第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(16節(jié))

1、1 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2 羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理統(tǒng)稱微分學(xué)中值定理，它們在理論上和應(yīng)用上都有統(tǒng)稱微分學(xué)中值定理，它們在理論上和應(yīng)用上都有著重大意義，尤其是拉格朗日中值定理，它刻劃了著重大意義，尤其是拉格朗日中值定理，它刻劃了函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的變化與導(dǎo)數(shù)概念的局部性之間函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的變化與導(dǎo)數(shù)概念的局部性之間的聯(lián)系，是研究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)。的聯(lián)系，是研究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)。學(xué)習(xí)時(shí)，可借助于幾何圖形來幫助理解定理的學(xué)習(xí)時(shí)，可借助于幾何圖形來幫助理解定理的條件，結(jié)論以及證明的思路；并由此初步掌

2、握應(yīng)用條件，結(jié)論以及證明的思路；并由此初步掌握應(yīng)用微分學(xué)中值定理進(jìn)行論證的思想方法。微分學(xué)中值定理進(jìn)行論證的思想方法。3第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理, )()(0 xfxf .0)(0 xf那么那么一、費(fèi)馬引理：一、費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某鄰域的某鄰域u(x0) 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, 并且在點(diǎn)并且在點(diǎn) x0 可導(dǎo)。如果對任意的可導(dǎo)。如果對任意的),(0 xux 有有),)()(0 xfxf 或或4不妨設(shè)不妨設(shè) xxfxxfxfxfx )()(lim)()(00000則則證明：證明：),()(,)(00 xfxfxux 時(shí)時(shí)有有于是，對于于是，對于),(0

3、0 xuxx ),()(00 xfxxf 0 xxfxxfxfxfx )()(lim)()(00000且且0 0)(0 xf證畢證畢5）羅爾定理（羅爾定理（二、二、th-r 滿足滿足若若)(xf 上連續(xù)上連續(xù)在在ba,1 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在ba,2 bfaf 3 0, fba一點(diǎn)一點(diǎn)則至少則至少6r-th 的幾何意義：的幾何意義：軸軸或平行于或平行于點(diǎn)的切線平行于弦點(diǎn)的切線平行于弦對應(yīng)對應(yīng)xab ab 1 xy07證：證： f (x) 在在 閉區(qū)間閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，上連續(xù)，f (x)在在 a, b 上必有最大值上必有最大值m及最小值及最小值m,有兩種情況有兩種情況: (1) m = m

4、;(2) m m .(1) 若若 m = m ， 則則 m = f (x) = m ,f (x) 為常數(shù)，即有為常數(shù)，即有 ,0)( xf那么那么 ( a, b ) 內(nèi)任一點(diǎn)都可取作內(nèi)任一點(diǎn)都可取作 ， m = m 時(shí)，定理必成立。時(shí)，定理必成立。8(2) 若若 m m ，m , m 中至少有一個(gè)不等于中至少有一個(gè)不等于 f (a) 或或 f (b),不妨設(shè)不妨設(shè) m f (a) , (設(shè)設(shè) m f (a) 同樣可證）同樣可證）又設(shè)有又設(shè)有 f () = m, . 0)(),( fba要證要證因此，對任意因此，對任意).()( fxf f (a) = f (b) ,bax 有有從而由費(fèi)馬引理可

5、知從而由費(fèi)馬引理可知0)( f證畢。證畢。9),()(11:baxf在在）換成）換成若把（若把（，注注則結(jié)則結(jié)上連續(xù)上連續(xù)或或,(),baba 1010)(,xxxxf如如論不一定成立論不一定成立 1 , 1, 2 xxxf)2(,0不滿足不滿足處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x1 , 0)(, 3 xxxf 321，但不滿足，但不滿足滿足滿足的的三三個(gè)個(gè)條條件件是是充充分分的的thr , 4但但非非必必要要的的如如： 3121010)(3xxxxxxg軸的切線。軸的切線。處有平行于處有平行于在在但但xxxg2)( 10 xxfcos)( 例例：驗(yàn)驗(yàn)證證 ，、上滿足上滿足在在證：顯然證：顯然212 ,

6、0cos x 02 , 0 xf使使 正確正確對對xxfthrcos)( 的正確性的正確性上上，在在thr 20 )3(, 1)2()0(滿足滿足且且 ff xxxf0sin令令11,001110 xxaxaxannn有正根有正根若方程若方程例：例： 0112110 nnnaxanxna則則的正根的正根必有小于必有小于0 x則由題設(shè)則由題設(shè)設(shè)設(shè)證：證：,)(1110 xaxaxaxfnnn 上上在在則顯然則顯然有有, 0)()0(0)(00 xxffxf 使使一點(diǎn)一點(diǎn)至少至少的條件，的條件，滿足滿足0, 0 xthr 01)(12110 nnnaannaf 12 的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，不用求出不用求

7、出例：例：4321)( xxxxxf 有有幾幾個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)根根，說說明明方方程程0 xf且且的的條條件件上上滿滿足足，在在易易見見解解,4 , 3,3221 )(:thrxf 0)(, 0)4()3()2()1( xfthrffff所以由所以由.)4 , 3(),3 , 2(),2 , 1(,3內(nèi)內(nèi)分別位于分別位于個(gè)根個(gè)根有有出出他他們們所所在在的的區(qū)區(qū)間間并并指指13 ，恒不為恒不為內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)設(shè)例：例：0),(,)(xfbabaxf 內(nèi)內(nèi)有有且且僅僅有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在試試證證又又),(, 0)(. 0)()(baxfbfaf 由零點(diǎn)定理，由零點(diǎn)定理，

8、且且上連續(xù)上連續(xù)在在證：證：, 0)()(,)( bfafbaxf :, 0,00再證唯一性再證唯一性一點(diǎn)一點(diǎn)至少至少 xfbax ，有有若還有若還有用反證法用反證法0,1101 xfbaxxx baxxthrxfxxxx,)(,101001 滿足滿足上上則在則在不妨設(shè)不妨設(shè)的零點(diǎn)唯一的零點(diǎn)唯一矛盾矛盾）（一點(diǎn)一點(diǎn)至少至少)(0)(,10 xffxx 14 若若 f (x) 在在0, 1上有二階導(dǎo)數(shù)，且上有二階導(dǎo)數(shù)，且 f (1) = 0,設(shè)設(shè) f (x) = x2 f (x)，試證在（試證在（0, 1）內(nèi)）內(nèi)至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) ，使使, )()(2)(2xfxxxfxf .0)( f可

9、導(dǎo)，可導(dǎo)，內(nèi)內(nèi)在在上連續(xù)上連續(xù)在在), 0(, 0)(11 xf 0)0( f使使, )1 , 0(1 ；0)(1 f例例證：證： f (x) 在在0,1上上連續(xù)連續(xù), ,在在(0, 1)內(nèi)內(nèi)可導(dǎo)可導(dǎo)( (由由題意題意),),0)1()1(ff 則由羅爾定理，則由羅爾定理，,0)0( f顯然顯然又由羅爾定理又由羅爾定理，), 0(1 , )1, 0( .0)( f使使15)(thl 拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理三三、上連續(xù)，上連續(xù)，）在）在滿足（滿足（若若,1)(baxf內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，）在）在（),(2ba ba, 一點(diǎn)一點(diǎn)則至少則至少 abfafbf 有有 abafbff 或或l-th

10、 的幾何意義：的幾何意義：16 axabafbfafyab :的方程為的方程為證：證： yxfx 令令 axabafbfafxf 0 ba則則 0),( bathr由由 abafbfxfx abafbff 17仍成立仍成立上式對上式對注：注：ab , 1:稱為稱為拉拉格格朗朗日日中中值值公公式式, 2有限增量公式有限增量公式中值公式中值公式應(yīng)用應(yīng)用或或在在 lxxxxxx, 10 xxxfxfxxf:或記為或記為)(精確值精確值 bafbfaf xxxfy 18 :, 3的比較的比較與與dyy );(的精確值的精確值yxxxfy )()(的近似值的近似值yxxfdy 而而需需要要函函數(shù)數(shù)增增量

11、量的的取取得得有有限限增增量量在在有有些些問問題題中中當(dāng)當(dāng)自自變變量量,xx 因此此定理因此此定理示出它的價(jià)值示出它的價(jià)值拉格朗日中值定理就顯拉格朗日中值定理就顯精確表達(dá)式時(shí)精確表達(dá)式時(shí),.,或微分中值定理或微分中值定理也稱為有限增量定理也稱為有限增量定理190)(),()(1 xfbaxf上上恒恒有有在在若若推推論論0)(),()( xfbaxf上恒為常數(shù)，則上恒為常數(shù)，則在在若若 中值公式，中值公式，由由證：證： lbaxxxx,2121 00)(121212 xxxxfxfxf cxfbaxx ,21 這里這里其其逆逆命命題題成成立立為常數(shù)為常數(shù)上上在在則則),()(baxf20)()(

12、)()(2xgxfixgxf 上有上有在區(qū)間在區(qū)間和和若若推論推論上相差一個(gè)常數(shù)上相差一個(gè)常數(shù)在在與與則則ixgxf)()(0)()()()( xfxgxfxf證：令證：令cxgxfcxf )()()(1即即由推論由推論.21,),(,)(),(,仍成立仍成立，推論推論內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在時(shí)只要時(shí)只要是閉區(qū)間是閉區(qū)間注：當(dāng)注：當(dāng)babaxgxfbai21的正確性的正確性上上在在例：驗(yàn)證例：驗(yàn)證thlxy 1 , 02條件條件上滿足上滿足在在易見易見證：證：thlxy 1 , 02 01201:22 xx所以有所以有 1 , 02112 22 ,0 bfaf且且 ,ba . ff 使

13、使例：例：設(shè)設(shè) f (x) 在在a, b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，證明存在一點(diǎn)證明存在一點(diǎn)23由羅爾定理，存在由羅爾定理，存在 ，作作xexfxf , 0 aeafaf 使使,ba , 0 f證明：證明：由條件知由條件知f(x) 在在a, b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 , 0)( bebfbf, )()(bfaf 0 ff即即 ,)(xxexfexfxf ，有有0)( efeff . ff 得證。得證。24 此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造合理的輔此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造合理的輔助函數(shù)，可采用助函數(shù)，可采用反向演繹反向演繹的思維方式，的思維方式，多掌握一些函數(shù)的

14、導(dǎo)數(shù)形式，如多掌握一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，如 , )(lnxfxfxf ,xfxxfxfx 25.0ba 且且 ,ba .)()()()()(2 ffabababfbaf 使使得得例：例：設(shè)設(shè) f (x) 在在a, b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，證明存在一點(diǎn)證明存在一點(diǎn)定理。定理。上運(yùn)用上運(yùn)用在在令令 lbaxxfx,)()( 26試證試證例：若例：若,20 時(shí)時(shí)，題題設(shè)設(shè)成成立立顯顯然然當(dāng)當(dāng)證證： 條件條件顯然滿足顯然滿足設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)thlxxxf ,tan 使使， 2cos)(tantan f 2, 0 ，這里這里 單調(diào)單調(diào)在在2, 0cos12 x 22costantanco

15、s 22costantancos 試證試證27例例 xxxxx )1ln(1, 0 試證試證若若證：證：)1ln()(xxf 令令定理，定理，應(yīng)用應(yīng)用在在時(shí)，對時(shí)，對當(dāng)當(dāng) lxxfx, 0)(0)0()0()()0()(xxffxf 有有 1)1ln(xx即即xxxx 11而而xxxxx )1ln(1,0有有時(shí)時(shí)則則28).0(1arctanarctan122baaababbab ,arctan)(baxxxf 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在連連續(xù)續(xù)上上在在則則babaxf,)(例例 證明：證明：分析：分析： 出現(xiàn)函數(shù)出現(xiàn)函數(shù) arctan x 在在a, b上的增量上的增量,可用可用 l定理證明定理證明

16、。由由l 定理：定理：使使),(ba , )()()(abfafbf , )(11arctanarctan2abab 即即令令證證 ：29, )(11arctanarctan2abab ,111111222ba ,0ba ,111222ba 21bab, 0 ab又又21 ab21aab ).0(1arctanarctan122baaababbab 30例例 證明恒等式證明恒等式)11(2arccosarcsin xxx 證：證：xxxfarccosarcsin)( 令令則則 221111)(xxxf= 0所以由前面的定理可知：所以由前面的定理可知：在在-1 x 0.試證試證 )().()()

17、()(baababba 分析：分析：ababababbaababba )()()()( baaabb11)()( 40221)()()()( 所以如令所以如令,)()(xxxf ,1)(xxf 對它們在對它們在a, b上應(yīng)用柯西中值定理即可。上應(yīng)用柯西中值定理即可。請同學(xué)們自己完成證明過程。請同學(xué)們自己完成證明過程。41第二節(jié)第二節(jié) 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 0),(都都時(shí)，時(shí)，或或若若xfxfxax 或或這時(shí)稱之為未定式這時(shí)稱之為未定式00: 也可能不也可能不可能可能則則xfxfxax)(lim 現(xiàn)用現(xiàn)用c-th來導(dǎo)出求這類極限的簡便方法即來導(dǎo)出求這類極限的簡便方法即:洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則42

18、0lim, 0lim1 xfxfaxax若若定理定理 0,2 xfxfxfa都存在且都存在且在在 或或xfxfaxlim3 xfxfxfxfaxax limlim則則.型也有上述結(jié)論型也有上述結(jié)論時(shí)的時(shí)的或?qū)驅(qū)ψⅲ簩ψⅲ簩?xaxx43 處處在在證證：由由條條件件axxfxf ,)1( axaxxfxfau 0,*內(nèi)內(nèi)引引進(jìn)進(jìn)函函數(shù)數(shù)在在 在以在以、則對則對xfxfaux*, 可去可去間斷間斷無定義無定義連續(xù)，即連續(xù)，即只可能只可能,. 20)(. 1af axaxxfxf 0* axxaxa,為為端端點(diǎn)點(diǎn)區(qū)區(qū)間間、44 開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)21 條件條件滿足滿足

19、即即thcxfxfxfxf *,0) )(3 之間之間與與在在xaffffafxfafxf )()(*aaxax 時(shí)時(shí)注意到注意到由等式兩邊取極限且令由等式兩邊取極限且令, xfxfffafxfafxfxfxfaxaaxax limlimlimlim* ;. 1端也為無窮大端也為無窮大上式右端為無窮大時(shí)左上式右端為無窮大時(shí)左注：注： 的條件時(shí)則可繼續(xù)用的條件時(shí)則可繼續(xù)用且仍滿足且仍滿足仍為仍為若若thxfxfax00lim. 2 xfxfxfxfxfxfaxaxaxlimlimlim45 3423lim:431xxxxx例例注注: 1,可見用洛必達(dá)法則求極限當(dāng)分子分母都是次數(shù)較可見用洛必達(dá)法則

20、求極限當(dāng)分子分母都是次數(shù)較 高的多項(xiàng)式時(shí)可避免繁碩的因式分解高的多項(xiàng)式時(shí)可避免繁碩的因式分解; 2,用洛必達(dá)法則求極限時(shí)每做一步都要查看一下用洛必達(dá)法則求極限時(shí)每做一步都要查看一下 是否還為不定型是否還為不定型,若不是就不能用洛必達(dá)法則若不是就不能用洛必達(dá)法則,否則否則 會出錯(cuò)會出錯(cuò) 4433lim321xxx21126lim21 xxx46 30sinlim:xxxx例例 xxx1sinarctan2lim: 例例11lim22 xxx 203cos1limxxx616sinlim0 xxx )1(1cos11lim22xxxx2211cos1limxxxx 47,; )0(;ln:xueu

21、xx 討論討論例例 uxxxlnlim:解解 xuxexlim?,哪個(gè)增長最快哪個(gè)增長最快時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x 11limuxuxx01lim uxux xuxeux1limxuxexuu2)1(lim 是整數(shù)是整數(shù)ueuxx0!lim 48”）“）“（例：例： 11ln1lim1xxx 00ln1ln1lim1xxxxx）（2111ln1lim1 xx）（1ln1lim1 xxxxx xxxxx1ln11lim149 0sin000lim:xxx例例 xxxlnsinlim000lim00 ）（xx1lim0sin00 exxx xxxesinln00lim xxxx2sincos100limxxxe

22、lnsin00lim 型型 0 xxxsin100lnlimxxx2sin1100lim 50nxxnxxxnaaa)(lim11211 例：例：e e ”型”型“）均均（ 10.21naaalnlnlim11211naaanxxnxxx ）（nxnaaaxnxxx1lnlnlim11211 ）（51e )ln(21naaa2211111121111(lnln1limnxxaaaaaaanxnxxnxxx ）（e naaa21 52xxx）（例：例：1lnlim00 ”“0 e ）（xxx1lnlnlim00 e xxx100lnlnlim）（ e 21ln1001limxxxx ）（e xx

23、xlnlim00 10 e53但不能用洛必達(dá)法則。但不能用洛必達(dá)法則。存在存在例：驗(yàn)證極限例：驗(yàn)證極限,sinsinlimxxxxx 1sin1sin1lim: xxxxx解解但若用洛必達(dá)法則但若用洛必達(dá)法則: xxxxxsinsinlim ）（）（當(dāng)當(dāng)kkxkkxkk 200221極限不存在。此例說明洛必達(dá)法則不是萬能的極限不存在。此例說明洛必達(dá)法則不是萬能的.xxxcos1cos1lim 54可見一味用洛必達(dá)法則，則永遠(yuǎn)無結(jié)果。可見一味用洛必達(dá)法則，則永遠(yuǎn)無結(jié)果。 所以洛必達(dá)法則并不是萬能的，一旦所以洛必達(dá)法則并不是萬能的，一旦做不下去必須改用其它方法。做不下去必須改用其它方法。shxch

24、xx limchxshxxlim例例 chxshxxlim若用消去無窮因子法：若用消去無窮因子法：. 111limlim22 xxxxxxxxeeeeee原式原式55原定理只說原定理只說存在等于存在等于a或或，則，則顯然后者極限不存在，此時(shí)洛必達(dá)法則不能用！顯然后者極限不存在，此時(shí)洛必達(dá)法則不能用！xxxxsin1sinlim20例例.)()(lim 或或存在也等于存在也等于axgxf)()(limxgxf xxxxxcos1cos1sin2lim0 但當(dāng)?shù)?dāng))()(limxgxf 不存在，則不能說不存在，則不能說.)()(lim不存在不存在xgxf此時(shí)需要用其它方法求極限。此時(shí)需要用其它方法

25、求極限。56作作 業(yè)業(yè)p174頁：頁：3-2(a)1(單單), 2p175頁：頁：3-2(b)1(單單), 2, 4, 65758bxxb 3,:3方方程程取取何何值值證證明明不不管管例例21)(:xxxf ，不妨設(shè)為，不妨設(shè)為有兩個(gè)不同的實(shí)根有兩個(gè)不同的實(shí)根若若證證021 ）（）（xfxf thrxxxf 上滿足上滿足）在）在（因?yàn)橐驗(yàn)? , 1,21 ，）（，使，使）（一點(diǎn)一點(diǎn)至少至少01 , 1,21 fxx內(nèi)內(nèi)無無根根矛矛盾盾。在在但但這這與與)1 , 1()1)(1(333)(2 xxxxf 上上至至多多有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根，在在11 59第三節(jié)第三節(jié) 泰勒公式泰勒公式）00)()(

26、)(:xxfxfxfthl )()()(00 xxfxfxf 或或：之之間間與與在在0 xx 60泰勒泰勒 ( taylor ) ( 1685 1731 )英國數(shù)學(xué)家英國數(shù)學(xué)家61 62有有時(shí)時(shí)，很很靠靠近近當(dāng)當(dāng)0 xx)()()(000 xxxfxfxf 的開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，的開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，含有含有在在若若0)(xxfy 在微分應(yīng)用中知，在微分應(yīng)用中知，此式左端是一函數(shù)，而右端是此式左端是一函數(shù)，而右端是 x x 的一次多項(xiàng)式。的一次多項(xiàng)式。即用一次多項(xiàng)式來近似代替函數(shù)。即用一次多項(xiàng)式來近似代替函數(shù)。但這種表達(dá)式的精度不高，它所產(chǎn)生的誤差僅但這種表達(dá)式的精度不高，它所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于是關(guān)于x

27、- -x0 的高階無窮小，且無法具體估計(jì)出的高階無窮小，且無法具體估計(jì)出誤差的大小。誤差的大小。 為此，我們用滿足一定要求的高次多項(xiàng)式為此，我們用滿足一定要求的高次多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù)，并給出誤差的計(jì)算公式。來近似表達(dá)函數(shù)，并給出誤差的計(jì)算公式。63次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式的的試求出一個(gè)關(guān)于試求出一個(gè)關(guān)于階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的開區(qū)間內(nèi)具有直到的開區(qū)間內(nèi)具有直到在含有在含有設(shè)設(shè)nxxnxxf)(,1)(00 nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 來近似表達(dá)來近似表達(dá) f (x).)()(,),()()()(),()()1(0)(0)(000000 xfxpxfxpxfxpxfxpnnnn

28、nn 要求：要求：式。式。表達(dá)表達(dá)的具體的具體窮小，并給出誤差窮小，并給出誤差階的無階的無高高之差是比之差是比與與| )()(|)()()()2(0 xpxfxxxfxpnnn 64首先，可定出系數(shù)：首先，可定出系數(shù)：, )(00 xfa , )(101xfa , )(! 202xfa , )(!0)(xfannn 200000)(! 2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxpn nnxxnxf)(!)(00)( 65為此，我們有為此，我們有 taylor 中值定理：中值定理：內(nèi)內(nèi)具具有有的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)若若),()(00 xuxxf)(,),(,)1(0 xfxuxn時(shí)

29、時(shí)則則當(dāng)當(dāng)階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)直直到到 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式與與一一個(gè)個(gè)的的一一個(gè)個(gè)可可表表示示成成nxx)(0 之之和和：余余項(xiàng)項(xiàng))(xrn200000)(! 2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xrxxnxfnnn （證略）（證略）66200000)(! 2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xrxxnxfnnn 10)1()()!1()()( nnnxxnfxr 其中其中之間之間與與在在0 xx 說明：說明：,公公式式階階的的到到taylorn稱為稱為其中其中公式公式階的階的展開到展開到)(,xrtaylornn)(xf或

30、稱為或稱為處處在在0 xx . 1按按上上述述公公式式稱稱為為)(xf的冪的冪0 xx 展開展開拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng)。671000)1()()!1()()( nnnxxnxxxfxr )10( . 2時(shí)時(shí)，上上述述公公式式為為：當(dāng)當(dāng)0 n)()()(00 xxfxfxf 之之間間與與在在0 xx 。即即為為拉拉格格朗朗日日中中值值公公式式余項(xiàng)余項(xiàng)rn(x)又可寫成：又可寫成：)(0 xr68. 3 )()()(000 xxxfxfxf當(dāng)當(dāng)nnxxnxf)(!)(00)( )()(0nnxxoxr 則誤差則誤差,)(00的的高高階階無無窮窮小小時(shí)時(shí)是是當(dāng)當(dāng)即即nxxxx ,),(0nxu

31、x，對對固固定定的的當(dāng)當(dāng) )()()1(常數(shù)常數(shù)若若mfn 10)!1()( nnxxnmxr則有誤差公式則有誤差公式這種形式的余項(xiàng)這種形式的余項(xiàng)rn(x)稱為稱為皮亞諾型余項(xiàng)皮亞諾型余項(xiàng)。69. 4公公式式為為：，若若taylorx00 2! 2)0()0()0()(xfxffxf1)1()()!1()(!)0( nnnnxnfxnf )(!)0()0()0()()(nnnxoxnfxffxf 或或1)!1()( nnxnmxr誤差誤差稱為稱為麥克勞林公式麥克勞林公式。70在在一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間上上的的增增量量與與數(shù)數(shù)泰泰勒勒中中值值定定理理建建立立了了函函注注)(:xf處處的的高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)

32、數(shù)間間的的聯(lián)聯(lián)系系這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)某某點(diǎn)點(diǎn)71。階麥克勞林公式階麥克勞林公式的的求求nexfx )(解：解：xnexfxfxf )()()()(1)0()0()0(0)( efffn! 212nxxxenx )0(之間之間與與在在x ! 212nxxxenx 近似式近似式1)!1( nxne 。次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式近近似似的的可可用用nxex例例(1)72時(shí)，時(shí)，特別當(dāng)特別當(dāng)1 x!1! 2111ne ! )1( ne )1(nr誤差誤差10 x 應(yīng)取多少？應(yīng)取多少？，欲要使欲要使nrn310 310)!1(3)1( nrn由由! 212nxxxenx 近似式近似式)!1( ne3

33、000103)!1(3 n,720! 6 ,5040!7 71 n7182. 2! 61! 2111 e.103 nr且且6 n)!1(3 n73)2(xxfsin)( 解：解：xxfcos)( xxfsin)( , )2sin()()( nxxfn, 1)0(, 0)0(, 1)0(, 0)0( ffff, )2sin( x, )22sin( x74)(2xrnxxn sin1若若 !7! 5! 3sin753xxxxx12)!12(2)12(sin nxnnx )10( 3! 31sin2xxxn 若若)()!12()1(2121xrnxnnn 75觀察這三條曲線在觀察這三條曲線在 x =

34、 0 附近的彌合程度：附近的彌合程度：,3, 2 nn若取若取,!31sin3xxx 誤差不超過誤差不超過.!51!31sin53xxxx 5!51x, 1 n若取若取,sinxx 則有則有則有則有.!717x和和3!31xxy xy sin .!51!3153xxxy xy xf ( x )076 !7!5!3sin753xxxxx)(!)12()1(2121xrnxnnn 同理可求得：同理可求得：)()!2()1(!4!21cos242xrnxxxxnnn 77,)0(, 1)0(mff )1()1()0()( nmmmfn 2! 2)1(1)1(xmmxmxm)() 1() 1(xrxn

35、nmmmnn )3(mxxf)1()( ):(任意常數(shù)任意常數(shù)m解：解：,)1()(1 mxmxf,)1)(1()1()()(nmnxnmmmxf 78 我們已求得了一些函數(shù)的麥克勞林公式我們已求得了一些函數(shù)的麥克勞林公式, , 我我們還可以類似得到以下函數(shù)麥克勞林公式：們還可以類似得到以下函數(shù)麥克勞林公式： )()1(1112nnnxoxxxx )(1112nnxoxxxx )()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx )(12) 1(53arctan121253 nnnxonxxxxx)(321)1(11122 nnxonxxxx79利用已知的帶有皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公利用已知的帶

36、有皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式，可以計(jì)算一些極限：式，可以計(jì)算一些極限：xxxxx30sincossinlim 求求333330) )(! 21()(! 31limxxoxxxoxxx 3330)(31limxxoxx .31 80作作 業(yè)業(yè)p184頁：頁：3-31, 3, 5, 8(1)(3) 81第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與凸性的判別法函數(shù)的單調(diào)性與凸性的判別法 由于中值定理建立了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與由于中值定理建立了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，因此就為我函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，因此就為我們提供了一種可能性：利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)值的變化們提供了一種

37、可能性：利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)值的變化情況，并由此對函數(shù)及其圖形的某些性態(tài)作出判斷。情況，并由此對函數(shù)及其圖形的某些性態(tài)作出判斷。82(上升上升)（下降）（下降）abab函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)性性的的判判定定法法：一一.y0 x0 xy83從幾何上看從幾何上看, y = f(x) 在在 a, b 上單增上單增(或單減或單減)，其圖形是一條沿其圖形是一條沿 x 軸正向上升軸正向上升(或下降或下降)的曲線。的曲線。上升的曲線每點(diǎn)處的切線斜率均為正，上升的曲線每點(diǎn)處的切線斜率均為正，下降的曲線每點(diǎn)處的切線斜率均為負(fù)，下降的曲線每點(diǎn)處的切線斜率均為負(fù)，;0)( xf即即.0)( xf即即84 上上）在）在（，那

38、么，那么）（）內(nèi)）內(nèi)）如果在（）如果在（baxfxfba,0,1 上上）在）在（，那么，那么）（）內(nèi)）內(nèi)）如果在（）如果在（baxfxfba,0,2間間區(qū)區(qū)間間換換算算成成其其他他各各種種區(qū)區(qū)注注：此此判判定定方方法法中中的的閉閉也成立。也成立。包括無窮區(qū)間包括無窮區(qū)間)( 可導(dǎo)，可導(dǎo)，連續(xù)，在連續(xù)，在在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(,)(babaxfy 定理定理1 （單調(diào)性判定）（單調(diào)性判定）85 有有）由）由（，上任取兩點(diǎn)上任取兩點(diǎn)證明：在證明：在thlxxxxba 2121,）（）（）（）（211212)(xxxxfxfxf ，）（）（）內(nèi)）內(nèi)）如果在（）如果在（00,1 fxfba00,2 ）（

39、）（）內(nèi)）內(nèi)）如果在（）如果在（ fxfba ）（）（）（則則xfxfxf012 ）（）（）（則則xfxfxf01286 點(diǎn)處，點(diǎn)處，的單調(diào)增減區(qū)間的分界的單調(diào)增減區(qū)間的分界在可導(dǎo)函數(shù)在可導(dǎo)函數(shù)注意：注意：)(.10 xf0)( xf必有必有，其，其為為內(nèi)僅在有限個(gè)孤立點(diǎn)處內(nèi)僅在有限個(gè)孤立點(diǎn)處，在在當(dāng)當(dāng)0)()(.20baxf )(),()0(0 或或內(nèi)仍為內(nèi)仍為，則在，則在或或余點(diǎn)均余點(diǎn)均ba的點(diǎn)的點(diǎn)不不及及劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間用劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間用 )(0)(.30 xfxf如如來劃分來劃分,3xy 如：如：xy 處處在在如如 kxxy22sin 87 上的單調(diào)性上的單調(diào)性，在在例：判定例：

40、判定 20sin xxy 0cos120 xy）內(nèi)，）內(nèi)，解：在（解：在（ 20sin，在在xxy88的單調(diào)性的單調(diào)性確定函數(shù)確定函數(shù)例例32:xy ,),(:上連續(xù)上連續(xù)在在解解y,32320331xxyx 時(shí)時(shí)且當(dāng)且當(dāng)不存在不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yx 089利用單調(diào)性證明不等式利用單調(diào)性證明不等式xexx 10例：證明當(dāng)例：證明當(dāng)1 190）（）（令令證證xexfx 1:)(. 00一定要求零點(diǎn)一定要求零點(diǎn)）（ f 00001）（）（）（xfxxfxexfx 0000001xfxfxexfx）（）（）（）（）（xex 191xxx132,1: 時(shí)時(shí)證明當(dāng)證明當(dāng)例例,132:xxxf ）（令令證證0

41、11122 xxxxxxf）（ 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1x0)1( f易見易見 )()1(xfx0132: xx即即0)1()( fxf92只只有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根試試證證方方程程例例xx sin:,sin)(:xxxf 設(shè)設(shè)證證,下下證證唯唯一一性性,), 2, 1, 0,2且且都都是是孤孤立立的的個(gè)個(gè)別別點(diǎn)點(diǎn) kkx )(xf0)( xxf有有實(shí)實(shí)根根所所以以等等號號成成立立當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)(0cos1)( xxf 0)0()(00)0()(0fxfxfxfx時(shí)時(shí)時(shí)時(shí).0是唯一實(shí)根是唯一實(shí)根, 0)0( f顯然顯然931sin2,20: xxx 有有時(shí)時(shí)證明證明例例 時(shí)，時(shí)，則當(dāng)則當(dāng)令令證證20sin:

42、 xxxxf 0)tan(cossincos22 xxxxxxxxxf 單調(diào)減少，單調(diào)減少，在在)2,0(xf.2)2(,1sinlim0 fxxx又又,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)00()()2( fxff.1sin2 xx 94xxxxxsintan,20: 有有時(shí)時(shí)證明證明例例 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)證：證：202sintan xxxxxf 2cossec2 xxxf xxxxfsintansec22 0)cos2(sinsec33 xxx 單調(diào)增加，單調(diào)增加，在在)2,0(xf 02110 f且且0)0()( fxf 單調(diào)增加，單調(diào)增加，在在)2,0(xf0)0( f又又0)0()( fxf題題設(shè)設(shè)

43、得得證證95作作 業(yè)業(yè)p194頁：頁：3-4(a)1, 4(2)(4)p195頁：頁：3-4(b)1(2), 2, 4(1)(3), 596曲曲線線的的凸凸性性與與拐拐點(diǎn)點(diǎn)二二.,曲線的凸性曲線的凸性同樣單增的函數(shù)，有時(shí)彎曲的方向不一樣。同樣單增的函數(shù)，有時(shí)彎曲的方向不一樣。xy0 xy0下凸下凸x1x2弦上弧下弦上弧下,則曲線為下凸；則曲線為下凸；上凸上凸x1x2弦下弧上弦下弧上,則曲線為上凸則曲線為上凸 。)10()1()(,2112121 txtxtxxtxxxx間的任一點(diǎn)為間的任一點(diǎn)為介于介于97)()()()(221212xfxxxxxfxfy 弦的方程為弦的方程為代入上式有：代入上

44、式有：把把21)1(xtxtx )()()1(21xftxfty 定義：定義：由此我們給出凸函數(shù)的由此我們給出凸函數(shù)的981定義定義內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)ixxf )(有有對對若若)1 , 0(),( ,2121 txxixx)()()1()1(2121xtfxftxtxtf 內(nèi)是下凸的；內(nèi)是下凸的；在在則稱則稱ixf)()()()1()1(2121xtfxftxtxtf 內(nèi)是上凸的。內(nèi)是上凸的。在在則稱則稱ixf)(凸（上凸），則稱凸（上凸），則稱在整個(gè)定義區(qū)間上是下在整個(gè)定義區(qū)間上是下若若)(xf 凸）的。凸）的。其圖像曲線是下凸（上其圖像曲線是下凸（上99221xx pq(

45、i)(ii)特別地特別地,若取弦的中點(diǎn)若取弦的中點(diǎn) q),(2)2()1(221xfxfxx 與曲線弧上的相應(yīng)點(diǎn)與曲線弧上的相應(yīng)點(diǎn) p),(,(221221xxxxf 2)()(22121)(xfxfxxf 定義定義1* 設(shè)設(shè)f(x)在區(qū)間在區(qū)間i上連續(xù)上連續(xù),對對i上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)x1,x2,恒有恒有則稱則稱f(x)在在i上的圖形是下凸上的圖形是下凸,如如(i)221xx pq2)()(22121)(xfxfxxf 則稱則稱f(x)在在i上的圖形是上凸上的圖形是上凸,如如(ii)xy0 xy0下凸下凸x1x2上凸上凸x1x2100曲線的凹凸性亦可用曲線和切線的位置來描述曲線的凹凸性亦可用

46、曲線和切線的位置來描述:xy0 xy0下凸下凸上凸上凸上上凸凸曲曲線線在在切切線線之之下下下下凸凸曲曲線線在在切切線線之之上上;直接用定義判別函數(shù)的凸性較困難，下面給出利用函數(shù)的一階及二階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來判別函數(shù)的凸性的方法：101凸凸性性判判別別定定理理定理定理 2（凸性的第一判別法）（凸性的第一判別法）.),()(,),()(,),()(（上上凸凸）的的內(nèi)內(nèi)是是下下凸凸在在則則內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加（減減少少）在在且且內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在若若baxfbaxfbaxf 定理2的證明可見教材p191頁。102 內(nèi)二階可導(dǎo)，內(nèi)二階可導(dǎo)，上連續(xù)，在上連續(xù)，在，在在設(shè)設(shè))()(babaxf內(nèi)內(nèi)則在則在),(b

47、a,)(0)(1上是下凸的上是下凸的在在則則，）若（若（baxfxf 上上是是上上凸凸的的。在在則則，）（,)(0)(2baxfxf 3定定理理（凸性的第二判別法）（凸性的第二判別法）103證：如圖證：如圖),(),(,(0000baxxfxmab 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在曲線在曲線:00的方程為的方程為的切線的切線則過則過tmm)(000 xxxfxfy ）（上對應(yīng)于上對應(yīng)于則在則在對對tmxx001, :11的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為的的mx )()(01001xxxfxfy （:),(:111它們的差為它們的差為的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為上的點(diǎn)上的點(diǎn)點(diǎn)曲線點(diǎn)曲線對應(yīng)于對應(yīng)于xfymabx )(0100

48、111xxxfxfxfyy ）（）（）二階可導(dǎo)）二階可導(dǎo)，）在（）在（baxf處的一階泰勒公式，處的一階泰勒公式，在在由由0)(xxf200002)(）（！）（）（）（xxfxxxfxfxf 2010100112)(）（?。ǎǎ〞r(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxfxxxfxfxfxx 之間之間與與在在0 xx 之間之間與與在在01xx (*)104201111)(!2:(*)(xxfyyxf ）（式有式有代入代入將將 ）同號）同號（與與 fyyxx 112010)(, 00 ）（）（）內(nèi)）內(nèi)，若在（若在（ fxfba, 00 ）（）（）內(nèi)）內(nèi)，若在（若在（ fxfba是下凸的是下凸的弧弧abyy 11。凸的凸

49、的是上是上弧弧abyy 11105的凸性的凸性例：判斷曲線例：判斷曲線xyln ,1,0 xyx ），（解解：曲曲線線是是上上凸凸的的 , 012xy106的凸性的凸性判斷判斷例例3:xy ），（解解 xxyxy,6,3:2）為上凸?。樯贤够。▋?nèi)內(nèi)，在（在（xfy 0)0）為下凸?。橄峦够。▋?nèi)內(nèi)，在（在（xfy 0)0107函數(shù)的凸性可以用來證明不等式函數(shù)的凸性可以用來證明不等式:bababa )1(:, 10,1不等式不等式證明證明是任意兩個(gè)正數(shù)是任意兩個(gè)正數(shù)與與設(shè)設(shè)例例)1ln()ln(1baba 題設(shè)即要證題設(shè)即要證證證,ln)(xxf 令令,1)(xxf , 01)(2 xxf 時(shí)

50、，由凸函數(shù)時(shí)，由凸函數(shù)為上凸函數(shù)，當(dāng)為上凸函數(shù)，當(dāng)baxf )(的定義有：的定義有：108)10()1()()()1( bafbfaf)1ln(lnln)1(baba 即即綜上即得。綜上即得。時(shí)，不等式成為等式，時(shí)，不等式成為等式，當(dāng)當(dāng)ba 221baab 時(shí)有時(shí)有此例中當(dāng)此例中當(dāng) 109, 曲線的拐點(diǎn)曲線的拐點(diǎn)定義定義 2連續(xù)函數(shù)下凸弧與上凸弧的分界點(diǎn)連續(xù)函數(shù)下凸弧與上凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的稱為這曲線的 拐點(diǎn)拐點(diǎn)（或扭轉(zhuǎn)點(diǎn)）。（或扭轉(zhuǎn)點(diǎn)）。的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)就就是是如如3)0 , 0(xy 說明：說明：不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)或或使使yy 0)1(2) 拐點(diǎn)在曲線上，而不在拐點(diǎn)在曲線上，而不在x

51、軸上，軸上，其坐標(biāo)為其坐標(biāo)為(x0,y0)。坐坐標(biāo)標(biāo)。也也可可能能是是曲曲線線拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的橫橫110拐點(diǎn)的判別拐點(diǎn)的判別 設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的曲線設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的曲線 y = f(x)在在 x = x0 處有處有, )(0)(不存在不存在或或xfxf 變號，變號，)(xf 則則 (x0,f(x0) 是是 y = f(x) 的拐點(diǎn)。的拐點(diǎn)。同同號號，)(xf 則則 (x0,f(x0) 不是不是 y = f(x) 的拐點(diǎn)。的拐點(diǎn)。的某鄰域內(nèi)：的某鄰域內(nèi)：且在且在0 x111 設(shè)設(shè)y=f(x)在在x0處三階可導(dǎo)，處三階可導(dǎo)，, 0)(0 xf,0)(0 xf則則 (x0,f(x0) 是是y =

52、f(x) 的拐點(diǎn)。的拐點(diǎn)。 000)()(lim)(:0 xxxfxfxfxx證證,)()(0)(00同號同號與與若若xxxfxf ,)()(0)(00異號異號與與若若xxxfxf 0)(lim00 xxxfxx,)(0點(diǎn)左右變號點(diǎn)左右變號在在即即xxf .)(0點(diǎn)左右變號點(diǎn)左右變號在在亦有亦有xxf 112的的凸凸區(qū)區(qū)間間與與拐拐點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲線線例例12:34 xxy)1(12121264223 xxxxyxxy解：解：1; 0021 xxy令令:所以拐點(diǎn)為所以拐點(diǎn)為),0 , 1(; )1 , 0(.凸凸區(qū)區(qū)間間由由表表中中易易見見113的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)求曲線求曲線例例141232:23 xx

53、xy;612;1266:2 xyxxy解解;021 y內(nèi)內(nèi)，在在 )21(21:y，拐點(diǎn)為拐點(diǎn)為210 xy由由021 y內(nèi)內(nèi)，在在01221 xy或或114是否有拐點(diǎn)？是否有拐點(diǎn)？問曲線問曲線例例4:xy 00124:23 xyxyxy令令解解00;000 yxyxx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)）點(diǎn)左右不變號）點(diǎn)左右不變號，在（在（即即00y 無拐點(diǎn)無拐點(diǎn)即即）點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)，）點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)，所以（所以（400 xy ）是下凸的。）是下凸的。，（ 點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)不是拐點(diǎn)另解：另解：)0 , 0(02400 xxxy115的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)求曲線求曲線例例3:xy 時(shí)時(shí)）內(nèi)連續(xù)，當(dāng)）內(nèi)連續(xù)，當(dāng)，在（在（函數(shù)函數(shù)

54、解解0:3 xxy均不存在均不存在、時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyxxxyxy ,09292,31353532）分為兩個(gè)部分區(qū)間）分為兩個(gè)部分區(qū)間，將（將（用用 0 x此例強(qiáng)調(diào)雖然函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)不存在此例強(qiáng)調(diào)雖然函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)不存在,但若函數(shù)在但若函數(shù)在x0點(diǎn)的二階點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)異號且在導(dǎo)數(shù)異號且在x0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù),則則(x0,f(x0)為拐點(diǎn)為拐點(diǎn).116 有有且對某且對某存在存在上上例：設(shè)在例：設(shè)在),(,)(,0baxxfba ）的拐點(diǎn)。）的拐點(diǎn)。（是是試證點(diǎn)試證點(diǎn)xfxfx)(,(00:),(021)()(lim:0300時(shí)有時(shí)有使當(dāng)使當(dāng)由由證證 xuxxxxfxx 異號異號與與即即3030)()(0)(

55、)(xxxfxxxf 下凸下凸曲線曲線時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))(0)(),(00 xfyxfxxx 上凸上凸曲線曲線時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))(0)(),(00 xfyxfxxx 點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)且因?yàn)榍乙驗(yàn)?)()(xxfxf.)(,(00是一個(gè)拐點(diǎn)是一個(gè)拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)xfx21)(lim300 xxxfxx）（117例例: 利用函數(shù)圖形的凸性證明不等式：利用函數(shù)圖形的凸性證明不等式：22yxyxeee ,:tetf 令令解解 ,0 tetftf故函數(shù)圖形是下凸的，故函數(shù)圖形是下凸的， ,22 yxfyfxf22yxyxeee 118作作 業(yè)業(yè)p194頁：頁：3-4(a)7(雙雙), 8(單單), 9p195頁

56、：頁：3-4(b)10(1), 11119第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大、最小值函數(shù)的極值與最大、最小值一一,函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法若若f(x) f(x0),則稱則稱f(x0)為為f(x)的一個(gè)的一個(gè)極小值極小值,x0稱為極小值點(diǎn)。稱為極小值點(diǎn)。極大值極大值(點(diǎn)點(diǎn))與極小值與極小值(點(diǎn)點(diǎn))統(tǒng)稱極值統(tǒng)稱極值(點(diǎn)點(diǎn))。120注注: 極大極大(小小)值都是局部性態(tài)值都是局部性態(tài),可能出現(xiàn)極大值小于極小值可能出現(xiàn)極大值小于極小值 的情況的情況 極大值不一定是最大值極大值不一定是最大值,極小值也不一定是最小值極小值也不一定是最小值 從圖中可見曲線在函數(shù)的極值點(diǎn)所對應(yīng)的那些點(diǎn)處具從圖中可見曲

57、線在函數(shù)的極值點(diǎn)所對應(yīng)的那些點(diǎn)處具 有水平切線有水平切線,反之不真反之不真,如如 y = x3 在在x = 0 處有水平切線處有水平切線, 但但 x = 0 不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn). 121下面給出函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件下面給出函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件:)(1 必要條件必要條件定理定理,)()()(00值值小小為極大為極大可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且在點(diǎn)在點(diǎn)若若xfxxf0)(0 xf則必有：則必有：)()(:0極極小小值值的的情情況況類類似似為為極極大大值值不不妨妨設(shè)設(shè)證證xf于于是是有有使使得得對對則則),()(),(000 xfxfxux 0)()(lim00000 xxxfxfxx

58、xx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0)()(lim00000 xxxfxfxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf122:駐駐點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為駐駐點(diǎn)點(diǎn)的的點(diǎn)點(diǎn)滿滿足足xxf0)( 駐駐點(diǎn)點(diǎn)則則極極值值點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)若若說說明明定定理理,)(:1xf但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)是是駐駐點(diǎn)點(diǎn)如如,0,:3 xxy 由上可見求出函數(shù)的駐點(diǎn)后還需判別其是否為由上可見求出函數(shù)的駐點(diǎn)后還需判別其是否為 極值點(diǎn)極值點(diǎn),若是極值點(diǎn)還需判別其是若是極值點(diǎn)還需判別其是 極大值還是極小值點(diǎn)極大值還是極小值點(diǎn).123一一階階充充分分條條件件）（第第一一種種充充分分條條件件或或稱稱定定理理2000 ）（某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且）在）在（設(shè)設(shè)xfxx

59、f，左側(cè)鄰近時(shí)左側(cè)鄰近時(shí)在在）當(dāng)）當(dāng)0)(10 xfxx, 0)(0 xfxx右側(cè)鄰近時(shí)右側(cè)鄰近時(shí)在在當(dāng)當(dāng)取得極大值。取得極大值。在在則則0)(xxf，左側(cè)鄰近時(shí)左側(cè)鄰近時(shí)在在）當(dāng)）當(dāng)0)(20 xfxx, 0)(0 xfxx右側(cè)鄰近時(shí)右側(cè)鄰近時(shí)在在當(dāng)當(dāng)取得極小值。取得極小值。在在則則0)(xxf點(diǎn)無極值點(diǎn)無極值在在則則不變號不變號的左右的左右在在當(dāng)當(dāng)00)(,)()3xxfxfxx .別法易證別法易證因?yàn)橛珊瘮?shù)單調(diào)性的判因?yàn)橛珊瘮?shù)單調(diào)性的判證略證略 124的極值的極值求函數(shù)求函數(shù)例例xxf )(: 00)(:xxxxxf解解 01001)(xxxxf不存在不存在的極小值的極小值為為xxfx

60、)(0125:求函數(shù)極值的步驟求函數(shù)極值的步驟)()1xf 求出求出不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)求出全部駐點(diǎn)以及求出全部駐點(diǎn)以及令令)(0)()2xfxf 進(jìn)行判別進(jìn)行判別用定理用定理 2)3的全部極值的全部極值即為即為值值求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù))(,)4xf126 的極值。的極值。求求例例321:xxy ,: d解解 31323211 xxxy 2233131 xxx3/1325xx 02 y令令,52 x. 0 xy不存在的點(diǎn)：不存在的點(diǎn)： :3列表列表 32545352, 00 ff極小值極小值極大值極大值127的極值的極值試求試求例例xexxxf)4()(:3 xexxxxf