轉(zhuǎn)就得到D.由（1）之注 及，有注 本例的結(jié)論值得記取，即對行列式D作轉(zhuǎn)置、依副對角線翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)180所得行列式不變;作上下翻轉(zhuǎn)佐右翻轉(zhuǎn)、逆（鞭）吋針錠轉(zhuǎn)90所得行列式為8.計算下列各行列式（D*為冷階行列式）:a1其中對角線上元素都是s未寫出的元素都是0；a01a 110a1 aa«aa*0a0aa= a"2(/-l)D.= X(a - 1)"(a-l) 和提示:利用范徳蒙徳行列

15、式的結(jié)果.其中未寫出的元素都是0；(5) D. =det(a“)，其中 = I / - > I;D.=1 + a, 11 l + a?，其中(1)解一111 + a”把D“按第一行展開得0按第一列»開=廠2(宀1)解二由Mio(2)本題中6是教材例8中行列式的一般形式它是一個非常有用的行列 式，在以后各章中有不少應用工 + (« l)aa + («Da解 利用各列的元素之和相同,提取公因式. 工 + (« - iar, + rj + + GD.=x+ (n - l)a三二-工+(1)門I =2»,n= (x-a)"'*x

16、 + (w-l)a-(3)解把所給行列式上下翻轉(zhuǎn)，即為范德蒙德行列式，若再將它左右翻 轉(zhuǎn)，由于上下翻轉(zhuǎn)與左右翻轉(zhuǎn)所用交換次數(shù)相等，故行列式經(jīng)上下翻轉(zhuǎn)再左右翻 轉(zhuǎn)(相當于轉(zhuǎn)180，參看題7)其值不變于是按范徳蒙德行列式的結(jié)果，可得n (i -j)a - n )" (a - w + 1 )* a(4) 解 本題與例n相仿解法也大致相同用遞推法.由例K> , 上 ,.*")D肌即有遞推公式D"=(久必-6c. )0誤.小另一方面，歸納基礎(chǔ)為D：=6必-6弋|利用這些結(jié)果，遞推得D?. = (a.d. - 6工”(6必 6|Ci)=匸1(4同-力")*1(

17、5)解«-1 n-2 0一3n-ln-2-2002« -3-2-2（6）解第1行,得與例1.3相仿的行列式將原行列式化為上三角形行列武為此從第2行起，各行均去其中6二1 + 6十6右=5（1 + 2*）于是D. = 5 6（1 + S）-2"t .D的仃J）元的代數(shù)余子式記作A”求一 1-39設(shè)D =3-520-5n " ri1 + 51Ib 1002i«2" * = 2, n4 * _aia.0a.如+ 3As2 2A33 + 2Ajj 解 與例13相仿M,i+3A33-2Aj,+2A34等于用1.3.-2,2替換D的第 3行對應元

18、素所得行列式即1-123I-1113-4r1 + 0513-13_2213_20-53-31 -53031-I111-1-22202)A-213-213-20按<4«開1-531-5303-5*3 * r|10.(I)00= 24.用克拉默法則解下列方程組:X1 + Xi + Xj + X4 = 5：X| + 2工2 " Xj + 4x< = - 2;-2x, - 3工2 - jTj - 5x4 = -2,3x,4-45x, +6zj= 1,I + 5X2 + 6 工3=0,工 2 + 5xj +6x4 =0,解仃）+ 工2 + 2兀 + I Lt4 = 0 ；

19、Xj + 51111111112-1401-232-3-1-5r *2口0-5-3-731211了43尸10-2-1 8D =尸 4 +2rj-2-13-51 1-1380 1-5 14=_ 142;51II511122-1433 05-2-3 -I -53-20-40 1 2 11尸42r-10-1 0914D,=335-27032門+3”3-2-4230-22-2r,-10-19-10-I9按 c, «JF=-142；-27233222151115111"2-140-7-232-2-1-5n-2r,0-12-3-730211r "310"15 -I8

20、D?=211151115I2-1-2rj - ri0I 2-72-3-1-2n-2ri0*5-3"123120心*3八0-2-1-15-2914D,=-7-12-15-2-33-78按展開2333"13-31"35-2-20-5115-7-47230 -13330 -3115-1811501-7105 1210-2 -15II-47801-2914r "2<*2 -3rj8=-426;=-284383-7O -2ri r4 "3ri-2-13-55_7-47-29-13-5-4729= 142>由克拉默法則得5 6 0 05 6 0

21、6 0 015 6 0按“展開1 5 61 5 60 15 60 1 50 1 50 0 15申=#2,工嚴#D, 工產(chǎn)k(2) D = 3.x. = =-(*)= 65;= 114,于是 D = 325-114 = 211：16 0 05 6 06 0 00 5 6 0按“®開1 5 65 6 00 15 60 1 51 5 610 1500651 6 05 0 00 5 6+1 6 00 1 50 5 6按“展開00=-19 + 180=161；Dj =00= 5-114 =0651 5 05 6 0按“開0 1 61 5 00 0 50 1 61 00 00 65-109;00

22、由（»）式15 65 6 00 1 5+1 5 60 0 10 1 5按“展開-1 + 65 = 64 由（）式-65-216= 一 151;065由克拉默法則得109-_D 64八 ITT 宀 rwD, 151- D? _ 16111.問入"取何值時，齊次線性方程組Axi + 工2 + 工3 =0.X, +沖2+工3=0,工,+2/1X2 + 列=0有非零解?解由定理5此時方程組的系數(shù)行列式必須為0.A"（入-I）.i“112"1A fl 1 0 H 0 故只有當M=o或人=I時，方程組才可能有非零解.當嚴=0,原方程組成為JAJ） + Xj + Xj

23、 = 0,1 工，+工 3=0,顯然X,=l.Xj = l-A.J,= - 1是它的一個非零解！ 當A = l.原方程組成為X| +X2 + Xj = 0»'Zi + jttxj + 工J =0»工 1 +2沖2 + xj = 0, 顯然，工1 = - l.Xj =0»X3 = 1是它的一個非零解.因此，當"=0或A = 1時，方程組有非零解.注 定理5（或定理5'）僅表明齊次線性方程組要有非率解，它的系數(shù)行列式必為零至于這條件是否充分將在第三章中予以解決，目前還是應驗證它有非 零解.下題也是同樣情形.4x,=0, 巧MO. 工2 + (

24、1 - A)xj =012.問A取何值時，齊次線性方程組(1" A)j：| 2x2 +2x| + (3 A )x2 +1-A2A-I1入a-3 +A 4-(1-A)'A 3321-A01-A0-3 + 入n "(I " A)r,Xi +1-A-241 11-入23 人123-AI1 11 - A1-A-241-A2A-14-(1-A)因 D =有非零解？解 若方程組有非零解，由定理h,它的系數(shù)行列式D = 0.C3 -r A D n 入(入"3) rj T (A - 3)故D = O=>A = 0或入=2或A =3,并且不難驗證:當A=0時

25、心嚴-2.x, = bx3 = l;當入=2時，工產(chǎn)-2工2 = 3.6 =1;當 23時，工嚴-1,工2 =5,6 =2均是該方程組的非霧解所以當A =0,2,3時 方程組有非零解習題解答43I732(1)I-232;(2) (1,2,3)2；(3).1570I131計算下列乘積:(-1,2);3 1-1 2-3 140 -232-2 41(-1(2)| X2 =-1 23)X1-3 613(21 4 00 -111"134/2x41 -33X2246 -7820-5-6 丿 g55H.%5««a”3x360 -24X356a 2皿(5)(X| I Xj

26、87;)1«3叫孔+(2) (1.2.3).3 2l|X, +叭2工1 +%工2 +3* I221 + auHjZj + aXyXi154 +5工2 + 5工3丿= axj + a,2X1X2 + auXiXj +工 i + 0«工3工2 + 0«工5= aiixj + <122工2 + 2ai2X, X2 + 2a 工+ 2幺"工2 工3 11112311-1,B =-1-241-110512.設(shè) A =求 3AB-2A 及 解AB =于是 3AB-2A =3(05-5915-152786024180058=0-56290111-111.22、2

27、-2=-22,-234-2-2422.213-17292220-2因A JA,即A為對稱陣，故AB = AB =5-593已知兩個線性變換4=2” +力<工2= -2， +3力 + 2力，-工3 = 4加+力牛5山I求從Z|到X,，孔，帀的線性變換解依次將須個線性變換寫成矩陣形式：X = AY.y=BZ,y, = -3z, + ", >2 = 2z, + «, 力=«2 + 3n3,2 0 1-31 0工|其中A =-2 3 2>B =2 0 1分別為對應的系數(shù)矩陣；x =4 I 50-13Z| *2 < Zy到X, tXj的線性變換的矩&

28、gt;1y=，2> Z =«3在這些記號下，從陣形式為這里矩陣20I-31 O'_613C = AB =-23220I=12-49,4150-13j-10-116“二 A(BZ) = (AB)Z = CZX| = - 6zi + Z2 + 33 X2 = 12Z| *Az2 +9Zj巧 ® lOzj Zj + 1623.即有“設(shè)-C )B = (；)冋(1) AB = BA 嗎？(2) (A + B)2 = a+aB + B?嗎？(3) (A + B)(A-B) =嗎？解因T；乳；)(3 A故 ABH%(2) (A + B)' = (A + B)(A

29、+ B) = A +AB + BA + B 但由(1),ABHBA ,故 AB + BA#=2AB >從而(A + bFHA，+2AB + BS(3) (A + B)(A - B) = A? + BA AB - 但由(1), ABH BA 故 BA - ABHO.從而(a + b)(a-b)9=a'-b5.舉反例說明下列命®是錯誤的J（1）若 = O.則 A = O;（2）若 A2 = A,則 A = O 或4 = £（3）若 AX = AY,且則 X = y.解（1）取A二（j,有以=O,但AHO;(2)取(0，有a2 = A,但A#O且A護E;(3)取 A

30、 =(加mi ：）"彳昇卜有*小且AS但XHY6.設(shè) A = （：求 A，A、，A.解直孔憐JT ：)(： ：)=(L)(：:卜 J7寫 事實上，當A = 1時，（2.3）式顯然成立;設(shè)當* = «時，（2.3）式成立，那么當* = « + 1時,. = （； ；）（；：）一般可得1 0(« + l)A 1(2.3)由歸納法，知（23）式成立.A 107設(shè)A =0 A I，求 A".100A解把A寫成兩個矩陣之和A00010A =0A0+00100A000AE + B,0 1 00 0 1其中三階矩陣B=0 0 1滿足B2 =0 0 00 0

31、00 0 0 B'O (Q3)cLa-'nA«(«-!)2=0A"CtA-'= A*0nA【00A"丿00(Q2)agqe + b)，= Ufe + c*7b + + c少 =CFE + C扶B + C”2設(shè)AB為階矩陣，且A為對稱陣證明BAB也是對稱陣. 根據(jù)矩陣乘積的轉(zhuǎn)置規(guī)則有于是8證(BTab)t = BTaT(bT)t = bTaB (因 A 為對稱陣)，故由定義，知BAB為對稱陣.9.設(shè)A ,B都是階對稱陣，證明AB是對稱陣的充要條件是AB = BA . 證因 A" = A,B = B.故AB為對稱陣U(AB)

32、t = ABAB 冃 BA = AB:(COS & sin 0sin 6cos 5 / *12-1a,034-2；(4)25410久10-求下列矩陣的逆陣:仃)(3)65乙工0)(1)由二階方陣的求逆公式(教材例10)得4 :H./cos 0 sin.-sin &ecos1/ cos 0 sin 6cosT +sir? - sin 0 cos 0 I cos & sin 0 - sin 0 cos 0 / *因lAtMhMn =4-2-4 3 5 3 54-424-4-22-4-2= 13,= -32,5 11 25 -4=-14.M-224=-2,于是(4)因-420

33、-21012-136-1=13 T312-3214-2，-167-1a,Mh-MnM門芮A =yMi-Mjj工O.f = l2，力.于是矩陣B =血gg石宀詔是有意義的,并且因AB =diag(d, ,5 ，a. )di8g(占士占“1«3S由定理1的推論，知A可逆，且A "盹（詁詁士 注本題結(jié)論值得記取，可當作公式用.11.解下列矩陣方程： e ；H：220 1 01 0 01-431 0 0X0 0 1=2 0-10 0 10 1 01 -2 0：) = (o解(1)因矩陣(；左乘方程兩邊得.耕的行列式=1,不為零，故它可逆從而用它的逆矩陣(2)記矩陣方程為22det

34、A =-G D C ：)4(J 1)G 1)=(0XA”嚴因故A可逆用右乘方e的兩邊得又，A"MhMy,I0I-M,2Mu_ 1-23-2MnM33-33017/ "171于是=-3 4記A =1 / -6 6T -8 15-2-3-28 "丁 ：).c=G0332_20_1 則矩陣方程可寫為AXB = C.因|A|=6HOIB22?M).故A .B均可逆依次用A"和左乘和右乘 方程兩邊得：)(0120謂；1)(0 .；)(；)0 1 010 0(4)本題與(3)相仿因矩陣1 0 0和0 0 10 0 10 1 0的行列式都是-1故T 0均是可逆陣并且0

35、 1 0-10 1 010 0-11 0 01 0 0=1 0 0t0 0 1=0 0 1,0 0 10 0 1,0 1 00 I 001011 -43100-I=1002 010010011 -200100101-43】100=10020-100I0011-2Oj01001013_4】2-10=1002-1013-400110-2.10_212.利用逆矩陣解下列線性方程組:工1故得XX| + 2x2 + 3hj = 1,(1) - 2x1 + 2x2 +5玄)=2, 3xi + 5x3 + xj =3;解將方S組寫作矩陣形式一孔_工嚴2,(2廠 2工1 -工2 "3xj = 1&#

36、187; 3xi + 2x2 -5z3 " O'Ax =這里，A為系數(shù)矩陣，工=（巧，孔，巧）T為未知數(shù)矩陣丄為常數(shù)矩陣.1 22 23 5= 15H0,故A可逆于是I 23 1IX = A ' 6 =2 2523 51J3-231313-84112_ 1 Ml M1501041-230 ,0即有4 = 1，5 = 0,1x3=0；因lAl二A可逆，于是1-1-1-12=A''6 =2-1-31325,0,11-722151551-211=1307-510.9=3工0故X1 -32 -5即有Xi =5, 孔=013-已知線性變換4 =2>, +2

37、力 + 力，-工 2 = 3 刃 + >2 + 5 力.3 = 351 +2力 + 3,3.求從變量4小2,4到變址加2*3的線性變換 解 記工=（4，帀，工3）T”=（力Q2，M）T，則線性變換的矩陣形式為X =2 2 1Ay其中A為它的系數(shù)矩陣因del A = 31 5.3 2 3, 是從變fi工I，工2,孔到變量刃*2，力的線性變換的矩陣形式為 y = A-432-763x9-7 .-4= 10,故A是可逆陣于于是yi-7-49>2二63-7%>3324>i = -7廠-4% +9巧，2 =6x, + 3x2 _7如力=3xi + 2x2 - 4jTj -14.設(shè)

38、A為三階矩陣，lAl=赤求I（2A）7-5AT解因lAl二yHO.故A可逆于是由A - = |A|A-*=yA '2i (2A)-'(2A)-' -5A* =yA'' -yyf = -2A'兩端取行列式得1(24)" - 5A* I = I - 2A-*i =( - 2)14 r* = - 16.注 先化簡矩陣，再取行列式往往使計算變得簡單.1 0 3 3 AB = A + 2B 求 B15.設(shè) A =1 02 3解由 AB = A+2B(A-2E)B = A.-23 30 6 60 3 3-2 4 6=-12 3,220110因 A

39、-2E =，它的行列式del (A -2£) = 2H0故它是可逆陣.且 AB + E = A + B.求 B.1 0 2 1 用(A-2E)' 左乘上式兩邊得-23 3-10 3 3-2E)''A =1 -1 01 1 0-1 2 1-1 2 3-1 330 3 3-1131 I 011-1-I 2 3B =(A10116.設(shè) A =020101解 由方程AB + E = A? + B，合并含有未知矩陣B的項，得(A -£)B»2-E = (A E)(A + £)0 0 1又.A-E= 0 1 0 ,其行列式det(A-

40、3;)= -1H0,故A-E可逆，用 I 0 0.(A-£)7左乘上式兩邊即得2 0 1b=a+e=0 3 0.1 0 2.17.設(shè) A = diag(U-2a)M*BA=2BA-8£,求 B解 由于所給矩陣方程中含有A及其伴隨陣A ，因此仍從公式AA'= lAlE著手.為此，用A左乘所給方程兩邊，得AA* BA=2ABA-SA.又，|A| = -2H0,故A是可逆矩陣，用A-'右乘上式兩邊，得|A|jB=2AB-8£=>(2A+2E)B = 8£=>(A + £)B=4£.注意到 4 + £ =

41、 diag(l,-2J) + diag(I J.l) = diag(2,-1.2)是可逆矩陣，且(A 十 E ) * = diag (寺，1，寺)， 于是B = 4(A + E)t =diag(2. -4,2).1& 已知矩陣 A 的伴隨陣"=diag(ia.l,8),且4BAT=BA7+3E,求 0.解 先由來確定|A|.由題意知A 7存在，有A' = I A I A得 |aT = |A|TaT = |A|、，而|A1=8,故I A I =2.再化簡所給矩陣方程 ABA ' =BA'' +3E=>(A-E)BA''=3&

42、#163;f E)B = 3A=>(E-A'*)B = 3E,由 |A1=2,知 A '=jA- =ldiag(l,l,l8) = diag(W*,4),E A * " diagi 3(E-A-')-'=diag 2,2.2,-y于是19解于是B = 3(E-A"')-' =3diag(2,22,-y) = diag(666,-l) :)八鳥)" 本題與教材例13相仿因P''AP= A,故A = Mp7.A" =PA" p7=(: :)(;)"4(-； ：)(；)(

43、設(shè)P 'AP = A,其中P =-420.I11-110"2,A =11-115,設(shè)AP =PA,其中P =1 I 1+2"4 + 2” _/2 7312 732-1-2"-4-2"/"-683-684求 9>(A) = A®(5E-64 + A?"0 "2=-6HO,故P是可逆陣.于媳，由AP= PA得A = P/1P|,并且記多項式9>(x) = x'(5-6x + x').有卩(A2P卩p7.因A是三階對角陣，故于是護(A) =di8g(卩(-1) 卩(1),卩(5) N

44、diag(12,0.0) =4注'由于卩(A)除(1 J)元外均是0故在求P時只需計算P的(1,1)元、(2,1) 元,(3,1)元的代數(shù)余子式A.A2,和A".21 設(shè)= O 為正整數(shù))，證明E-A可逆，并且其逆矩陣(£-A)-* = £ + A + A + "* + A*證由(E A)(E + A + a" + ' + A*"') * E + A + /C7"A-A'-一A" = EO = E、由定理2之推論知E-A可逆，且其逆矩陣(£-A)7=E + A + 4*7.

45、注 判斷矩陣B是否為A的逆矩陣，最直接、最簡單的方法就是驗證AB(或者BA)是否等于單位矩陣，就像判斷3是否為扌的逆只需驗證yX3是否等 于1 一樣下一題及例2.1都是這一思想的應用.22.設(shè)方陣A満足(2.4)八A2£=O, 證明A及A+2E都可逆，并求A"及(A+2E)7.解 先證A可逆由(2.4)式得A(A -E) = 2E,:也就是A(y(A-E)l = E由定理2之推論知A是可逆的，且A '*(-£);再證A+2£可逆用例21的解法，由(A +2£)(4 - 3£) = 4 - A - 6£ = 2E-6£= -4E,(A+2E)葉(3E-A)J = E同理，知 A+2£ 可逆，且(A+2E) ji(3E-A).23.設(shè)矩陣A可逆,證明其伴隨陣A'也可逆，且(A